Das Teilchen im Kasten - Institut für Physikalische Chemie

Das Teilchen im Kasten
• Eine der einfachsten Anwendungen der Quantenmechanik ist das Teilchen (z.B.
Elektron) in einem eindimensionalen Kasten mit unendlich hoher Barriere
(Mauer). In einem solchen Kasten ist die potentielle Energie 0,steigt jedoch an der
Barriere auf einen unendlich hohen Wert. Für das Teilchen im Kasten muss also
lediglich die kinetische Energie berücksichtigt werden. Die Schrödingergleichung
lautet:
− h2 d 2
Ψ = EΨ
2
2m dx
• Ein guter allgemeiner Ansatz für die Wellenfunktion ist
Ψ( x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Das Teilchen im Kasten
• Die Parameter A, B und k lassen sich aus den Randbedingungen bestimmen.
Da die Wellenfunktion an den Rändern des Kastens auf Null abfallen muss,
nπ
folgt B = 0 und k n =
sowie Ψ n ( x ) = A ⋅ sin( k n ⋅ x ) mit der Quantenzahl n
L
• Durch die Randbedingungen wird also eine Quantisierung erzwungen
• Die Lösung der Schrödingergleichung liefert die
Energieeigenwerte
h2 ⋅π 2 ⋅ n2 h2 ⋅ n2
En =
=
2
2m ⋅ L
8m ⋅ L2
E ~ n 2 , L−2
• Es existiert eine Nullpunktsenergie, n ≥ 1
Das Teilchen im Kasten
• Die Absorptionsspektren von ungesättigten
Elektronensystemen (z.B. Farbstoffen) lassen sich
gut mit diesem Modell verstehen
• Während die Wellenfunktion selber nicht physikalisch interpretierbar ist, so gibt
ihr Quadrat die Information über die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines
Teilchens. Es gilt die Bedingung
+∞
∫ Ψ * ( x )Ψ( x )dx = 1
−∞
• Für ein Teilchen im Kasten erhält man aus dieser Normalisierungsbedingung den
Parameter A, und die Wellenfunktion wird
1
2 2
Ψn ( x ) =   sin( kn x )
 L
Das Teilchen im Kasten
• In einem dreidimensionalen Kasten werden die
Energieniveaus durch drei Quantenzahlen beschrieben.
Sind mindestens zwei Kantenlängen gleich, so tritt
Entartung auf, Zustände unterschiedlicher
Quantenzahlen haben die gleiche Energie
• Unter dem Erwartungswert versteht man den Mittelwert einer Messung. Erwartungswerte lassen sich berechnen aus
a =
+∞
∫ Ψ * Aˆ Ψ( x )dx
−∞
• Ist ein System nur in einem Eigenzustand zu finden, so wird der Erwartungswert
zum Eigenwert.