Das Teilchen im Kasten - Institut für Physikalische Chemie

Das Teilchen im Kasten
• Eine der einfachsten Anwendungen der Quantenmechanik ist das Teilchen (z.B. Elektron) in einem eindimensionalen Kasten mit unendlich hoher Barriere
Elektron) in einem eindimensionalen Kasten mit unendlich hoher Barriere (Mauer). In einem solchen Kasten ist die potentielle Energie 0,steigt jedoch an der Barriere auf einen unendlich hohen Wert. Für das Teilchen im Kasten muss also lediglich die kinetische Energie berücksichtigt werden. Die Schrödingergleichung
lautet:
 2 d 2
  E
2
2m dx
• Ein guter allgemeiner Ansatz für die Wellenfunktion ist  ( x)  A sin(kx)  B cos(kx)
Das Teilchen im Kasten
• Die Parameter A, B und k lassen sich aus den Randbedingungen bestimmen. Da die Wellenfunktion an den Rändern des Kastens auf Null abfallen muss, n
 n ( x )  A  sin( k n  x )
folgt B = 0 und sowie mit der Quantenzahl n
kn 
L
• Durch die Randbedingungen wird also eine Quantisierung
Durch die Randbedingungen wird also eine Quantisierung erzwungen
• Die Lösung der Schrödingergleichung
Die Lösung der Schrödingergleichung liefert die liefert die
Energieeigenwerte
2  2  n2 h2  n2
En 

2
2m  L
8m  L2
E ~ n 2 , L2
• Es existiert eine Nullpunktsenergie, n  1
Das Teilchen im Kasten
• Die Absorptionsspektren von ungesättigten Elektronensystemen (z.B. Farbstoffen) lassen sich gut mit diesem Modell verstehen
gut mit diesem Modell verstehen • Während die Wellenfunktion selber nicht physikalisch interpretierbar ist, so gibt ihr Quadrat die Information über die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens. Es gilt die Bedingung 
  * ( x )( x )dx  1

• Für ein Teilchen im Kasten erhält man aus dieser Normalisierungsbedingung den Parameter A, und die Wellenfunktion wird 1
2 2
n ( x )    sin( kn x )
 L
Das Teilchen im Kasten
• In einem dreidimensionalen Kasten werden die Energieniveaus durch drei Quantenzahlen beschrieben. Sind mindestens zwei Kantenlängen gleich, so tritt Entartung auf, Zustände unterschiedlicher Quantenzahlen haben die gleiche Energie
Quantenzahlen haben die gleiche Energie
• Unter dem Erwartungswert versteht man den Mittelwert einer Messung. Erwar‐
tungswerte lassen sich berechnen aus 
a 
  * Aˆ ( x )dx

• Ist ein System nur in einem Eigenzustand zu finden, so wird der Erwartungswert zum Eigenwert.
Das Teilchen im Kasten
Ei
Eine reale Barriere ist weder unendlich hoch noch unendlich dick. l B i
it d
dli h h h
h
dli h di k
Daher nimmt die Wellenfunktion am Kastenrand nicht auf Null ab, ,
sondern das Teilchen hat auch außerhalb des Kastens eine gewisse Aufenthaltswahrscheinlichkeit, selbst wenn seine Energie niedriger ist als die Höhe der Potentialbarriere Dieser Tunneleffekt spielt in ist als die Höhe der Potentialbarriere. Dieser Tunneleffekt
spielt in
der Chemie vor allem für Elektronen und Protonen eine Rolle. Statistische Grundbegriffe
x
x
Mittelwert
2
Mittelwert der Quadrate
Mittelwert der Quadrate
  x  x
2
x
2
2
 x   x2
Varianz
Standardabweichung

x 
*

 ( x )  xˆ  ( x )dx

xˆ ( x )  x  ( x )
Erwartungswert, Berechnung des Mittelwerts von Messungen
Eigenwert