Teil1 - Universität Paderborn

Grundbegriffe für dreiwertige Logik
Hans Kleine Büning
Universität Paderborn
1.11.2011
1
Syntax und Semantik
Die klassische Aussagenlogik mit den Wahrheitswerten falsch und wahr bezeichnen wir im weiteren als AL. In der dreiwertigen Logik gibt es aussagenlogische
Variablen, für die wir Kleinbuchstaben benutzen. Griechische Buchstaben bezeichnen Formeln.
Eine Bewertung I ist eine Abbildung I : {x1 , . . . , xn } −→ {0, 1, 2}, die den
aussagenlogischen Variablen Wahrheitswerte zuordnet. Durch sie wird auch die
Bedeutung der Junktoren festgelegt.
Eine dreiwertige Logik wird durch ein Tupel beschrieben.
Sei M = ({0, 1, 2}, {0}, {2}, J1 , . . . , Jt ), dann ist {0, 1, 2} die Menge der Wahrheitswerte. 0 steht für falsch und 2 steht für wahr. J1 , . . . , Jt sind die Junktoren,
deren Bedeutung durch Wahrheitstafeln (Bewertungen) festgelegt wird.
Beispiel:
Sei L3 = ({0, 1, 2}, {0}, {2}, ¬, →) mit
¬
0 2
1 1
2 0
und
→
0
1
2
012
222
122
012
Für L3 führen wir als Abkürzungen die Junktoren ∧ und ∨ wie folgt ein:
1. α ∨ β := (α → β) → β
2. α ∧ β := ¬(α → ¬β)
Für die Wahrheitstafeln von ∧ und ∨ ergibt sich dann
∧
0
1
2
012
000
011
012
und
∨
0
1
2
012
012
112
222
Wie man sofort sieht, gelten für alle Bewertungen I(α ∧ β) = min{I(α), I(β)}
und I(α ∨ β) = max{I(α), I(β)}.
Im weiteren seien die Wahrheitswerte für die klassische Aussagenlogik 0 für falsch
und 2 für wahr.
Definition 1. Eine dreiwertige Logik M überdeckt die (klassische) zweiwertige
Aussagenlogik, falls es für alle zweiwertigen Formeln α ∈ AL eine Formel β
aus M gibt, so dass für jede zweiwertige Bewertung I über {0, 2} die Gleichung
I(α) = I(β) gilt.
Wie man sofort sieht, überdeckt die Logik L3 die klassische Aussagenlogik. Denn
∧ und ¬ in L3 sind, nur über 0 und 2 betrachtet, gerade die klassischen Junkturen ∧ und ¬, mit denen man jede klassische aussagenlogische Formel beschreiben
kann. Im Allgemeinen entspricht nicht jede dreiwertige Formel reduziert betrachtet auf den Wahrheitswerten 0 und 2 einer Formel in AL. Enthält beipielsweise
eine dreiwertige Logik den einstelligen Junktor U definiert durch I(U (x)) = 1
für alle x ∈ {0, 1, 2}, dann ist der Junktor reduziert auf 0 und 2 keine klassische
Formel.
Aus der klassischen Aussagenlogik kennen wir den Begriff der funktionalen Vollständigkeit. Er besagt, dass man jede Boolesche Formel mit einigen Grundfunktionen darstellen kann. So genügen beispielsweise die Junktoren ∧ und ¬, um
jede Boolesche Funktion zu beschreiben.
Jeder Formel α aus M mit den Variablen x1 , . . . , xn können wir eine Funktion fα
wie folgt zuordnen: fα (a1 , . . . , an ) := α([x1 /a1 , . . . , xn /an ]) für alle ai ∈ {0, 1, 2}.
Definition 2. (Funktional vollständig)
M ist funktional vollständig gdw. es für alle Funktionen
F : {0, 1, 2}n −→ {0, 1, 2} eine Formel α aus M mit fα = F gibt.
Fortsetzung Beispiel:
Die Logik L3 ist nicht funktional vollständig. Dies kann man wie folgt beweisen:
Wir zeigen durch eine Induktion über den Aufbau der Formeln, dass für alle
Formeln α über den Variablen x1 , . . . , xn die folgende Eigenschaft gilt:
∀1 ≤ i ≤ n∀ai ∈ {0, 2} : fα ([x1 /a1 , . . . , xn /an ]) ∈ {0, 2}.
Induktionsanfang: Für die Formeln x (Variable) gilt offensichtlich die Behauptung.
Induktionsschritt: Gelte nach Induktionsvoraussetzung die Behauptung für α
und β. Für σ = ¬α gilt dann I0,2 (σ) = I0,2 (¬α) = 2 − I0,2 (α) ∈ {0, 2} für alle
Bewertungen I0,2 über 0 und 2.
Sei σ = α → β, dann gilt I0,2 (σ) = I0,2 (α → β) ∈ {0, 2}, wie man sofort aus der
Wahrheitstafel für → ersehen kann.
2
Wir erweitern nun die Logik L3 um einen einstelligen Junktor T zu der Logik
T
0 1
L3 S = {{0, 1, 2}, {0}, {2}, ¬, →, T ). Der Junktor T ist definiert durch
1 1
2 1
Die Logik L3 S überdeckt weiterhin die klassische Aussagenlogik, aber wegen T
ist nicht jede Formel beschränkt auf die Werte 0 und 2 eine aussagenlogische
Formel.
Lemma 1. Die Logik L3 S ist funktional vollständig.
2
Äquivalenz, Erfüllbarkeit und Folgerung
Die Begriffe Tautologie, widespruchsvoll und erfüllbar aus der klassischen Logik
können direkt auf die dreiwertige Logik übertragen werden. Wir ergänzen sie um
eine weitere Definition für die Erfüllbarkeit.
Definition 3. (Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit)
1. (Tautologie)
Eine Formel α ist eine Tautologie gdw. für alle Bewertungen I gilt I(α) = 2.
2. (erfüllbar)
Eine Formel α ist erfüllbar gdw. es eine Bewertungen I gibt mit I(α) = 2.
3. ({1, 2}-erfüllbar)
Eine Formel α ist {1, 2}-erfüllbar gdw. es eine Bewertungen I gibt mit I(α) ∈
{1, 2}.
4. (widerspruchsvoll)
Eine Formel α ist eine widerspruchsvoll gdw. für alle Bewertungen I gilt:
I(α) = 0.
Die aus der zweiwertigen Aussagenlogik bekannten Zusammnhänge, wie zum
Beispiel - α ist eine Tautologie gdw. ¬α widerspruchsvoll ist -, müssen nicht unbedingt mehr gelten, da sie stark von der Definition der Negation (¬) abhängen.
Ebenso gilt in einer dreiwertigen Logik nicht immer die Aussage, dass α∨¬α eine
Tautologie ist. Beispielweise ist für L3 S die Formel ¬T x ∨ T x keine Tautologie,
da T immer den Wert 1 liefert, die Negation ¬ für 1 wieder 1 ergibt und der
oder-Junktor ∨ dann den Wert 1 besitzt.
3
Übungsaufgabe 1:
Bitte beweisen oder widerlegen sie die folgenden Aussagen: Für jede dreiwertige
Logik mit der in L3 definierten Negation ¬ gilt:
1. α ist eine Tautologie gdw. ¬α widerspruchsvoll ist.
2. α ist widerspruchsvoll gdw. ¬α {1, 2}-erfüllbar ist
3. α ist {1, 2}-erfüllbar, falls α erfüllbar ist.
Definition 4. (Äquivalenz)
Zwei Formeln α und β sind (logisch) äquivalent gdw. für alle Bewertungen I die
Beziehung I(α) = I(β) gilt.
Sind zwei Formeln α und β äquivalent, dann schreiben wir dafür α ≈ β.
Übungsaufgabe: Konstruieren Sie bitte zu einigen einstelligen Junktoren der
dreiwertigen Logik eine äquivalente Formel in L3 S.
Mit Hilfe des Äquivalenzbegriffes können wir zeigen, dass die Logik L3 auch
über den Junktoren ∧ und ¬ eingeführt hätte sein können. Um dies zu zeigen,
sei L13 := ({0, 1, 2}, {0}, {2}, ¬, ∧).
Lemma 2. ∀α ∈ L3 ∃β ∈ L13 : α ≈ β und ∀α ∈ L13 ∃β ∈ L3 : α ≈ β.
Beweis. Dass L13 in L3 enthalten ist, folgt sofort, da ∧ als Abkürzung mit Hilfe
von → und ¬ eingeführt worden ist.
Für die andere Richtung - jede Formel aus L3 besitzt eine äquivalente Formel in
L13 - genügt es zu zeigen, dass → mit Hilfe von ∧ und ¬ repräsentiert werden kann.
Wie man sofort an Hand der Wahrheitstafeln erkennt, gilt α → β ≈ ¬(α ∧ ¬β).
q.e.d.
Eine Einschränkung des Vollständigkeitsbegriffes betrifft nur die in der entsprechenden Logik vorkommenden Formeln.
Definition 5. Sei M eine dreiwertige aussagenlogische Logik mit Junktoren
J1 , . . . , Jr . Eine Menge von Junktoren J = {Ji1 , . . . , Jim } ist vollständig für
M gdw. es zu jeder Formel in M eine äquivalente Formel in M gibt, die nur nit
Hilfe der Junktoren aus J aufgebaut ist.
Sei beispielsweise die Logik L3 ergänzt um den Junktor ∧, also
L23 := ({0, 1, 2}, {0}, {2}, ¬, →, ∧). Dann sind die Mengen der Junktoren {∧, ¬}
und {→, ¬} vollständig für L23 .
Für die klassische Logik ist bekannt, dass das Erfüllbarkeitsproblem SAT NPvollständig ist. Wie schwierig für eine dreiwertige Logik das Tautologieproblem,
das Erfüllbarkeitsproblem etc. sind, muss im Einzelfall entschieden werden. So
gibt es durchaus interessante Beispiele einer dreiwertigen Logik, für die das Tautologieproblem einfach zu lösen ist.
4
Betrachten wir beispielsweise die Logik L3 . Dann gilt die folgende Behauptung
Lemma 3. Das Erfüllbarkeitsproblem SAT (L13 ) := {α|α ist erfüllbar} ist NPvollständig.
Beweis. Dass das Problem in NP liegt, sieht man sofort, da nur eine Bewertung
zu raten ist und dann die Erfüllbarkeit überprüft werden muss. Dies kann in
polynomialer Zeit geschehen. Die NP-Vollständigkeit, d.h. das Problem gehört zu
den harten Problemen in NP, kann man durch eine Reduktion auf das klassische
SAT-Problem zeigen.
Wir ordnen jetzt jeder Formel α aus L13 die Formel α aus AL zu. D.h. in L3
ist sie dreiwertig und in AL ist sie zweiwertig. Dann gilt: Ist I eine zweiwertige,
erfüllbare Bewertung in AL, dann ist sie auch eine erfüllende Bewertung für L13 .
Sei nun I eine Bewertung für α in L13 . Dann kann für einige Variablen I(x) = 1
gelten. Da I(α) = 2 ist, die Negation den Wert 1 wieder in 1 überführt und die
Konjunktion ∧ nur den Wert 2 liefert, falls beide Werte 2 sind, können wir die
Interpretation I verändern. Wir setzen I(x) = 0, falls I(x) = 1 war. Dann ist
die so modifizierte Bewertung eine erfüllende Bewertung für α in AL.
q.e.d.
Übungsaufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie bitte die Behauptung:
Das {1, 2}-Erfüllbarkeitsproblem für L3 is NP-vollständig.
2.1
Normalformen und Umformungsgesetze
In der klassischen Aussagenlogik spielen Normalformen, wie die Negationsnormalform und die konjunktive Normalform eine wichtige Rolle, da sie für eine
übersichtliche Darstellung und für Deduktionsverfahren, z.B. Resolution, benötigt werden.
Für die dreiwertige Logik muss in jedem Einzelfall darüber nachgedacht werden,
wie solche Normalformen definiert sein sollen.
Für L3 können wir die Negationsnormalform wie in der klassichen Aussagenlogik
definieren; also jedes Negationszeichen steht direkt vor einer Variablen.
Übungsaufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptungen:
1. Zu jeder Formel α ∈ L13 := ({0, 1, 2}, {0}, {2}, ¬, ∧) gibt es eine äquivalente
Formel β in Negationsnormalform.
2. Zu jeder Formel α ∈ L3 S gibt es eine äquivalente Formel β ∈ L3 S in Negationsnormalform.
In der klassischen Logik haben wir für die Transformationen in Normalformen
äquivalenzerhaltende Umformsregeln zu Hilfe genommen. Diese waren unter anderem das Distributivgesetz, die de Morgansche Regel ¬(α ∨ β) ≈ (¬α ∧ ¬β)
5
und die Regel ¬¬α ≈ α. Für jede dreiwertige Logik müssen wir im Einzelfall
überprüfe, welche Regeln weiterhin gelten.
Wie wir später noch sehen werden, gibt es interessante Beispiele in der dreiwertigen Logik, die verschiedene Versionen der Negation verwenden. In diesem
Fall gibt es oftmals verschiedene Definitionen der Negationsnormalform und der
konjunktiven Normalform.
3
Folgerung
Ein ganz zentraler Begriff für die Deduktion ist der Folgerungsbegriff. Wir stellen
hier zuerst zwei Versionen vor, um einige Varianten aufzuzeigen.
Definition 6. (Folgerung)
1. |=1
Für zwei Formeln α und β gilt α |=1 β gdw. für alle Bewertungen I gilt:
Falls I(α) = 2, dann auch I(β) = 2.
2. |=
Für zwei Formeln α und β gilt α |= β gdw. für alle Bewertungen I die
Beziehung I(α) ≤ I(β) gilt.
Die beiden Definitionen der Folgerung stimmen auf der klassischen Aussagenlogik überein. Für die beiden Folgerungsbegriffe und jede dreiwertige Logik M
gelten aber die folgende Beziehungen.
Lemma 4. 1. ∀α, β ∈ M : Falls α |= β, dann auch α |=1 β.
2. Es gibt eine dreiwertige Logik M für die gilt: ∃α, β : α |=1 β und α 6|= β.
Beweis. Ad 1: Gelte α |= β. Dann gilt auf Grund der Definition von |=, dass für
I(α) = 2 auch I(β) = 2 gelten muss. D.h. wir erhalten α |=1 β.
Ad 2: Sei M = L3 S, dann gilt T x |=1 x aber nicht T x |= x wie man für I(x) = 0
sieht.
Ein weiterer wichtiger Zusammnhang in der klasischen Lgik ist der Zusammenhang zwischen der Folgerung und der Äquivalenz: α ≈ β gdw. (α |= β und
β |= α).
Übungsaufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für jede dreiwertige Logik
M gilt: ∀ α, β ∈ M : α ≈ β gdw.(α |= β) und β |= α)
Die Frage ist nun, ob der aus der klassichen Aussagenlogik bekannte Zusammenhang (α |= β gdw. (α ∧ ¬β) widerspruchsvoll ist) weiterhin gilt.
6
Übungsaufgabe
Beweisen oder widerlegen Sie bitte für L3 und L3 , S die folgenden Aussagen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
4
Für
Für
Für
Für
Für
Für
L3 : α |=1 β gdw. α ∧ ¬β ist widerspruchsvoll.
L3 , S: α |=1 β gdw. α ∧ ¬β ist widerspruchsvoll.
L3 : α |= β gdw. α ∧ ¬β ist widerspruchsvoll.
L3 , S: α |= β gdw. α ∧ ¬β ist widerspruchsvoll.
L3 : α ≈ β gdw. (α |= β und β |= α).
L3 , S: α ≈ β gdw. (α |= β und β |= α).
Axiome und Schlussregeln
Wie in der klassischen Logik beruhen eine Reihe von Deduktionsverfahren auf
der Anwendung von Schlussregeln. Das Ziel der Deduktion kann sein, dass man
entscheiden möchte, ob eine Formel eine Tautologie ist oder ob α |= β gilt. Für
die Überprüfung, ob α eine Tautologie ist, kann man den Ansatz verfolgen, der
ausgehend von Axiomen mit Hilfe von Schlussregeln versucht α zu erzeugen.
Wir können die Begriffe Axiom und Schlussregeln nun auf die dreiwertige Logik
übertragen.
Definition 7. (Formelschema)
Seien φ1 , . . . , φn , φn+1 , . . . Variable für Formeln. Ein Ausdruck gebildet mit diesen Formelvariablen und den Junktoren der Logik wird als Formelschema bezeichnet. Beispielsweise enthalte die Logik die Junktoren ∧ and ¬, dann ist ¬φ1 ∧ φ2
ein Formelschema.
Sei F ein Formelschema mit den Formelvariablen φ1 , . . . , φr , dann ist für konkrete Formeln σ1 , . . . , σr aus M , F [φ1 /σ1 , . . . , φr /σr ] die konkrete Formel, die
durch die Substitution von φi durch σi entsteht.
Definition 8. (Axiom, Schlussregel)
1. Ein Axiom ist ein Formelschema, für das alle Substitutionen mit konkreten
Formeln eine Tautologie liefern.
2. Seien F, F1 , . . . , Fn Formelschemata, dann ist S =< {F1 , . . . , Fn }, {F } >
eine Schlussregel gdw. für alle tautologischen Formeln F1 , . . . , Fm die Formel
F eine Taulogie ist.
Es stellt sich nun die Frage, ob für jede dreiwertige Logik M , Axiome Ai und
n
auch die Beziehungen |= Ai und φ1 , . . . , φn |= φ gelten.
Schlussregeln φ1 ,...,φ
φ
Übungsaufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie bitte die Behauptung:
Für die Axiome A1, . . . , A4 und den Modus Ponens (MP) gilt für L3 :
∀1 ≤ i ≤ 4 : |= Ai und α, α → β |= β.
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Definition 9. (Endlich axiomatisierbar)
M ist endlich axiomatisierbar gdw. wenn es endlich viele Axiome A1 , . . . , Ak
und Schlussregeln S1 , . . . , St gibt, so dass sich genau alle tautologischen Formel
aus M mit Hilfe der Axiome und der Schlussregeln herleiten lassen.
Für L3 sind die folgenden Ausdrücke Axiome, da für alle Substitutionen mit
konkreten Formelnd die so erzeugten Formeln Tautologien sind:
1.
2.
3.
4.
A1
A2
A3
A4
: α → (β → α)
: (α → β) → ((β → γ) → (α → γ))
: (¬β → ¬α) → (α → β)
: ((α → ¬α) → α) → α
Eine Schlussregel ist der Modus Ponens (MP), der wie in der klassischen Logik
definiert ist durch
α, α→β
(M P )
β
Für die Axiome A1 , . . . , A4 und die Schlussregel M P gilt, dass jede tautologische
Formel aus L3 erzeugt werden kann. Man sagt dazu auch, dass die Axiome und
die Schlussregel vollständig für L3 sind. Da wir nur vier Axiome verwenden, ist
L3 auch endlich axiomatisierbar.
Will man Schlussregeln für die Deduktion verwenden, um zum Beispiel zu entscheiden, ob α |= β gilt, dann muss man näher auf den Zusammenhang zwischen
der syntaktischen Herleitung von Formeln und der logischen Folgerung (|=) eingehen.
Zum Beispiel können wir die Frage stellen, ob für L3 die folgende Aussage gilt:
α |= β gdw. ausgehend von α die Formel β mit Hilfe des Modus Ponens (MP)
hergeleitet werden kann.
Ebenso kann man versuchen, die Resolution auf die jeweilige dreiwertige Logik
zu übertragen. Abhängig von der definierten Logik gibt es oftmals verschiedene
Definitionen der Resolution, die von der Definition der jeweiligen konujunktiven
Normalform abhängig sein können.
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