Die Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung
µ
(iγ ∂ µ − m)Ψ = 0
Alexander Köhler
10. Mai 2006
Gliederung
1. Gruppentheoretische Begründung der Dirac-Gleichung
1.1 Grundsätzliches
1.2 Lie-Algebra und Casimir-Elemente der Lorentz-Gruppe
1.3 Die chirale Darstellung
2. Lösungen und Symmetrien der Dirac-Gleichung
2.1 Die freien Lösungen
2.2 Paritätsoperator und Ladungskonjugationsoperator
2.3 Helizität und Chiralität
2.4 Bilineare Kovarianten
3. Literatur
4. Nachtrag zum Ansatz ΨR (0) = ΨL (0) in1.3
1. Gruppentheoretische Begründung der Dirac-Gleichung
1.1 Grundsätzliches
• Symmetriegruppen operieren in natürlicher Weise auf der Menge Z
der Zustände einer physikalischen Theorie
⇒ Ist G eine Symmetriegruppe einer physikalischen Theorie, so existiert eine
bijektive Abbildung D ( g ) : Z → Z mit D ( gh) = D ( g ) o D ( h) für alle g , h ∈ G
• Ist Z ein Vektorraum, so heißt D eine Darstellung von G auf Z
Aufgabe: Sei umgekehrt eine Gruppe G gegeben, für welche physikalischen
Theorien mit einem Vektorraum Z als Zustandsraum wird G zu einer Symmetrie?
1. Untersuchung, welche unterschiedlichen (nicht-äquivalenten) Darstellungen von
G existieren, schränkt die Art des überhaupt in Frage kommenden
Transformationsverhaltens von Vektorräumen Z unter der Wirkung von G ein
2. Für Lie-Gruppen:
Man untersuche deren Lie-Algebra und suche nach Casimir-Elementen
1.2 Lie-Algebra und Casimir-Elemente der Lorentz-Gruppe
• Die eigentliche Lorentz-Gruppe wird von folgenden Elementen erzeugt
Boosts in x, y, und z-Richtung:
 cosh ϑx

 sinh ϑx
 0

 0

 cosh ϑ y

 0
 sinh ϑ
y

 0

sinh ϑx
cosh ϑx
0
0
0 0  γ
 
0 0   βγ
=

1 0
0
 
0 1   0
0 sinh ϑ y
1
0
0 cosh ϑ y
0
0
mit ϑx , ϑ y , ϑz ∈ IR
βγ
γ
0
0
0
 cosh ϑz


0
 0
, 

0
0



 sinh ϑ
1
z

0 0

0 0
1 0

0 1 
0
1
0
0
0 sinh ϑz 

0
0 
1
0 

0 cosh ϑz 
1.2 Lie-Algebra und Casimir-Elemente der Lorentz-Gruppe
Rotationen in x, y, und z-Richtung:
1

0
0

0

0
1
0
0
0 cos ϕ x
0 − sin ϕ x
0
1

 0 cos ϕ z
 0 − sin ϕ
z

0
0

0
1



 0 cos ϕ y

, 

0
0
sin ϕ x



 0 sin ϕ
cos ϕ x 
y

0
0
0
sin ϕ z
cos ϕ z
0
mit ϕ x , ϕ y , ϕ z ∈ IR
0

0
0

1 


0 − sin ϕ y 
1
0 

0 cos ϕ y 
0
0
1.2 Lie-Algebra und Casimir-Elemente der Lorentz-Gruppe
• Differentiation nach den Parametern an der Stelle der Einheitsmatrix, liefert
folgende mit − i multiplizierte Generatoren:
0

1
K x = −i
0

0

1 0 0
0


0 0 0
0
, K y = −i

0 0 0
1


0
0 0 0 

0 1 0
0


0 0 0
0
, K z = −i

0 0 0
0


1
0 0 0 

0

0
J x = −i
0

0

0
0
0


0 0 0
0
, J y = −i

0
0 0 1


0

0 −1 0

0
0 0


0 0 − 1
0 0
, J z = −i

0 0 0
0 −1


0 0

1 0 0

0
0 0
0 0 1

0 0 0
0 0 0

0 0 0 
0 0

1 0
0 0

0 0 
1.2 Lie-Algebra und Casimir-Elemente der Lorentz-Gruppe
• Man erhält folgende Kommutatorbeziehungen
[K k , K l ] = −iε klm K m
[J k , J l ] = iε klm J m
[J k , K l ] = iε klm K m
• Wir definieren uns eine neue Basis der Lie-Algebra
1
1
(
)
Ak = J k + iK k und Bk = ( J k − iK k )
2
2
• Hier gilt nun
[Ak , Al ] = iε klm Am
[Bk , Bl ] = iε klm Bm
[Ak , Bl ] = 0
1.2 Lie-Algebra und Casimir-Elemente der Lorentz-Gruppe
⇒ Die Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe zerfällt in zwei unabhängige
Drehimpulsalgebren
Definition: Ein Casimir-Element einer Lie-Algebra ist eine Linearkombination von
formalen Produkten von Vektoren der Lie-Algebra, die mit allen Vektoren der
Lie-Algebra kommutiert.
r2
r2
• Offenbar sind A und B zwei unabhängige Casimir-Elemente der Lorentz-Gruppe
Frage: Was nutzt uns diese Erkenntnis?
1. In jeder Darstellung einer Gruppe kommutiert die Darstellungsmatrix eines
Casimir-Elements mit allen Darstellungsmatrizen der Gruppenelemente
2. Mit dem Lemma von Schur folgt, daß alle irreduziblen Darstellungen der Gruppe
durch die Eigenwerte der Casimir-Elemente charakterisiert sind
r2
r2
3. Die Eigenwerte von A und B sind a ( a + 1) bzw. b(b + 1) mit a, b = 0, 1 / 2, 1, 3 / 2 ...
Die Summe a + b bezeichnet man als den Spin einer irreduziblen Darstellung
1.2 Lie-Algebra und Casimir-Elemente der Lorentz-Gruppe
wichtiges Beispiel:
• Die Lorentz-Matrizen bilden für sich allein bereits eine irreduzible Darstellung der
Lorentz-Gruppe auf dem C
/ 4, wobei ein Element des C
/ 4 in diesem Fall den
vertrauten Namen Vierervektor trägt
• Für die Lorentz-Matrizen ist a = 1 / 2 und b = 1 / 2 , wie man leicht selbst
nachrechnet. Der Spin dieser sogenannten (1 / 2, 1 / 2)-Darstellung der
/ 4durch die Lorentz-Matrizen ist also 1.
Lorentz-Gruppe auf dem C
4
/ . Uns wird
• Es gibt noch andere Darstellungen der Lorentz-Gruppe auf dem C
dabei die sogenannte (1 / 2, 0) ⊕ (0, 1 / 2)-Darstellung interessieren. Ein Element
des C
/ 4 heißt in dem Fall Dirac-Spinor.
• Dirac-Spinoren sind nicht dasselbe wie Vierervektoren, da die Lorentz-Gruppe
in unterschiedlicher Weise auf diese wirkt, nämlich so, wie es die
(1 / 2, 0) ⊕ (0, 1 / 2)-Darstellung bzw. die (1 / 2, 1 / 2) -Darstellung der
Lorentz-Gruppe vorgibt
1.3 Die chirale Darstellung
/ wie folgt realisiert werden
• Die ( a = 1 / 2, b = 0)-Darstellung kann auf dem C
2
A
also J
(1 / 2 , 0 )
k
σk
=
(1 / 2 , 0 )
k
=
2
σk
2
und Bk(1/ 2, 0 ) = 0
und K
(1 / 2 , 0 )
k
= −i
• analog für ( a = 0, b = 1 / 2)-Darstellung
( 0 ,1 / 2 )
k
A
= 0 und B
also J k( 0,1/ 2) =
( 0 ,1 / 2 )
k
σk
2
=
σk
2
σk
2
und K k( 0,1/ 2) = i
σk
2
2
• Die Elemente des C
/ in diesen beiden Darstellungen der Lorentz-Gruppe heißen
jeweils Weyl-Spinoren und werden wie folgt bezeichnet:
in der (1 / 2, 0) -Darstellung der Lorentz-Gruppe mit
ΨR
in der (0, 1 / 2) -Darstellung der Lorentz-Gruppe mit
ΨL
1.3 Die chirale Darstellung
r r
Λ (ϑ , ϕ )
r
Frage: Sei eine Lorentz-Transformation
durch den Boostwinkel ϑ und
r
den Rotationswinkel ϕ gegeben. Wie operiert diese Lorentz-Transformation jetzt
jeweils auf den beiden Mengen von Weyl-Spinoren?
1. Da wir schon Darstellungen einer Basis der Lie-Algebra und damit auch der
gesamten Lie-Algebra der Lorentz-Gruppe gefunden haben, erhalten wir die
dadurch jeweils induzierte Darstellung der Lorentz-Gruppe durch Exponenzieren
der Darstellungsmatrizen der Lie-Algebra. Also gilt:
2.
ΨR:
3.
ΨL:
r r
r r (1/ 2, 0) r r (1/ 2, 0)
Ψ 'R = D
(Λ(ϑ , ϕ ))ΨR = exp[i ⋅ (ϑ K
+ ϕJ
)]ΨR
r
r r 
σ

= exp i ⋅ (ϕ − iϑ ) ΨR
 2

r r
r r ( 0, 1/ 2 ) r r ( 0 , 1 / 2 )
( 0, 1/ 2 )
Ψ 'L = D
(Λ (ϑ , ϕ ))ΨL = exp[i ⋅ (ϑ K
+ ϕJ
)]ΨL
r
 σ r r 
= exp i ⋅ (ϕ + iϑ ) ΨL
 2

(1 / 2 , 0 )
1.3 Die chirale Darstellung
• Wir interessieren uns letztendlich für eine Darstellung der Lorentz-Gruppe auf
und definieren dazu den Dirac-Spinor
Ψ durch
 ΨR 
Ψ =  
 ΨL 
/4
C
Frage: Wie erhält man auf der Menge der Dirac-Spinoren eine Darstellung der
Lorentz-Gruppe?
1. Wir erhalten eine Darstellung, indem wir uns aus der (1 / 2, 0)- und der
(0, 1 / 2)-Darstellung Blockdiagonalmatrizen zusammenbauen. Diese Darstellung
auf dem C
/ 4nennt man die (1 / 2, 0) ⊕ (0, 1 / 2)-Darstellung der Lorentz-Gruppe.
2. Lorentz-Transformationen operieren dann folgendermaßen auf diesem
r r
(Λ(ϑ , ϕ ))Ψ
Ψ' = D
r


 σ r r 
 exp i ⋅ (ϕ − iϑ )
0

 2

Ψ
=
r

 σ r r 
0
exp i ⋅ (ϕ + iϑ ) 

 2


(1 / 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 )
C
/ 4:
1.3 Die chirale Darstellung
r
• Wir betrachten eine reine Boost-Transformation
ein
Λ (ϑ ,0) . Diese
r
r
r überführt
r
ruhendes Teilchen in eines mit Impuls p wobei die Richtung n für p und ϑ
übereinstimmt. Damit gilt:
r r


σ 
 exp ϑ 
0

r 
2 
Ψ ( p) =
r r Ψ (0)

 σ 
0
exp − ϑ  

 2 

• Unter Beachtung von
cosh ϑ = γ = E / m , sinhϑ = β
ist nun zunächst
r r
rr
γ + 1 rr γ − 1
 σ 
exp ± ϑ  = cosh(ϑ / 2) ± σn sinh(ϑ / 2) =
± σn
2
2
 2 
rr
E + m ± σp
=
2 m( E + m)
1.3 Die chirale Darstellung
• Wir setzen das Ergebnis dieser Zwischenrechnung ein
rr
 E + m + σp

r  2 m( E + m )
Ψ ( p) =

0




rr Ψ (0)
E + m − σp 

2 m( E + m) 
0
• Wir benötigen nun noch eine Beziehung um aus diesem Gleichungssystem Ψ (0)
eliminieren zu können. Dazu machen wir den Ansatz ΨR (0) = ΨL (0) (zur
Begründung siehe 4. Nachtrag). Nach ein paar Umformungen erhält man dann:
rr
rr
r
r
r
r
E + σp
E − σp
ΨR ( p) =
ΨL ( p) , ΨL ( p ) =
ΨR ( p )
m
m
1.3 Die chirale Darstellung
• Dies läßt sich wieder als Matrix schreiben
rr
E + σp  r
 −m

Ψ ( p ) = 0
rr
−m 
 E − σp
• Zum Schluß führen wir noch die folgenden 4x4-Matrizen ein
 0 −σ k 
0 1
k

 , γ = 
γ = 
0 
1 0
σ k
r
Mit dem Viererimpuls pµ = ( E ,− p ) und dem Viererimpulsoperator p̂µ = i∂ µ
0
•
schreibt sich das Gleichungssystem nun in Impuls- und in Ortsdarstellung
(γ µ pµ − m)Ψ = 0
bzw. (iγ µ ∂ µ − m)Ψ = 0
1.3 Die chirale Darstellung
• Zusammen mit den Matrizen
0 1 k  0
 , γ = 
γ = 
1 0
σ k
0
−σ k 
 und der
0 
konstruierten (1 / 2, 0) ⊕ (0, 1 / 2)-Darstellung der Lorentz-Gruppe auf dem C
/4
nennt man dies die chirale Darstellung der Dirac-Gleichung
• Ist S eine invertierbare 4x4-Matrix, so vermittelt sie einen Basiswechsel im
Raum der Spinoren und damit einen Wechsel von einer Darstellung 1 zu einer
Darstellung 2 der Dirac-Gleichung über
µ
µ
−1
ΨDarstellung 2 = SΨDarstellung 1 , γ Darstellun
=
S
S
γ
g2
Darstellung 1
r r
r r −1
DDarstellung 2 (Λ(ϑ , ϕ )) = SDDarstellung 1 (Λ(ϑ , ϕ )) S
• Von der chiralen Darstellung gelangt man so zum Beispiel zur so genannten
Standarddarstellung der Dirac-Gleichung mit
1 1 1 
1  ΨR + ΨL 



 , ΨStandard =
S=S =
2 1 − 1
2  ΨR − ΨL 
σk 
 0
1 0  k
0

 , γ Standard = 
γ Standard = 
 0 − 1
−σ k 0 
−1
2. Lösungen und Symmetrien der Dirac-Gleichung
2.1 Die freien Lösungen
• Wir starten unsere Betrachtung in der Standarddarstellung und suchen nach
ˆ1, 2,3 Ψ = i∂1, 2,3 Ψ
Zuständen mit verschwindendem räumlichem Impuls, d.h. p
1

0
0
µ
(iγ ∂ µ − m)Ψ = (iγ ∂ 0 − m)Ψ = i
0

0

0

1 0 0 &
Ψ − mΨ = 0

0 −1 0

0 0 − 1
0
0
• Hier liest man leicht die folgende Lösungsbasis ab
 χr 
1
 0
r
Ψ
( p = 0) =   exp(−imt ) mit χ1 =   , χ 2 =  
0
0
1
0
r
−,r
ΨStandard ( p = 0) =   exp(+imt )
 χr 
+ ,r
Standard
=0
2.1 Die freien Lösungen
• Mit Hilfe der obigen Darstellungswechselmatrix S-1 ermitteln wir das Aussehen
dieser Lösungsbasis in der chiralen Darstellung
+ ,r
chiral
Ψ
r
r
1  χr 
1  χr 
−,r
  exp(−imt ) , Ψchiral ( p = 0) =

 exp(+imt )
( p = 0) =
2  χr 
2  − χr 
• In der chiralen Darstellung haben wir bereits hergeleitet, wie sich Spinoren
ruhender Teilchen in Spinoren beliebig bewegter Teilchen transformieren
• Eine Lösungsbasis der Dirac-Gleichung für beliebigen Impuls ist deshalb in der
chiralen Darstellung gegeben durch
rr
+
+
(
E
m
p) χ r 
σ

r
1
+ ,r

 exp(−ip µ xµ )
Ψchiral ( p) =
rr
2 2m( E + m)  ( E + m − σp) χ r 
rr
+
+
(
E
m
p) χ r 
σ

r
1
−,r

 exp(+ip µ xµ )
Ψchiral ( p) =
rr
2 2m( E + m)  − ( E + m − σp) χ r 
2.1 Die freien Lösungen
• Mit der obigen Darstellungswechselmatrix S erhalten wir das Aussehen dieser
Lösungsbasis für beliebigen Impuls nun in der Standarddarstellung
 ( E + m) χ r 
1
 rr
 exp(−ip µ xµ )
Ψ
2m( E + m)  σpχ r 
rr
 σpχ r 
r
1
−,r

 exp(+ip µ xµ )
ΨStandard ( p) =
2 m ( E + m)  ( E + m ) χ r 
+ ,r
Standard
r
( p) =
• Die Dirac-Gleichung liefert Lösungen mit negativer Energie, die gemeinhin als
Antiteilchenzustände interpretiert werden
µ
• Man definiert mit Hilfe der γ noch die folgenden Projektionsoperatoren auf
Zustände positiver bzw. negativer Energie
ˆ =
Λ
±
1 ± γ µ pˆ µ
2
2.2 Paritätsoperator und Ladungskonjugationsoperator
• Die Paritätstransformation P ist ein besonders geartetes Element der
allgemeinen Lorentz-Gruppe, die für Vierervektoren gegeben ist durch
1



 −1

P=

−1



− 1

• Der auf Spinoren wirkende Paritätsoperator P̂ ist nun im wesentlichen durch
eine Darstellung D ( P ) der Paritätstransformation P auf dem Raum der Spinoren
gegeben.
• Unsere bisherige Darstellung der Lorentz-Gruppe auf dem Raum der Spinoren
beinhaltet nur eigentliche (orthochrone) Lorentz-Transformationen und damit noch
nicht die Paritätstransformation
⇒ Ein
D ( P) für die Spinortransformation muß also erst noch gefunden werden
2.2 Paritätsoperator und Ladungskonjugationsoperator
r
r
• Da P ( E , p ) = ( E ,− p ) ist, ist der Paritätsoperator P̂ dadurch gekennzeichnet,
daß er Spinoren auf Spinoren gleicher Energie und entgegengesetztem Impuls
abbildet
• An der Matrix γ in der Standarddarstellung sieht man aber, daß sie gerade das
Gewünschte leistet
0
⇒ Damit gilt allgemein:
r
r
r
r
0
ˆ
Ψ ' ( E , p) = ( PΨ )( E , p) = D( P)Ψ ( P( E , p)) = γ Ψ ( E ,− p)
• Man erkennt noch, daß die oben bestimmte Lösungsbasis
der freien
+ ,r r
−,r r
Dirac-Gleichung für ruhende Teilchen Ψ (p = 0) , Ψ ( p = 0) aus
Eigenvektoren zu den Eigenwerten +1 und -1 besteht, und daß Teilchen- und
Antiteilchenzustände damit entgegengesetzte Parität besitzen
• Der Paritätsoperator ist nur bis auf die Multiplikation mit einem beliebigen
unbeobachtbaren Phasenfaktor bestimmt. Deshalb macht es keinen Sinn
Teilchen- und Antiteilchenzuständen einen konkreten Paritätseigenwert
zuzuweisen. Man kann nur sagen, daß sie entgegengesetzte Parität besitzen.
2.2 Paritätsoperator und Ladungskonjugationsoperator
• Wir erweitern die Dirac-Gleichung nun um einen Term für das elektromagnetische
Feld Aµ
(iγ µ (∂ µ − eAµ ) − m) Ψ = 0
• Der Ladungskonjugationsoperator
dadurch definiert, daß gelten soll:
Ĉ
ist in seiner Wirkung auf Spinoren
(iγ µ (∂ µ − eAµ ) − m)Ψ = 0 ⇔ (iγ µ (∂ µ + eAµ ) − m)Cˆ Ψ = 0
• D.h. Ĉ überführt die Lösungen der Dirac-Gleichung mit Ladung
Dirac-Gleichung mit Ladung − e
e
• In der Standarddarstellung hat dieser Operator folgende Gestalt:
ΨC = Cˆ Ψ = iγ 2 Ψ *
in Lösungen der
2.3 Helizität und Chiralität
•
1r
Wir wollen zunächst den Spinoperator Σ definieren. Er soll dadurch
2
1 r2
gekennzeichnet sein, daß jeder Spinor ein Eigenvektor von Σ zum Eigenwert
4
½(½+1) ist.
• In der chiralen (1 / 2, 0) ⊕ (0, 1 / 2)-Darstellung ist es leicht ihn zu finden. Man
nehme
 Ak(1/ 2, 0 ) + Bk(1/ 2, 0 )
1
Σ k = 
2
0


0
=
( 0, 1/ 2 )
( 0, 1/ 2 ) 
Ak
+ Bk

1 σ k

2 0
0

σk 
• Mit Hilfe der obigen Darstellungswechselmatrix S rechnet man leicht nach, daß
der Spinoperator in der Standarddarstellung dieselbe Gestalt wie in der chiralen
Darstellung besitzt. Für andere Darstellungen gilt das im allgemeinen aber nicht!
• Der Helizitätsoperator ist bis auf den Faktor 2 durch die Projektion des Spins auf
die Impulsrichtung definiert
r p̂r
Σp
• Für ruhende Teilchen ist der Helizitätsoperator nicht definiert
2.3 Helizität und Chiralität
• Betrachten wir nun noch einmal folgende Lösungsbasis der freien Dirac-Gleichung
in der Standarddarstellung mit Impulsen ausschließlich in der z-Richtung:
 ( E + m) χ r 
r

Ψ
( p ) ∝ 
 σ z pz χ r 
 σ z pz χ r 
r
−,r

ΨStandard ( p ) ∝ 
 ( E + m) χ r 
r prˆ  σ z 0 

• Der Helizitätsoperator ist dann gegeben durch Σ = 
p
 0 σz 
1
0
± ,1
±,2
• Wegen χ1 =   , χ 2 =   sind dann offenbar ΨStandard , ΨStandard
 0
1
+ ,r
Standard
Eigenzustände des Helizitätsoperators zu den Eigenwerten 1 bzw. -1
Achtung: Die Eigenschaft Eigenzustand des Helizitätsoperators zu sein, ist für
massebehaftete Teilchen vom Bezugssystem abhängig.
2.3 Helizität und Chiralität
• Der Chiralitätsoperator ist
Darstellung gegeben durch
γ 5 (siehe nächster Abschnitt) und in der chiralen
1



 1

5
γ =

−1



− 1

• Die Spinoren
 ΨR 
  ,
 0 
 0 
  sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators
 ΨL 
zu den Eigenwerten +1 und -1 und heißen entsprechend rechts- bzw. linkschiral
• Für masselose Spin1/2-Teilchen entkoppeln in der chiralen Darstellung die
Bewegungsgleichungen und können wie folgt umgeschrieben werden
rr
(
E
−
p)ΨR 
σ


 = 0
rr
 ( E + σp)ΨL 
2.3 Helizität und Chiralität
• Dies nutzen wir aus und zeigen unter Berücksichtigung von E
rr
 σp
 p
r pr
Σ Ψ =
p

 0

= p damit:

0 
 ΨR   ΨR 

rr   = 
 = γ 5 Ψ
σp  ΨL   − ΨL 
p 
• Für masselose Teilchen bedeuten Helizität und Chiralität „zufällig“ dasselbe.
Für masselose Teilchen ist die Helizität also ausnahmsweise unabhängig vom
Bezugssystem.
Bemerkungen:
1. Die Eigenschaft, Eigenzustand des Chiralitätsoperators zu sein, ist unabhängig
vom gewählten Bezugssystem, während dies wie gesagt für den
Helizitätsoperator bei massiven Teilchen nicht gilt.
2. Was den Paritätsoperator angeht, so ist die Eigenschaft, Eigenzustand des
Paritätsoperators zu sein, ebenfalls stets vom Bezugssystem abhängig.
2.4 Bilineare Kovarianten
• Zusätzlich zu den 4 bereits bekannten γ -Matrizen definieren wir noch eine weitere
γ 5 = iγ 0γ 1γ 2γ 3
• Außerdem definieren wir noch den adjungierten Spinor durch
Ψ = Ψ −| γ 0
• Die folgenden Größen nennt man bilineare Kovarianten
[
]
Ψ Ψ , Ψ γ 5 Ψ , Ψ γ µ Ψ , Ψ γ 5γ µ Ψ , Ψ γ µ , γ ν Ψ
• Sie transformieren sich unter Lorentz-Transformationen wie Skalar, Pseudoskalar,
Vektor, Pseudovektor und Tensor
• Sie sind die Terme, die in den Lagrange-Dichten des Dirac-Feldes und seiner
Erweiterungen stehen und u.a. die Feynman-Regeln festlegen
3. Literatur
• T. Striepling : Dirac-Gleichung, Seminarvortrag
http://www.mi.uni-koeln.de/~cfrey/lsleschp/Lehre_Archiv/2002-03-WS/sem_dirac/vortrag2310.ps
• L.H. Ryder : Quantum Field Theory, Cambridge University Press
• F. Schwabl : Quantenmechanik für Fortgeschrittene, Springer-Verlag
4. Nachtrag zum Ansatz ΨR (0) = ΨL (0) in 1.3
Es ist so, daß wir bis zu diesem Punkt nur die eigentlichen orthochronen
Lorentz-Transformationen in unserer (1 / 2, 0) ⊕ (0, 1 / 2)-Darstellung berücksichtigt
haben. Tatsächlich reicht das für die „Ableitung“ der Dirac-Gleichung noch nicht aus.
Man benötigt eine Darstellung aller orthochronen Lorentz-Transformationen und muß
deshalb bereits hier die Darstellung um die der Paritätstransformation P erweitern.
Eine von vielen Möglichkeiten, diese Erweiterung der chiralen Darstellung der
eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen vorzunehmen, ist folgende:
0 1

Dchiral ( P) = 
1 0
Aus physikalischer Sicht ist klar, daß P Spinoren ruhender Teilchen in Spinoren
ruhender Teilchen zu überführen hat. Deshalb ist es nicht abwegig, nun bis auf
unbeobachtbare Phasenfaktoren von der folgenden Beziehung auszugehen:
r
r
Ψchiral ( p = 0) = Dchiral ( P)Ψchiral ( p = 0)
4. Nachtrag zum Ansatz ΨR (0) = ΨL (0) in 1.3
Wegen
Ψchiral
r
r
 ΨR 
=   folgt daraus aber gerade ΨR ( p = 0) = ΨL ( p = 0) .
 ΨL 
In diesem Sinne findet der in 1.3 gemachte Ansatz so seine Begründung.
Man beachte nun noch, daß diese Beziehung keinesfalls für alle Spinoren ruhender
Teilchen zu gelten braucht. Die Dirac-Gleichung liefert mit den Lösungen negativer
Energie mehr Physik zurück, als man bei ihrer „Ableitung“ hineingesteckt hat (wir
haben nämlich nur Teilchen mit positiver Energie betrachtet). Für diese folgt dann
später, daß rechts- und linkschiraler Anteil für ruhende Teilchen gerade
unterschiedliches Vorzeichen haben.