Die Schrödinger Gleichung

Die Schrödinger Gleichung
Eine Einführung
Christian Hirsch
Die Schrödinger Gleichung – p. 1/16
Begriffserklärung
Was ist die Schrödingergleichung?
Die Schrödinger Gleichung – p. 2/16
Begriffserklärung
Was ist die Schrödingergleichung?
Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung
der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie
beschreibt als Wellengleichung die zeitliche
Entwicklung des Zustands eines unbeobachteten
Quantensystems.
(Wikipedia)
Die Schrödinger Gleichung – p. 2/16
Grundlagen
Der Zustand eines Teilchens kann durch die
Wellenfunktion ψ( x ) beschrieben werden.
Die Schrödinger Gleichung – p. 3/16
Grundlagen
Der Zustand eines Teilchens kann durch die
Wellenfunktion ψ( x ) beschrieben werden.
|ψ( x )|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das
Teilchen am Ort x aufhält.
Die Schrödinger Gleichung – p. 3/16
Grundlagen
Der Zustand eines Teilchens kann durch die
Wellenfunktion ψ( x ) beschrieben werden.
|ψ( x )|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das
Teilchen am Ort x aufhält.
R∞
2
|
ψ
(
x
)|
dx = 1
−∞
Die Schrödinger Gleichung – p. 3/16
Grundlagen
Der Zustand eines Teilchens kann durch die
Wellenfunktion ψ( x ) beschrieben werden.
|ψ( x )|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das
Teilchen am Ort x aufhält.
R∞
2
|
ψ
(
x
)|
dx = 1
−∞
ψ( x )
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 3/16
Grundlagen
Der Zustand eines Teilchens kann durch die
Wellenfunktion ψ( x ) beschrieben werden.
|ψ( x )|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das
Teilchen am Ort x aufhält.
R∞
2
|
ψ
(
x
)|
dx = 1
−∞
|ψ( x )|2
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 3/16
Formel
Nun zur zeitunabhängigen, eindimensionalen
Schrödingergleichung
Die Schrödinger Gleichung – p. 4/16
Formel
Nun zur zeitunabhängigen, eindimensionalen
Schrödingergleichung
h̄2 ′′
− ψ ( x ) + E pot ψ( x ) = Eges ψ( x )
2m
Die Schrödinger Gleichung – p. 4/16
Herleitung?
Fundament der Quantentheorie
Die Schrödinger Gleichung – p. 5/16
Herleitung?
Fundament der Quantentheorie
Keine Herleitung im eigentlichen Sinne
möglich
Die Schrödinger Gleichung – p. 5/16
Herleitung?
Fundament der Quantentheorie
Keine Herleitung im eigentlichen Sinne
möglich
Allerdings: Plausibilitätsbetrachtungen
möglich; z.B. Potentialtopf
Die Schrödinger Gleichung – p. 5/16
Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 6/16
Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
E pot
0
L x
Die Schrödinger Gleichung – p. 6/16
Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) ein
konstantes Potential
Die Schrödinger Gleichung – p. 7/16
Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) ein
konstantes Potential
Wahl des günstigen Bezugssystem ⇒ E pot = 0
Die Schrödinger Gleichung – p. 7/16
Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) ein
konstantes Potential
Wahl des günstigen Bezugssystem ⇒ E pot = 0
h̄2 ′′
− ψ ( x )+ 0·ψ( x ) = Eges ψ( x )
2m
Die Schrödinger Gleichung – p. 7/16
Anwendung:Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden
Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) ein
konstantes Potential
Wahl des günstigen Bezugssystem ⇒ E pot = 0
h̄2 ′′
− ψ ( x ) = Eges ψ( x )
2m
Die Schrödinger Gleichung – p. 7/16
Probeansatz
Probeansatz: ψ( x ) = A sin(bx )
Die Schrödinger Gleichung – p. 8/16
Probeansatz
Probeansatz: ψ( x ) = A sin(bx )
2
h̄
− ( A sin(bx ))′′ = Eges A sin(bx )
2m
Die Schrödinger Gleichung – p. 8/16
Probeansatz
Probeansatz: ψ( x ) = A sin(bx )
2
h̄
− ( A sin(bx ))′′ = Eges A sin(bx )
2m
2
h̄
Ab2 sin(bx ) = Eges A sin(bx )
2m
Die Schrödinger Gleichung – p. 8/16
Probeansatz
Probeansatz: ψ( x ) = A sin(bx )
2
h̄
− ( A sin(bx ))′′ = Eges A sin(bx )
2m
2
h̄
Ab2 sin(bx ) = Eges A sin(bx )
2m
h̄2 2
b = Eges
2m
Die Schrödinger Gleichung – p. 8/16
Nebenbedingungen
ψ(0) = 0, ψ( L) = 0
Die Schrödinger Gleichung – p. 9/16
Nebenbedingungen
ψ(0) = 0, ψ( L) = 0
ψ( x ) = A sin(bx )
Die Schrödinger Gleichung – p. 9/16
Nebenbedingungen
ψ(0) = 0, ψ( L) = 0
ψ( x ) = A sin(bx )
kπ
bL = kπ ⇒ b =
L
Die Schrödinger Gleichung – p. 9/16
Nebenbedingungen
ψ(0) = 0, ψ( L) = 0
ψ( x ) = A sin(bx )
kπ
bL = kπ ⇒ b =
L
h̄2 2
h2 2
Einsetzen in Eges =
b =
b
2
2m
8π m
Die Schrödinger Gleichung – p. 9/16
Nebenbedingungen
ψ(0) = 0, ψ( L) = 0
ψ( x ) = A sin(bx )
kπ
bL = kπ ⇒ b =
L
h̄2 2
h2 2
Einsetzen in Eges =
b =
b
2
2m
8π m
h2 k 2
Eges =
8mL2
Die Schrödinger Gleichung – p. 9/16
Normierung
R∞
2
|
ψ
(
x
)|
dx = 1
−∞
Die Schrödinger Gleichung – p. 10/16
Normierung
R∞
2
|
ψ
(
x
)|
dx = 1
−∞
RL
0
A2 sin2 (bx )dx = 1
Die Schrödinger Gleichung – p. 10/16
Normierung
R∞
2
|
ψ
(
x
)|
dx = 1
−∞
RL
0
A2 sin2 (bx )dx = 1
R L 1 − cos(2bx )
A 0
dx = 1
2
2
Die Schrödinger Gleichung – p. 10/16
Normierung
R∞
2
|
ψ
(
x
)|
dx = 1
−∞
RL
0
A2 sin2 (bx )dx = 1
R L 1 − cos(2bx )
A 0
dx = 1
2
L
kπ
kπ
−
1
2 x −(2 L ) sin(2 L x )
=1
A
2
2
0
Die Schrödinger Gleichung – p. 10/16
Normierung
R∞
2
|
ψ
(
x
)|
dx = 1
−∞
RL
0
A2 sin2 (bx )dx = 1
R L 1 − cos(2bx )
A 0
dx = 1
2
L
kπ
kπ
−
1
2 x −(2 L ) sin(2 L x )
=1
A
2
2
0
A
2L
2
=1 ⇒ A=
r
2
L
Die Schrödinger Gleichung – p. 10/16
Interpretation als stehende Welle
Ergebnis der Schrödingergleichung
q
ψ( x ) = L2 sin( kπ
L x)
Die Schrödinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
Ergebnis der Schrödingergleichung
q
ψ( x ) = L2 sin( kπ
L x)
kπ λ
L
= 2π ⇒ λ =
2L
k
⇒
λ
2k
=L
Die Schrödinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
Ergebnis der Schrödingergleichung
q
ψ( x ) = L2 sin( kπ
L x)
kπ λ
L
= 2π ⇒ λ =
2L
k
⇒
λ
2k
=L
Die Schrödinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
Ergebnis der Schrödingergleichung
q
ψ( x ) = L2 sin( kπ
L x)
kπ λ
L
= 2π ⇒ λ =
2L
k
⇒
λ
2k
=L
Die Schrödinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
Ergebnis der Schrödingergleichung
q
ψ( x ) = L2 sin( kπ
L x)
kπ λ
L
= 2π ⇒ λ =
2L
k
⇒
λ
2k
=L
Die Schrödinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
Ergebnis der Schrödingergleichung
q
ψ( x ) = L2 sin( kπ
L x)
kπ λ
L
= 2π ⇒ λ =
2L
k
⇒
λ
2k
=L
Die Schrödinger Gleichung – p. 11/16
Kinetische Energie
2
h̄ ′′
Untersuchung des Terms − ψ ( x ):
2m
Die Schrödinger Gleichung – p. 12/16
Kinetische Energie
2
h̄ ′′
Untersuchung des Terms − ψ ( x ):
2m
2 q
2
h̄
h̄ ′′
′′
x
))
− ψ ( x ) = − ( L2 sin( kπ
L
2m
2m
Die Schrödinger Gleichung – p. 12/16
Kinetische Energie
2
h̄ ′′
Untersuchung des Terms − ψ ( x ):
2m
2 q
2
h̄
h̄ ′′
′′
x
))
− ψ ( x ) = − ( L2 sin( kπ
L
2m
2m
r
2
2
2 2
2
2
h
h k π
k
kπ
x) =
=
ψ
(
x
)
sin
(
L
λ
2
2
8π m L
L
8m (k 2 )2
Die Schrödinger Gleichung – p. 12/16
Kinetische Energie
2
h̄ ′′
Untersuchung des Terms − ψ ( x ):
2m
2 q
2
h̄
h̄ ′′
′′
x
))
− ψ ( x ) = − ( L2 sin( kπ
L
2m
2m
r
2
2
2 2
2
2
h
h k π
k
kπ
x) =
=
ψ
(
x
)
sin
(
L
λ
2
2
8π m L
L
8m (k 2 )2
h2
p2
ψ( x ) =
ψ( x ) = Ekin ψ( x )
2
2λ m
2m
Die Schrödinger Gleichung – p. 12/16
Fazit des Gedankenversuchs
Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges
möglich (Eigenwerte)
Die Schrödinger Gleichung – p. 13/16
Fazit des Gedankenversuchs
Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges
möglich (Eigenwerte)
Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen
Die Schrödinger Gleichung – p. 13/16
Fazit des Gedankenversuchs
Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges
möglich (Eigenwerte)
Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen
Komplexitätssteigerung bei
mehrdimensionalen, zeitabhängigen Prozessen
Die Schrödinger Gleichung – p. 13/16
Fazit des Gedankenversuchs
Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges
möglich (Eigenwerte)
Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen
Komplexitätssteigerung bei
mehrdimensionalen, zeitabhängigen Prozessen
Oft keine Lösung in geschlossener Form
möglich
Die Schrödinger Gleichung – p. 13/16
Ausblicke: Endlicher Potentialtopf
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 14/16
Ausblicke: Endlicher Potentialtopf
ψ( x )
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 14/16
Ausblicke: Endlicher Potentialtopf
ψ( x )
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 14/16
Ausblicke: Tunneleffekt
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 15/16
Ausblicke: Tunneleffekt
ψ( x )
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 15/16
Ausblicke: Tunneleffekt
ψ( x )
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 15/16
Ausblicke: Tunneleffekt
ψ( x )
x
Die Schrödinger Gleichung – p. 15/16
Für Spielereien
www.schulphysik.de/java/physlet/applets/quant2.html
http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap10/images/slange.exe
http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap10/images/wippe.exe
http://phys.educ.ksu.edu/vqm/
Die Schrödinger Gleichung – p. 16/16