Lösung Arbeitsblatt Vektoren
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Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Mathematik und Naturwissenschaften
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
Modul: Mathematik
Datum: 2016
Dozent: Brückenkurs Mathematik 2016
1. Aufgabe
Gegeben sei der Ortsvektor
4
→
−
r = −2
5
Spiegeln Sie diesen Ortsvektor der Reihe nach an der xy-Ebene, der xz-Ebene, der
yz-Ebene, der x-Achse, der y-Achse, der z-Achse und dem Ursprung.
Lösung:
4
4
−4
−
−2 , −
2 ,−
2
r→
r→
r→
xy =
xz =
yz =
−5
−5
−5
−4
4
−4
→
−
−
−
rx = −2 , →
ry = −2 , →
rz = 2
5
−5
−5
4
→
−
−2
ro =
5
2. Aufgabe
Gegeben seien die Vektoren
5
7
−2
−3
0
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
1
2 , b =
4 , c =
5
−2 , e =
a =
, d =
3
2
8
1
0
Berechnen Sie:
(a)
→
−
→
−
a + b
Lösung:
5
7
12
→
−
→
−
a + b = 2 + 4 = 6
3
2
5
(b)
−
→
−c − 2→
−
d − 4→
e
Lösung:
−2
−3
0
4
→
→
−c − 2−
−
d − 4→
e = 5 − 2 −2 − 4 1 = 13
8
1
0
6
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
(c)
2016
→
− − →
→
−
→
−
a + b −→
a + −c − b
Lösung:
5
7
5
−2
7
→
− →
→
−
→
−
−
→
−
2 +
4
2
5
4 =
a+ b − a + c − b =
−
+
−
3
2
3
8
2
−2
−c
5 =→
8
Lösen Sie die Gleichungen:
(a)
→
− →
− − →
→
−
→
−
−
−
−
x +→
a − b + d +→
x = −
a − b + (→
e −→
x)
Lösung:
→
− →
− −
→
−
→
−
−
−
−
−
x +→
a − b + d +→
x
= →
a − b + (→
e −→
x)
→
−
−
−
3→
x = →
e − d
→
−
1 →
→
−
−
e − d
x =
3
0
−3
1
1
−2
=
−
3
0
1
1
= 1
− 31
(b)
11
2→
−
−
a +→
x
33
=
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− →
5→
−
b − x 17
17
Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
2016
Lösung:
11
− →
2→
5→
−
−
→
−
b − x 17
a + x
=
33
17
→
−
2→
−
−
−
a + 11→
x = 5 b − 17→
x
3
→
−
2−
−
28→
x = 5b − →
a
3
−
1 →
−
→
−
15 b − 2→
a
x =
84
7
5
1
15 4
− 2 2
=
84
2
3
95
=
84
2
3
2
7
3. Aufgabe
Gegeben seien die Vektoren
1
1
3
−5
→
−
−
−c = 0 , →
→
−
d = 12
a = 2 , b = 1 ,→
−2
1
−4
0
(a) Berechnen Sie:
− →
−
− − →
− →
− − →
−c −
a − b + 4→
a + b , →
c | , d , →
|→
a | , b , |→
Lösung:
−
|→
a|
→
− b
−c |
|→
→
− d
→
− →
a + b
−
→
−
→
−
→
−
a
−
b
+
4
c
v
u
u 1
1
√
√
u
→
−
−
=
a ◦→
a = t 2 ◦ 2 = 1 + 4 + 4 = 3
−2
−2
√
√
=
1+1+1= 3
√
=
9 + 0 + 16 = 5
√
=
25 + 144 + 0 = 13
q
√
=
(1 + 1)2 + (2 + 1)2 + (−2 + 1)2 = 14
1
1
3
12
√
= 2 − 1 + 4 0 = 1 = 506
−2
1
−4 −19 (b) Bestimme zu den vier Vektoren jeweils einen parallelen Einheitsvektor.
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2016
Lösung:
1
1
3
1
1 →
−
a = 2 = 23
→
−
3
|a|
− 23
−2
1
1
√ 1
3
1
3
1
0
5
−4
−5
1
12
13
0
→
−
ea =
→
−
eb =
→
−
ec =
→
−
ed =
4. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie die Parametergleichung der Geraden g durch die Punkte A (9, 0)
und B (6, 1).
Lösung:
→
−
r = −
r→
+ t (−
r→ − −
r→)
A B A 9
6
9
=
+t
−
0
1
0
9
−3
=
+t
0
1
x
9 − 3t
→
−
g: r =
=
y
t
(b) Welche der Punkte P1 (−3, −4), P2 (12, −1) und P3 (24, −5) liegen auf der Geraden g?
Lösung:
Punkte einsetzen:
• P1 :
• P2 :
• P3 :
−3
−4
12
−1
24
−5
=
=
=
9 − 3t
t
9 − 3t
t
9 − 3t
t
t1 = 4
t2 = −4
t1 = −1
t2 = −1
t1 = −5
t2 = −5
⇒
⇒
⇒
Die Punkte P2 und P3 liegen auf der Geraden g.
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(c) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Geraden g.
Lösung:
x = 9 − 3t
y = t
x = 9 − 3y
x + 3y − 9 = 0
(d) Bestimmen Sie die Achsenabschnitte1 der Geraden g.
Lösung:
x + 3y = 9
x y
+
= 1
9 3
Die Achsenschnittpunkte sind somit Sx (9, 0) und Sy (0, 3).
(e) Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden g1 und g2 und deren Schnittpunkt
B (Bemerkung: Der Strahl vom Leuchtturm wird an der Wasseroberfläche
gespiegelt - es gilt: Einfallswinkel=Ausfallswinkel).
y
g2
B
T(0,h)
β
g1
α
x
Lösung:
• Gerade g1 : Wir kennen einen Punkt T (0, h) (→ b = h) und die Steigung
m = tan (α):
g1 : y = mx + b = x tan (α) + h
• Gerade g2 : Die Gerade g2 hat die Steigung m = tan (β) und geht durch
den an der x-Achse gespiegelten Punkt T 0 (0, −h). Also:
g2 : y = mx + b = x tan (β) − h
1
In der Form
x
xA
+
y
yA
= 1 sind xA und yA die Achsenabschnitte der Geraden.
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• Schnittpunkt (Ballonposition):
tan (α) −1
x
−h
=
tan (β) −1
y
h
D = Dx = Dy = tan (α) −1 = tan (β) − tan (α)
tan (β) −1 −h −1 = 2h
h
−1 tan (α) −h = h (tan (α) + tan (β))
tan (β) h 2h
Dx
=
D
tan (β) − tan (α)
Dy
h (tan (α) + tan (β))
=
=
D
tan (β) − tan (α)
xB =
yB
B
h (tan (α) + tan (β))
2h
,
tan (β) − tan (α) tan (β) − tan (α)
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5. Aufgabe
(a) Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebene ε durch die Punkte A (1, 2, 3),
B (3, 2, 1) und C (4, 4, 4).
Lösung:
→
−
−
→ −
→
r = −
r→
+ t (−
r→ − −
r→
A ) + s (rC − rA )
A B
1
3
1
4
1
= 2 + t 2 − 2 + s 4 − 2
3
1
3
4
3
1
2
3
= 2 + t 0 + s 2
3
−2
1
x
1 + 2t + 3s
−
ε:→
r = y = 2 + 2s
z
3 − 2t + s
(b) Welche der Punkte P1 (−3, −4, −5) und P2 (9, 6, 4) liegen auf der Ebene ε?
Lösung:
Punkte einsetzen:
• P1 :
1 + 2t + 3s
−3
−4 = 2 + 2s
3 − 2t + s
−5
5
5 2
3 −4
1 0 −2
t
−2
t
t
0
2
=
= −6 ⇒ 0 1
= 3 ⇒
3
s
s
s
0
−2 1
−8
0 0
• P2 :
9
1 + 2t + 3s
6 = 2 + 2s
4
3 − 2t + s
2
3 8
1 0 0
t
t
0
2
= 4 ⇒ 0 1
= 0 ⇒ keine Lösung!
s
s
−2 1
1
0 0
1
Der Punkt P1 liegt auf der Ebene ε.
(c) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene ε.
Lösung:
x = 1 + 2t + 3s
y−2
y = 2 + 2s
⇒s=
2
z = 3 − 2t + s
⇒
2x − 3y + 4
x = 1 + 2t + 3 y−2
2
⇒t=
y−2
z = 3 − 2t + 2
4
2x − 3y + 4 y − 2
+
4
2
x − 2y + z = 0
⇒z =3−2
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Mathematik
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2016
(d) Bestimmen Sie die Achsenabschnitte2 der Ebene ε.
Lösung:
Da die Achsenabschnittsform nicht erzeugt werden kann, gilt xA = yA = zA =
0. D.h. die Ebene beinhaltet den Ursprung!
6. Aufgabe
Bestimmen Sie den Schnittwinkel und die Gleichung der Schnittgeraden der durch
die Punkte P1 (1, 2, 3), P2 (2, 3, 1), P3 (−3, 0, 2) und Q1 (3, 2, 1), Q2 (−1, −2, −3),
Q3 (0, 1, 2) definierten beiden Ebenen.
Lösung:
Normalenvektoren bestimmen:
−−→ −−→
→
−
n p = P1 P2 × P1 P3
−→ −→
= (−
r→ − −
r→
P1 ) × (rP3 − rP1 )
P2
1
−4
= 1 × −2
−2
−1
−5
= 9
2
−
−
−
→
−−−→
−
n→
Q = Q1 Q2 × Q1 Q3
−4
−3
= −4 × −1
−4
1
−8
16
=
−8
Ebenengleichungen:
−
−
p:→
np ◦ (→
r −−
r→
p1 ) = 0
−5x + 9y + 2z = 19
−
q:−
n→ ◦ (→
r −−
r→) = 0
Q
Q1
−x + 2y − z = 0
Schnittgerade:
−5x + 9y + 2z = 19
−x + 2y − z = 0
⇒ x − 13z = −38
y − 7z = −19
L = {(x, y, z) : (13z − 38, 7z − 19, z)}
bzw.
2
In der Form
−38
13
→
−
r = −19 + t 7
0
1
x
xA
+
y
yA
+
z
zA
= 1 sind xA , yA und zA die Achsenabschnitte der Ebene.
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Schnittwinkel (Winkel zwischen den Normalenvektoren):
→
−
np ◦ −
n→
Q
α = a cos →
|−
np | |−
n→
Q|
21
−1
√ √
= a cos
110 6
= 0. 61387
7. Aufgabe
Gegeben sei die Gerade g
g:
−3 + 4t
→
−
r = 3 − 7t
5 − 7t
und der Punkt P (2, 1, −3). Bestimmen Sie:
(a) den kürzesten Abstand des Punktes P von der Geraden g und den Punkt F
auf der Geraden g der von P die kürzeste Entfernung besizt.
Lösung:
g
F
P
0
−→
Der Verbindungsvektor P F steht senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden:
−→ →
PF ◦ −
a
−
→
−
→
→
−
(rF − rP ) ◦ a
→
−
−
→
−
( r0 + t→
a −−
r→
P) ◦ a
−
−
t→
a ◦→
a
=
=
=
=
0
0
0
→
−
→
−
(−
r→
P − r0 ) ◦ a
1 −
→ →
−
→
−
t = →
2 (rP − r0 ) ◦ a
−
|a|
5
4
1
−2 ◦ −7
=
114
−8
−7
15
=
19
3
−3
4
19
−
3 + 15 −7 = − 48
r→
F =
19
19
10
5
−7
− 19
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Und noch die Distanz:
3
2
−→ 19
48
= 4. 6848
1
d = P F = − 19
−
10
−
−3
19
(b) die Punkte A und B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABP gleichseitig
wird.
Lösung:
Mit der Lösung der letzten Teilaufgabe finden wir für die Seitenlänge des
Dreiecks:
2
2
2
s = √ h = √ d = √ 4. 6848 = 5. 4095
3
3
3
Die beiden Punkte A und B sind nun gleich weit von F entfernt:
3
4
1. 1712
19
−
−
−
→ s→
− 48 + 5. 4095 √ 1 −7 = −4. 2996
r→
A = rF + ea =
19
2
2
114
− 10
−7
−2. 2996
19
−
−
−
→ s→
r→
B = rF − ea =
2
3
19
− 48
19
− 10
19
−. 8554
4
− 5. 4095 √ 1 −7 = −. 75305
2
114
1. 2469
−7
8. Aufgabe
Im Dreieck A (3, −2, 1), B (2, 7, 5), C (−1, 3, 12) sind die Längen der Seiten und
Seitenhalbierenden und die Innenwinkel zu bestimmen.
Lösung:
Seitenlängen:
2
−1
3
→
−
−
→ 7 − 3 = 4
a = −
r→
B − rC =
5
12
−7
√
√
→
−
a = | a | = 9 + 16 + 49 = 74
−1
3
−4
→
−
−
→ 3 − −2 = 5
b = −
r→
C − rA =
12
1
11
→
√
√
−
b = b = 16 + 25 + 121 = 162
3
3
0
→
−c = −
−
→ −2 − 7 = −9
r→
A − rB =
1
5
−4
√
√
−c | = 0 + 81 + 16 = 97
c = |→
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Seitenhalbierende:
→
−
sa =
sa =
→
−
sb =
sb =
→
−
sc =
sc =
3
1→
−
−c = 1 4 +
a +→
2
2
−7
1√
1√
9 + 196 + 225 =
430
2
2
−4
− →
1
1→
b +−
a = 5 +
2
2
11
1√
1√
4 + 169 + 9 =
182
2
2
0
−
1→
1
−c + →
b = −9 +
2
2
−4
1√
1√
64 + 1 + 324 =
389
2
2
3
0
2
−9 = −7
− 15
−4
2
3
1
4 = 13
2
3
−2
−7
−4
−4
5 = 12
9
11
Winkel:
→
− →
−
b ◦ c
89
= a cos √ √ = 0. 78133
α = a cos − →
− →
162 97
b |−c |
→
−
−c a ◦→
8
β = a cos − →
= a cos √ √ = 1. 4762
−
→
−
| a || c |
74 97
→
−
→
−
a ◦ b
69
→
= a cos √ √
γ = a cos −
= 0. 88899
−
−
74 162
|→
a | b
9. Aufgabe
Gegeben sind die Vektoren
5
7
→
−
→
−
8 , b =
1
a =
2
3
→
−
→
−
−
(a) Bestimmen Sie k so, dass →
a + k b normal auf b steht.
Lösung:
→
− →
−
→
−
a +k b ◦ b = 0
5
7
7
8 + k 1 ◦ 1 = 0
2
3
3
5 + 7k
7
8+k ◦ 1 = 0
2 + 3k
3
59k + 49 = 0
k = −
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49
59
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(b) Bestimmen Sie einen Vektor der Länge 9, der normal zu den beiden gegebenen
Vektoren steht.
Lösung:
Einen Normalenvektor:
5
7
22
→
−
→
−
−
n =→
a × b = 8 × 1 = −1
2
3
−51
Länge anpassen:
22
9
9 →
−
→
−
−1
n = ±√
n0 = ± →
−
|n|
3086
−51
10. Aufgabe
Weisen Sie nach, das die beiden Parametergleichungen:
5+t
→
−
r = 8 + 3t
−1 − 2t
4 − 2s
→
−
r = 5 − 6s
1 + 4s
dieselbe Gerade darstellen.
Lösung:
Parallele Richtungsvektoren:
1
−2
3 = k −6 ⇒ k = − 1
2
−2
4
Der Punkt (5, 8, −1) liegt auch auf der unteren Geraden:
5
4 − 2s
5 − 6s = 8 ⇒ s = − 1
2
−1
1 + 4s
11. Aufgabe
(*) Bestimmen Sie den (kürzesten) Abstand und die Fusspunkte der beiden Geraden
−1 − 3t
−
g1 : →
r = −2 + 8t
3 + 5t
1 + 5s
−
g2 : →
r = −2 + 3s
−4 + 14s
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Lösung:
Der Verbindungsvektor steht normal auf beiden Geraden:
1 + 5s
−1 − 3t
2 + 5s + 3t
−−→
−2 + 3s − −2 + 8t =
3s − 8t
F1 F2 =
−4 + 14s
3 + 5t
−7 + 14s − 5t
−3
−−→
8
F1 F2 ◦
5
79s
− 98t
5
−−→
3
F1 F2 ◦
14
230s − 79t
⇒s=
= 0
= 41
= 0
= 88
826
1795
,t = −
5433
5433
Fusspunkte:
−1
−
−2 −
r→
F1 =
3
1
−
−2 +
r→
F2 =
−4
985
−3
− 1811
826
8 = − 17474
5433
5433
12169
5
5433
14408
5
5433
1795
3 = − 1827
1811
5433
3398
14
5433
Distanz:
−−→
F1 F2 =
14408
5433
1827
− 1811
3398
5433
985
− 1811
− − 17474 =
5433
12169
5433
17363
5433
11993
5433
− 8771
5433
d = 4. 2062
12. Aufgabe
Es seien die beiden Geraden
g1 : 3x − y + 2 = 0
g2 : 2x + y − 8 = 0
gegeben. Bestimmen Sie:
(a) Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden.
Lösung:
Schnittpunkt:
6
28
3 −1
x
−2
=
⇒ x = ,y =
2 1
y
8
5
5
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
2016
Schnittwinkel (zwischen den Normalenvektoren der beiden Geraden):
3
2
→
−
→
−
n1 =
, n2 =
−1
1
→
−
−
5
n1 ◦ →
n2
= a cos √ √ = 0. 7854
α = a cos →
−
→
−
|n1 | |n2 |
10 5
(b) (*) die Gleichung der Winkelhalbierenden.3
Lösung:
Hesse’sche Normalformen:
3x − y + 2
√
=0
10
2x + y − 8
√
HN F (g2 ) :
=0
5
HN F (g1 ) :
Winkelhalbierende (Summe bzw. Differenz der Hesse’schen Normalformen):
3x − y + 2 2x + y − 8
√
√
+
=0
10
5
3x − y + 2 2x + y − 8
√
√
:
−
=0
10
5
ω1 :
ω2
13. Aufgabe
(*) Im Punkt Q (1, 0, −5) sei eine punktförmige Lichtquelle angebracht. Bestimmen
Sie die Richtung, die ein Lichtstrahl haben muss, um über einen Spiegel
5x − 2y + z + 3 = 0
s:
den Punkt P (3, 1, 5) anzustrahlen.4
Lösung:
Q
P
s
S
P'
3
Die Summe zweier gleich langer Vektoren ergibt einen Vektor der die Richtung der Winkelhalbierenden zwischen den gegebenen Vektoren angibt (Achtung: Es gibt zwei Lösungen!).
4
Spiegeln Sie den Punkt P an der Ebene.
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
2016
Wir spiegeln zuerst den Punkt P am Spiegel:
d →
−
−
→
−
r→
n
P 0 = rP − 2 →
−
|n|
5∗3−2∗1+5+3
5
3
√
25+4+1
−2
= 1 − 2√
25
+
4
+
1
1
5
5
3
21
= 1 − 2 −2
30
1
5
−4
= 19
5
18
5
Die Richtung des Lichtstrahls:
−4
1
−5
−−→0
− 0 = 19
QP = 19
5
5
18
43
−5
5
5
14. Aufgabe
(a) Gegeben sind die Geraden
−3 + t
−
g:→
r = 1 + 2t
5 − 2t
−2 + 3s
−
h:→
r = −3 + s
4+s
Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene e, die h enthält und zu g parallel ist.
Lösung:
• Punkt der Ebene:
−3
−
1
r→
P =
5
• Normalenvektor:
1
3
4
→
−
n = 2 × 1 = −7
−2
1
−5
• Ebene:
→
−
−
n ◦ (→
r −−
r→
P) = 0
4
x+3
−7 ◦ y − 1 = 0
−5
z−5
4x − 7y − 5z + 44 = 0
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Mathematik
Lösung Arbeitsblatt Vektoren
2016
(b) Ein Dreieck D liegt in der Ebene E : 3x + 6y + 6z − 50 = 0. Die Projektion
des Dreiecks in die xy-Ebene habe den Flächeninhalt Axy = 20. Bestimmen
Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
Lösung:
• Winkel zwischen Ebene und Projektion:
0
3
0 ◦ 6
1
6
α = arccos
0 3
0 6
1 6
6
= arccos
= 0. 84107
9
• Jede Seite (oder jede Distanz) wird durch die Projektion um den gleichen
Faktor gekürzt. Dieser Faktor ist gleich:
cos (α) =
2
3
• Daher wird die Fläche bei der Projektion um diesen Faktor im Quadrat
verkleinert. Es gilt daher:
2
2
A
Axy =
3
9
A =
Axy = 45
4
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