Voransicht

I
Zahlen und Größen • Beitrag 27
Bruchvorstellung
1 von 28
In Bildern denken –
eine stabile Bruchvorstellung aufbauen
Von Roland Bullinger, Gaildorf
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Kuchen isst (fast) jeder gern – führen Sie Ihre Schüler
bildlich an die Bruchvorstellung heran.
Klasse
5/6
Dauer
5–8 Stunden, je nach Materialauswahl
Inhalt
den Bruchbegriff auf der handelnden und bildhaften Ebene verstehen,
Bruchteile verfeinern und vergröbern, gemischte Brüche
Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden (K4), mathematisch
argumentieren (K1)
Ihr Plus
Farbfolie (M 1), Aufgaben zur Differenzierung
14 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2012
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Bruchvorstellung
Zahlen und Größen • Beitrag 27
I
Didaktisch-methodische Hinweise
Kommen in der Klassenarbeit auch Brüche dran? Bei den meisten Schülerinnen und Schülern
– und bei vielen Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrern – erzeugt das Bruchrechnen
in Klasse 6, aber auch in höheren Klassenstufen ein leichtes Unbehagen. Da hört man zum
Beispiel bei der Frage, wie man zwei Brüche auf den gleichen Nenner bringt, die unterschiedlichsten falschen Antworten: Man muss beide Brüche mit 5 multiplizieren, Zähler plus Zähler,
Nenner plus Nenner, … Dies zeigt: Hier fehlt eine stabile Grundvorstellung des Bruchbegriffs,
auf die – auch wenn einem die Regel einmal entfallen ist – zurückgegriffen werden kann.
Sind Brüche wirklich so wichtig?
Häuig wird diskutiert, ob das Bruchrechnen im traditionellen Umfang überhaupt noch in die
Schule gehört. Über den Umfang des Rechnens kann man sich tatsächlich streiten, über das
Verständnis der vielfältigen Aspekte des Bruchbegriffs aber weniger, denn Brüche spielen
in der Mathematik, aber auch im Alltag, eine bedeutende Rolle: So baut zum Beispiel die
Prozentrechnung (Anteilsvorstellung bei der Bestimmung des Prozentsatzes) auf dem Bruchverständnis auf. Aber auch für die Interpretation von Dezimalbrüchen, beim Umgang mit
Termen und Gleichungen, für die Steigungsvorstellung bei Funktionen oder die Verhältnisvorstellung bei den Strahlensätzen und trigonometrischen Funktionen ist eine tragfähige
Bruchvorstellung unabdingbar. Und auch im Alltag sind wir oft von Brüchen umgeben – vor
allem bei Mengenangaben wie ein Viertel Liter Milch, eine halbe Tafel Schokolade etc.
T
H
C
I
S
N
Bildhafte Grundvorstellungen statt starrer Regeln
In dieser Einheit werden Möglichkeiten vorgestellt, wie ein besseres Verständnis für Brüche
und damit auch für das sich darauf aufbauende Bruchrechnen geschaffen werden kann.
Dabei wird großer Wert auf einfache außermathematische Beispiele gelegt, die eine bildhafte Vorstellung des Bruchbegriffs schaffen. Diese prägen sich dauerhaft ein und lassen
sich zu jeder Zeit leicht abrufen – oft viel besser als Formeln und Regeln. Deshalb wird hier
von einem zu frühen Mathematisieren abgesehen.
A
R
O
Der Schwerpunkt der Materialien liegt auf der Bruchteilvorstellung, der Von-Vorstellung und
der Anteilsvorstellung. Vor allem wird die Vorstellung geschult, wann Brüche den gleichen
Wert besitzen. So erarbeiten sich die Lernenden das Verfeinern und Vergröbern der Einteilung (Erweitern und Kürzen) als wichtigste Grundlage, um die späteren Rechenoperationen
mit einem Vorstellungshintergrund entwickeln zu können. Wichtig ist hier, ein nur kurzfristig
wirksames Einschleifen von Regeln zu vermeiden. Im Idealfall brauchen die Schülerinnen und
Schüler später die Regeln des Verfeinerns und Vergröberns nur als Notlösung, da sie eine
stabile Grundvorstellung des Bruchbegriffs erworben haben.
V
Ungesund? – Kuchen und Schokolade als Modelle
Auf den Aspekt, dass Kuchen und Schokoladentafeln ernährungsphysiologisch nicht gerade
Erziehungsideale sind, die in der Schule im Mittelpunkt stehen sollten, kann in dieser Einheit
keine Rücksicht genommen werden. Die Anschauungs- und Identiikationsmöglichkeiten
dieser Modelle sind lernpsychologisch einfach zu verführerisch.
Die alte Streitfrage, mit welchem Modell man Brüche am besten erarbeitet, wird hier folgendermaßen gelöst: Der Einstieg erfolgt über das Kuchenmodell (alternativ: Pizza), da für die
Schülerinnen und Schüler ein Ganzes in der regelmäßigen Form des Kreises anschaulicher ist
als ein Rechteck. Auch die bereits ausgeprägten Vorstellungen von der Uhr und des Zeigers,
der Viertel, Halb und Dreiviertel zurücklegt, spricht für diesen Zugang. Ebenfalls ist das Kreismodell für die spätere Addition und Subtraktion der geeignetere und anschaulichere Zugang,
da Bruchteile dann einfach „umgetauscht“ werden können.
14 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2012
I
Zahlen und Größen • Beitrag 27
Bruchvorstellung
13 von 28
Ein Stück von der Schokoladentafel abbrechen
M6
Aufgaben
Foto: colourbox
1. Färbe in den Schokoladentafeln a) bis i) die angegebenen Bruchteile ein.
2. Wie kann man die einfärbten Brüche noch bezeichnen?
Schreibe weitere Möglichkeiten auf.
3. Zeichne in jede Schokoladentafel einen weiteren Bruch
ein und schreibe ihn neben das Rechteck.
Brüche kannst du nicht nur als
Kuchen- oder Pizzastücke darstellen.
Wie zähle ich bloß die ganzen
Schokoladenstücke?
a)
b)
c)
T
H
C
1
2
A
R
O
I
S
N
d)
3
4
1
5
e)
f)
3
10
21
30
4
15
g)
h)
i)
1
2
1
5
7
12
V
14 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2012
I
Zahlen und Größen • Beitrag 27
Bruchvorstellung
19 von 28
Kuchenstücke zusammenfassen – die Einteilung vergröbern
M 10
Was passiert, wenn du mehrere
Kuchenstücke zu einem Kuchenstück
zusammenfasst?
Aufgaben
1. Beschrifte die dargestellten Brüche.
2. Vergröbere dann die Einteilung so weit wie möglich. Umrande dazu die neuen Bruchstücke
farbig. Wie heißt der Bruch nun?
a)
d)
b)
c)
T
H
C
I
S
N
e)
f)
A
R
O
V
g)
h)
i)
Was meinst du? Kann man
jeden Bruch vergröbern?
14 RAAbits Realschule Mathematik Februar 2012
M1
4 von 24
Wie it bist du schon im Bruchrechnen? Knicke das Blatt an der gestrichelten Linie nach hinten um. Berechne die Aufgaben,
vergleiche mit der Lösung und kreuze an, wie es geklappt hat:
L nicht so gut
K ganz gut
J sehr gut, (fast) alles richtig
Wenn du L oder K angekreuzt hast, übe an den genannten Stationen.
Kann ich …?
Aufgabe
Lösung
Welcher Anteil ist
dargestellt?
Brüche mit gleichem Nenner
addieren?
a)
2 4
+ =
7 7
b)
2
9
+
=
11 11
a)
6
7
b) 1
Brüche mit ungleichem Nenner
addieren und subtrahieren?
a)
1 1
+ =
2 4
b)
2 3
− =
3 5
a)
3
4
b)
a)
3 3
 =
7 4
b)
4 3
 =
5 8
a)
9
28
mit Brüchen geschickt rechnen,
z. B. sinnvoll kürzen/erweitern und
gemischte Brüche umwandeln?
sicher in den Grundrechenarten
(+, –, •, :) rechnen?
5
8
5 8 12
 
=
a) Berechne geschickt:
12 4 10
1
b) Wandle um: 2
5
a)
b)
1 3 1
 + =
2 4 4
a)
4
3
b)
b)
b)
3
10
11
5
5
8
L
K
Hier kann ich
üben
J
Übung
erledigt?
Station 1
Station 1
Station 2
Station 3
Station 6, A1
Station 4
Station 5
Station 6
Station 4
Station 5
I
2 1
: =
3 2
a) 1
1
15
So hat’s
geklappt:
Zahlen und Größen • Beitrag 24
mir Brüche bildlich vorstellen, zum
Beispiel als Kuchenstück?
Brüche multiplizieren?
Knicke hier um!
Lerntheke Bruchrechnen
T
ICH
ANS
VOR
13 RAAbits Realschule Mathematik November 2011
Mit Brüchen rechnen – was kann ich schon?
6 von 24
Lerntheke Bruchrechnen
Station 1
Zahlen und Größen • Beitrag 24
Pizza-Jagd –
Brüche geschickt addieren
I
–
T
H
C
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S
N
A
R
O
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13 RAAbits Realschule Mathematik November 2011
12 von 24
Lerntheke Bruchrechnen
Zahlen und Größen • Beitrag 24
I
Schatzsuche in Ägypten –
Rechenarten gemischt
Station 4
Um an die Schätze der alten Ägypter heranzukommen, brauchst du einen Geheimcode.
So geht’s
1. Suche dir einen Mitschüler, der gegen dich antritt.
2. Jeder schneidet seine 12 Karten aus. Ihr braucht Stift und Papier für Nebenrechnungen.
Außerdem dürft ihr die Tippkarte verwenden, aber probiert es erst einmal ohne.
3. Setzt euch so hin, dass ihr nicht voneinander abschauen könnt.
4. Jeder bildet nun aus seinen Karten möglichst viele Aufgaben mit Lösung. Verwendet dazu
immer 5 Karten nach dem Schema unten. Schreibt die Aufgabe und den Buchstabencode
auf.
Schema
+
–
Bruch
Bruch
•
T
H
C
Bruch
(Lösung)
=
I
S
N
:
5. Ihr habt 15 Minuten Zeit. Holt euch danach eine Schatzkarte und überprüft eure Buchstabencodes. Für jeden richtigen Code gibt es 10 Goldmünzen. Gewonnen hat, wer am Ende
die meisten Goldmünzen hat.
A
R
O
–
•
S
2
9
+
:
=
11
12
M
D
G
N
7
9
5
9
1
3
2
3
1
4
F
Z
P
H
R
Q
+
–
•
:
=
11
12
A
S
M
D
G
N
2
9
7
9
5
9
1
3
2
3
1
4
F
Z
P
H
R
Q
V
A

13 RAAbits Realschule Mathematik November 2011
I
Zahlen und Größen • Beitrag 23
5 von 24
Dezimalbrüche vergleichen und ordnen
Wie viel Käse darf’s denn sein?
M1
Foto: picture-alliance/ZB
Hallo! Ich bin Malte.
Ich helfe meinen Eltern im Holaden,
um mein Taschengeld aufzubessern.
Heute muss ich den Käse für den
Verkauf vorbereiten.
Aufgabe
Maltes Vater hat bereits fünf Käsestücke verpackt und gewogen. Malte soll nun die
Preisschilder aufkleben. Kannst du ihm helfen? Die Käsestücke und Preisschilder indest du
unten auf der Seite.
T
H
C
So geht’s
Arbeite allein
I
S
N
Notiere deine Vermutungen und Lösungsvorschläge.
Schreibe deine Lösungsschritte in Worten auf, auch wenn du nicht sicher
bist, ob deine Lösung stimmt.
A
R
O
Kommst du nicht weiter, formuliere für diese Stelle eine Frage.
Tauscht euch aus
V
Hast du die Aufgabe gelöst? Sprich mit deinem Sitznachbarn über deine
Lösung und deinen Lösungsweg. Was hält er von deinem Vorgehen?
Was hältst du von seinem Vorschlag?
Präsentiert vor der Klasse
Bereitet euch zusammen auf eine kurze Präsentation eurer Lösungswege und Ergebnisse
vor.
0,210 kg
0,220 kg
0,215 kg
0,204 kg
0,198 kg
2,65 €
2,80 €
2,86 €
2,57 €
2,73 €
12 RAAbits Realschule Mathematik August 2011
6 von 24
Dezimalbrüche vergleichen und ordnen
Zahlen und Größen • Beitrag 23
I
Partnercheck – Dezimalzahlen auf dem Zahlenstrahl
M2
Aufgabe
Partner A
a) Löse die Aufgaben zunächst allein.
(1) Welche Dezimalzahlen sind hier markiert? Schreibe sie auf die Linien.
6,4
6,3
6,5
6,6
(2) Markiere folgende Dezimalzahlen: 2,695
2,1
2,0
2,2
2,3
6,7
2,04
2,4
6,8
1,99
6,9
2,19
2,5
7,0
2,325
T
H
C
2,5
2,7
2,6
I
S
N
b) Suche dir einen Partner, der Blatt B bearbeitet hat. Legt eure Zahlenstrahle übereinander
und vergleicht die Ergebnisse. Korrigiert Fehler gemeinsam.

A
R
O
Aufgabe
a) Löse die Aufgaben zunächst allein.
(1) Markiere folgende Dezimalzahlen: 6,875
V
6,3
6,4
6,5
6,6
6,55
6,7
6,445
6,8
Partner B
7,02
6,69
6,9
6,3
7,0
(2) Welche Dezimalzahlen sind hier markiert? Schreibe sie auf die Linien.
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
b) Suche dir einen Partner, der Blatt A bearbeitet hat. Legt eure Zahlenstrahle übereinander
und vergleicht die Ergebnisse. Korrigiert Fehler gemeinsam.
12 RAAbits Realschule Mathematik August 2011
4 von 18
Dezimalbrüche dividieren
M1
I
Zahlen und Größen • Beitrag 8
Mein Laufzettel
Wie viel Geld haben die Diebe erbeutet? Wo haben sie sich und ihre Beute versteckt?
Halte hier deine Ergebnisse fest.
AZ: 345DFE2
Dein Name:
Ich habe Folgendes herausgefunden:
Station 1: Die 13 Zahlen des Sicherheitsschlosses am Tresor lauten der Reihe nach:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(Zahl des Juweliers); Rechnung:
Station 2: Jeder der Diebe hat circa
.
Millionen € erbeutet.
Mit ihrem Wagen kamen die Diebe
Kilometer weit.
T
H
C
Zum Sprengen der Türen verwendeten die Diebe elf Ladungen Dynamit, von denen
jede circa
kg schwer war.
Drei Diebe mussten
laufen, einer musste
I
S
N
Aufgrund der Zeugenaussage liegt folgende Vermutung nahe:
Station 3: Die Diebe verstecken sich unter folgenden Adressen:
A
R
O
Dieb 1:
Dieb 3:
Dieb 2:
Dieb 4:
Station 4: Die Beute wurde auf vier Schließfächer verteilt.
V
Die Schließfachnummern und -buchstaben lauten:
;
3 RAAbits Realschule Mathematik Mai 2009
;
;
laufen.
I
Zahlen und Größen • Beitrag 8
Station 1
Dezimalbrüche dividieren
5 von 18
Welcher Code öffnet den Tresor?
Juwelier Diamanten Maier hat eine riesige und sehr
wertvolle Lieferung Armreifen, Ketten, Ringe und
Goldbarren erhalten. Sie befindet sich im Tresor im
Keller des Gebäudes.
Foto: BilderBox
Weil der Juwelier sich den Code zum Öffnen des Tresors
nicht merken kann, hat er sich Folgendes überlegt:
Das Juweliergeschäft Diamanten Maier
Jeder seiner Angestellten merkt sich eine Rechenaufgabe und zwei Zahlen. Eine der Zahlen
ist das Ergebnis der Rechenaufgabe eines anderen Angestellten. Diese Zahl ist auch Teil des
Codes. Die andere Zahl hat keine Bedeutung.
Nun ist der Raubüberfall des Jahrhunderts geschehen. Die Diebe haben die Angestellten
gezwungen, ihre Rechnungen und Zahlen preiszugeben.
T
H
C
Kannst du daraus den Code ermitteln und den Tresor öffnen? Dabei hilft dir das folgende Spiel.
Legespiel mit Trimino-Karten – so geht’s
I
S
N
Auf jeder Trimino-Karte stehen eine Rechenaufgabe und zwei Zahlen.
· Beginne mit der Karte mit der Zahl 4,31. Löse die Rechenaufgabe.
A
R
O
· Suche das Ergebnis auf den übrigen Karten. Hast du es gefunden,
lege das Ergebnis an der Seite mit der Rechenaufgabe an.
· Löse die Rechenaufgabe auf der angelegten Karte. Das Ergebnis steht auf einer der
übrigen Karten. Lege diese Karte an. So geht es immer weiter, bis alle Karten angelegt
sind.
V
· Hast du alle Karten aneinandergelegt? Dann schreibe die Ergebnisse der Rechenaufgaben
der Reihenfolge nach auf deinen Laufzettel. Das ist der Code zum Öffnen des Tresors.
Zum Weiterdenken
Der Juwelier war nicht im Geschäft, als die Diebe kamen. Deshalb
fehlen den Dieben die Rechenaufgabe und die eine Zahl des
Juweliers. Diese Zahl ist die letzte Zahl des Codes. Finde die Zahl
und die Rechenaufgabe heraus.
· Die eine Zahl des Juweliers ist das Ergebnis von 2,5396 : 0,56.
Die andere Zahl ist bedeutungslos.
· Die Rechenaufgabe des Juweliers ergibt eine der Zahlen auf der
Anfangskarte (4,31 oder 7,83).
Die Diebe haben den Tresor
leergeräumt.
3 RAAbits Realschule Mathematik Mai 2009
I
Zahlen und Größen • Beitrag 8
Dezimalbrüche dividieren
Trimino-Karten (Station 1)
3
4,3
1
7,8

,5
:
3,5
,7
17
38
T
H
C
13,4 : 0,2
67
0,3
4,8 : 0,16
30
,49
,3
56
7,8
33
,6
42
5,2
:6
8,2
:
4
8,48 : 4
2,12
78,1
9
8:
,3
30
6
0,5
,55
21
,96
16
5,1
2
4
:1
0,4 2,2
2
?
4
:3
24
3,0
6
,73
22
77
2,5
,56
3
9
6:
0
?
?
12
,19
12
2
5,3
:4
,5
,22
68
59
4
4,5
,5
19
22
5:
34
V
0,3
12
A
R
O
1,3
37
I
S
N
13
42
5
24 : 0,6
40
52,3
3 RAAbits Realschule Mathematik Mai 2009