Harmonische Polynome im R

Harmonische Polynome im R3
Christoph Fürst, Alexander Grubhofer, Claudia Jabornegg
Gerlinde Sigl, Stefan Steinerberger
1
Einführung und Definitionen
Definition 1 Sei C ∞ (R3 ) die Menge der {f : R3 → C : f ist glatt} unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die R3 in die Ebene abbilden. Der Laplace-Operator ∆ : C ∞ (R3 ) →
C ∞ (R3 ) ist durch
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
∆f :=
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
definiert.
Definition 2 Sei l ∈ N0 . Unter einem homogenen harmonischen Polynom vom
Grad l verstehen wir ein Polynom P ∈ C ∞ (R3 ) mit den folgenden Eigenschaften.
1. P ist harmonisch: ∆P = 0, d.h. ∆<(P ) = 0 und ∆=(P ) = 0
2. P ist l−homogen: Für alle x ∈ R3 und t ∈ R gilt P (tx) = tl P (x).
Die Menge der harmonischen und homogenen Polynome vom Grad l bezeichnen wir mit
Hl .
Beispiele. Jede konstante Funktion p(x, y, z) = c ist 0−harmonisch. Jedes lineare
Polynom der Form p(x, y, z) = ax + by + cz für a, b, c ∈ C ist 1−harmonisch. Das Nullpolynome p(x, y, z) = 0 ist l−harmonisch für alle l. Das Polynom p(x, y, z) = x2 − y 2 ist
2−harmonisch.
Theorem 1 Die l−homogenen Polynome über C[x, y, z] bilden einen Vektorraum P l .
Weiters
l+2
(l + 1)(l + 2)
l
3
dim(P ) = # (a, b, c) ∈ N0 : a + b + c = l =
=
2
2
Theorem 2 Hl ist ein Vektorraum mit dim Hl = 2l + 1.
Beweis. ∆ : P l → P l−2 ist ein Vektorraumhomomorphismus. Insbesondere
(l + 1)(l + 2)
(l − 1)(l)
= dim P l = dim Im(∆) + dim ker(∆) =
+ dim Hl
2
2
1
Theorem 3 Seien a, b ∈ R3 und l ∈ N0 . Dann ist durch
p(x) := (ha|xi + i hb|xi)l
ein l−homogenes Polynom bestimmt. Weiters
∆p(x) = l(l − 1)(ha|xi + i hb|xi)l−2 (kak2 − kbk2 + 2i ha|bi)
Beweis. Setze a = (a1 , a2 , a3 ) und b = (b1 , b2 , b3 ). Man sieht durch einfaches Nachrechnen,
dass
∂ 2p
= l(l − 1)(ha|xi + i hb|xi)l−2 (a1 + ib1 )2
2
∂x
Analog kann man die anderen Ableitungen berechnen, insgesamt
∆p(x) = l(l − 1)(ha|xi + i hb|xi)l−2 ((a1 + ib1 )2 + (a2 + ib2 )2 + (a3 + ib3 )2
Vereinfachen ergibt das Resultat.
Bemerkung Für l = 0 handelt es sich um Konstanten, von denen wir schon wissen,
dass sie 0-harmonisch sind. Für l = 1 ist der Ausdruck für beliebige a, b ∈ R3 harmonisch.
Für l ≥ 2 ist das Polynom harmonisch genau dann, wenn kak = kbk und ha|bi = 0 gilt.
Definition 3 Sei f : R3 \ {0} → C stetig, dann nennen wir die Funktion Φ(f ) : S 2 → C,
die durch φ = f |S 2 definiert wird, die Einschränkung von f auf S 2 .
Definition 4 Die Einschränkung eines harmonisch-homogenen Polynoms vom Grad l auf
S 2 nennen wir Kugelfunktion vom Grad l.
In der Kugelfunktion sind alle Informationen über das ursprüngliche Polynom enthalten,
wie man leicht aus der Homogenität folgern kann.
P (x) = kxkl Φ(
x
)
kxk
Definition 5 Sei Y : S 2 → C. Wir definieren die l−homogene Fortsetzung Y 0 : R3 \
{0} → C durch
x
)
Y 0 (x) = kxkl Y (
kxk
Definition 6 Wir werden nun den Laplace-Operator für Funktionen auf S 2 definieren.
Dazu betrachten wir ∆ zuerst für Kugelfunktionen f (r, θ, φ) und betrachten den Winkelabhängigen Teil.
∆f (r, θ, φ) =
1 ∂ 2 ∂f
1 1 ∂
∂f
1 ∂ 2f
(r
)
+
(
(sin
θ
)
+
)
r2 ∂r
∂r
r2 sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
|
{z
}
∆S 2
Beispiel. Sei f : R3 \ {0} → C glatt und kugelsymmetrisch, also f (x) = u(kxk), dann
folgt beispielsweise sofort
∆S 2 f = 0
2
2
Die Eigenwerte des sphärischen Laplace-Operators
In diesem Abschnitt bestimmen wir Eigenvektoren und Eigenwerte des sphärischen LaplaceOperator ∆S 2 . Bekanntermaßen nennen wir für einen Differentialoperator L eine Funktion
f genau dann einen Eigenvektor zum Eigenwert λ, wenn
Lf = λf
2.1
Kugelfunktionen und Eigenvektoren
Wir berechnen den sphärischen Laplace-Operator für eine Kugelfunktion Y , die von einem
homogenen Polynom vom Grad l erzeugt wird. Dafür benötigen wir P̃ , die homogene
Fortsetzung von Y über den Kugelrand hinaus.
Theorem 4 Kugelfunktionen sind Eigenvektoren von ∆S 2 .
Beweis. Wir können den sphärischen Laplace-Operator über den Laplace-Operator in
Kugelkoordinaten ausdrücken.
∆S 2 Y (ζ) = ∆P (ζ) − (r2 ∂r2 P̃ (r, ζ) + 2r∂r P̃ (r, ζ))
Diese komplizierten Ausdruck können wir schnell vereinfachen, da P̃ wieder auf Y zurückführbar ist.
P̃ (r, ζ) = rl P̃ (1, ζ) = rl Y (ζ)
Kombiniert man die beiden Gleichungen, so erhält man
∆S 2 Y (ζ) = ∆P (ζ) − rl l(l + 1)Y (ζ)
Letztendlich setzen wir noch r = 1 (wir arbeiten auf der Einheitskugel)
∆S 2 Y (ζ) = ∆P (ζ) − l(l + 1)Y (ζ)
Verwenden wir nun noch, dass Kugelfunktionen harmonisch sind (bisher haben wir nur
Homogenität benutzt), dann gilt
∆S 2 Y (ζ) = −l(l + 1)Y (ζ)
Es gilt auch die Umkehrung, deswegen sind uns die Eigenwerte/vektoren nun vollständig
bekannt.
Theorem 5 Sei f : S 2 → C ein Eigenvektor von ∆S 2 zum Eigenwert λ, dann gilt λ =
−l(l + 1) für ein l ∈ N0 und f ist eine Kugelfunktion des Grades l.
3
Kugelflächenfunktionen und Legendre Polynome
Bisher sind wir nur mit der Definition ausgekommen; wenn wir Kugelflächenfunktionen
aber schön anschreiben wollen, stehen wir bisher schlecht da. Es stellt sich heraus, dass sie
3
sich mithilfe von Legendre Polynomen in schöner Form anschreiben lassen. Dazu schreiben
wir die Eigenwertgleichung explizit an
(
∂2
1 ∂2
cos θ ∂
+
+
)Y (θ, φ) = −l(l + 1)Y (θ, φ)
∂θ2
sin θ ∂θ sin2 θ ∂φ2
Seperation der Variablen Y (θ, φ) = Ω(θ)Φ(φ) liefert Bedingungen an die einzelnen Komponenten, abhängig von einer Konstanten m ∈ Z.
∂2
Φm (φ) = −m2 Φm (φ)
2
∂φ
Diese Gleichung (auch Azimutgleichung genannt) gewird durch
Φm (φ) = eimφ
gelı̈ost. Die zweite Gleichung (die Polargleichung) ist
1
∂2
cos θ ∂
m2
( 2+
Ωm (θ)) =
− l(l + 1)
Ωm (θ) ∂θ
sin θ ∂θ
sin2 θ
Gleichungen dieser Art kann man auf die folgende, sehr wichtige, (1D)-Differentialgleichung
zurückführen.
∂y
m2
d2 y
+ (l(l + 1) −
)y = 0
(1 − x2 ) 2 − 2x
dx
∂x
1 − x2
Die Lösungen der allgemeinen Legendre-Gleichung lassen sich mit Reihenentwicklung
angeben und existieren genau dann, wenn l, m ∈ Z und selbst dann nur auf [−1, 1].
3.1
Legendre-Polynome und zugeordnete Legendre-Polynome
Um eine schöne Darstellung von Kugelflächenfunktionen zu erhalten, sind wir also auf die
Lösungen der verallgemeinerten Legendre-Gleichung angewiesen, die etwa auch eine Rolle
bei der Wahl der Stützstellen der Gauss-Quadratur spielen (siehe Numerische Analysis
bzw. Algorithmische Methoden 2).
Definition 7 Sei n ∈ N. Das n−te Legendre-Polynom ist definiert durch
Pn (x) =
1 dn
[(x2 − 1)n ]
2n n! dxn
Die Legendre-Polynome lassen sich rekursiv berechnen.
Theorem 6 Es gilt
(n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x)
Weiters sind je zwei Legendre-Polynome orthogonal und eine jede Funktion L2 ([−1, 1]; R)
lässt sich als
∞
X
2n + 1
f (x) =
hf |Pn i Pn (x)
2
n=0
4
anschreiben (die Konvergenz ist hierbei in L2 zu verstehen). Tatsächlich kann man die
Legendre-Polynome auch durch Anwenden von Gram-Schmidt auf {1, x, x2 , ...} erhalten
(sofern man auf Pn (1) = 1 normiert).
Legendre-Polynome selbst sind keine Lösung der allgemeinen Legendre-Gleichung, die
Lösungen können jedoch in Abhängigkeit davon angeschrieben werden.
Definition 8 Für natürliche l, m mit −l ≤ m ≤ l definieren wir
Plm (x)
dl+m 2
(−1)m
2 m
2
(1 − x )
=
(x + 1)l
l
l+m
2 l!
dx
Für m = 0 reduziert sich die Definition auf die ursprüngliche Definition der LegendrePolynome. Für die zugeordneten Legendre-Polynome existieren wieder orthogonalitätsrelationen; so gilt etwa für ein fixes 0 ≤ m ≤ l
Z 1
2(l + m)!
Pkm Plm dx =
δk,l
(2l + 1)(l − m)!
−1
Wir können nun diese Polynome verwenden, um die zuvor hergeleitete Gleichung zu
lösen.
Theorem 7 Für ein natürliches l und −l ≤ m ≤ l handelt es sich bei
s
(l − m)! m
Pl (cos θ)eimφ
Ylm (θ, φ) = (2l + 1)
(l + m)!
um eine Kugelfunktion.
Die Konstante wird hierbei so gewählt, dass
Z π Z 2π
1
0 ∗
2
Ylm (Ylm
0 ) dS = δll0 δmm0
4π 0 0
0
∗
wobei (Ylm
die komplex-konjugierte Kugelfunktion ist. Je zwei Kugelfunktionen die0 )
ser Art sind orthogonal über S 2 und wir sehen leicht, dass wir für ein fixes l genau
2l + 1 Funktionen dieser Art erhalten. Weiters ist bemerkenswert, dass die zugeordneten Legendre-Polynome in der Lösung nur von cos θ (was auf der Einheitskugel dem z
entspricht) abhängt. Tatsächlich vereinfacht sich der Ausdruck auf folgende Weise.
Theorem 8 Sei l ∈ N und 0 ≤ m ≤ l, dann gilt
Plm (cos θ) = (−1)m (sin θ)m
dm
(Pl (cos θ))
d(cosθ)m
Beispiel. Die folgenden Funktionen bilden eine orthonormale Basis der Kugelfunktionen vom Grad l ∈ {0, 1, 2}.
q
1
l=0
4π
q
q
q
3
3
3
l=1
x
y
z
q 4π
q 4π
q 4π
q
q
15
15
15
15
15
2
2
l=2
xy
xz
yz
(x − y )
(2z 2 − x2 − y 2 )
4π
4π
4π
16π
16π
5
Die Kugelflächenfunktionen bilden eine vollständige Menge orthonormaler Funktionen
und jede Funktion f ∈ L2 (S 2 ) kann man nach Kugelflächenfunktionen entwickeln, d.h.
f (θ, φ) =
∞ X
l
X
flm Ylm (θ, φ)
l=0 m=−l
wobei die Koeffizienten durch folgende Formel gewonnen werden können
Z 2π Z π
m
sin θf (θ, φ)(Ylm )∗ (θ, φ)
fl =
0
0
Diese Darstellung kann auf angenehme Art verwendet werden, um folgende Größe auszurechnen.
Theorem 9 Die absolute Kraft einer Funktion f über S 2 , definiert als das Integral über
f 2 dividiert durch die Kugeloberfläche, erfüllt folgende Identität.
1
4π
4
Z
2
f (x) dx =
∞ X
l
X
S2
(flm )2
l=0 m=−l
Bedeutung in der Chemie
4.1
Interpretation von Orbitalen
Die Elektronenhülle eines einzelnen Atoms ist, wenn es nicht von außen gestört wird,
kugelförmig. Es gibt keine Richtung, in der sich die Elektronen bevorzugt aufhalten. Dennoch kann man die Elektronen in Klassen einteilen, die bestimmte Eigenschaften haben.
Solche Klassen sind die Orbitale. Die Elektronen der Atomhülle werden nach ihrer Rotation um den Atomkern und ihrer örtlichen Lage sortiert (Siehe dazu 4.2).
Ein Orbital in der Chemie bezeichnet somit eine Wellenfunktion ψ aus der Quantenmechanik. Diese Funktion ψ bildet die Eigenschaften eines Elektrons ab, konkret bezeichnet
|ψ|2 die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Elektrons in einem bestimmten Punkt.
Dabei geht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Atomkern gegen Null, weil sich das Elektron ja nicht im Kern selbst aufhalten kann.
Allerdings kann man den genauen Aufenthaltsort eines Elektrons nicht genau bestimmen, weil die Heisenberg’sche Unschärferelation nicht exakt sondern nur ihre Verteilung
stochastisch beschrieben werden kann.
4.2
Klassifizierung von Orbitalen
Konkret werden Orbitale durch 4 Kennzahlen beschrieben:
• Hauptquantenzahl n (n ∈ 1, 2, 3, ...): Gibt das Hauptenergieniveau an, welches das
Elektron besitzt
• Nebenquantenzahl oder Bahndrehimpulsquantenzahl l (l ∈ 1, ..., n − 1): beschreibt
den Bahndrehimpuls des Elektrons. Damit wird die Form des Orbitals bestimmt
6
• Magnetquantenzahl ml (ml ∈ −l, −l + 1, ..., l − 1, l): steht für die räumliche Ausrichtung bezüglich eines äußeren Magnetfeldes
• Spin(magnet)quatenzahl ms (ms ∈ ± 21 ): Gibt den Spin des Elektrons an. Eine Folgerung des Pauli-Prinzips ist, dass ein Orbital nur dann 2 Elektronen aufnehmen
kann, wenn sie entgegengesetzten Spin haben.
4.3
Formen von Orbitalen
Die Nebenquantenzahl bestimmt maßgeblich die Form des Orbitals. Dabei kann man eine
grobe Einteilung in 4 Formen angeben.
• l = 0: Bezeichnet das s-Orbital (s steht für sharp), welche radialsymmetrische Form
besitzt (also einfach eine Kugel)
• l = 1: Bezeichnet das p-Orbital (p steht für principal), welche hantelförmig bezüglich
der Raumachsen ist
• l = 2: Bezeichnet das d-Orbital (d steht für diffuse), welche eine gekreuzte Doppelhantel darstellt
• l = 3: Bezeichnet das f-Orbital (f steht für fundamental), welches rosettenförmig
aussieht
4.4
Darstellung von Orbitalen
Textuelle Beschreibungen wären zum Beispiel n shapem wobei n für die Hauptquantenzahl, shape für die Nebenquantenzahl und m für die Anzahl der Elektronen in dem
Orbital steht. Beispiele: 1s2 , 2s2 , ...
Graphische Beschreibung wäre die Wahrscheinlichkeitsdichte in einem 2D-Konturplot
abzubilden, wo Orte mit höhererer Wahrscheinlichkeit mit anderen Farben dargestellt werden als Orte mit geringerer Wahrscheinlichkeit.
4.5
Bezug zur Schrödingergleichung
Die Schrödingergleichung beschreibt die räumliche und zeitliche Entwicklung des Zustands
eines Quantensystems. Somit ergibt die Lösung der Schrödingergleichung eine komplette
Beschreibung der Orbitale eines Elektrons. Zur Veranschaulichung lösen wir ein...
4.5.1
... konkretes Beispiel
Wir erinnern uns an die Schrödingergleichung mit einem rotationssymmetrischen Potential
V (r).
−∆f + V (r)f = λf
Kugelfunktionen tauchen nun in natürlicherweise als die Lösung dieser Gleichung auf.
Um dies zu sehen, setzen wir f (x, y, z) = u(r)Y (ζ). Verwenden wir den Zusammenhang
zwischen ∆ und ∆S 2 , so erhalten wir
u(r)
2
(−u00 (r) − u0 (r))Y (ζ) − 2 ∆S 2 Y (ζ) = λu(r)Y (ζ)
r
r
7
Wir dividieren durch u(r)Y (ζ) r12
r
00
2 −u (r)
− 2r u0 (r)
∆S 2 Y (ζ)
+ r2 (V (r) − λ) =
u(r)
Y (ζ)
Weil beide Seiten von verschiedenen Variablen abhängen, kann die Gleichung nur dann
erfüllt sein, wenn beide Seiten konstant sind, insbesondere ist Y (ζ) eine Eigenfunktion
von ∆S 2 . Aus dem vorherigen Satz wissen wir dann sofort, dass die Konstante die Form
−l(l + 1) für ein l ∈ N0 haben muss und es sich bei Y (ζ) um eine Kugelfunktion des Grades l handelt. Weiters lässt sich u(r) durch Lösen der gewöhnlichen Differentialgleichung
ermitteln.
Sei etwa V (r) =
1
,
r2
dann ergibt sich aus der letzten Gleichung:
r2
−u00 (r) − 2r u0 (r)
1
+ r2 ( 2 − λ) = −l(l + 1)
u(r)
r
Löst man diese gewöhnliche Differentialgleichung nach u(r) auf, so erhält man als Lösung
sphärische Besselfunktionen, konkret:
√
√
1
u(r) = c1 SphericalBesselJ( (−1 + 5 + 4l + 4l2 ), r λ)+
2
√
√
1
c2 SphericalBesselY( (−1 + 5 + 4l + 4l2 ), r λ)
2
Diese Funktionen sind gegeben durch:
∞
X
(−1)r ( x2 )2r+n
SphericalBesselJ(x,n) =
Γ(n + r + 1)r!
r=0
SphericalBesselJ(x,p) cos(pπ)SphericalBesselJ(x,-p)
p→n
sin(pπ)
Es stellt sich raus, dass das Potential keinen Einfluss auf die Lösung von Y (ζ) hat,
weil für den sphärischen Teil nur Harmonische Polynome als Lösung rauskommen.
SphericalBesselY(x,n) = lim
Literatur
[1] Schmuckenschläger, M.: Euklidsche Räume, http://www.quixquax.at
[2] en.wikipedia.org: Laplacian, Spherical harmonics, Legendre polynomials, Atomic orbital, Bessel function,
[3] Koecher M., Krieg, A.: Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer (2007), S.
289
[4] Springer
Online
Reference
http://eom.springer.de/d/d130170.htm
Works,
Dirichlet
Eigenvalue,
[5] http://www.quantenwelt.de
[6] Legendre polynomials, http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IITKANPUR/mathematics-2/node86.html
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