Kapitel 5 pdf - of Gerald Pech

Grundzüge der
Mikroökonomie
(Mikro I)
Kapitel 5
Entscheidungen
unter
Unsicherheit
1
BESCHREIBUNG VON RISIKO
2
Entscheidung unter Risiko
• Annahme: Wir kennen
– alle möglichen (sich gegenseitig ausschliessenden)
Ereignisse
– die Auszahlung die mit jedem Ereignis realisiert
wird
– Wir können für das Eintreffen eines jeden
Ereignisses eine Wahrscheinlichkeit angeben
• Prozentzahlen summieren sich zu 1
– “Knight’sches Risiko”
3
Beispiel
• Kauf von Aktien eines Unternehmen welches
riskantes Projekt unternimmt
– Suche nach Öl offshore.
– Erfolg: Aktienkurs steigt von 30$ auf 40$
– Misserfolg: Aktienkurs fällt von 30$ auf 20$
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Wahrscheinlichkeit
• Objektive Wahrscheinlichkeit
– relative Häufigkeiten
• durch Erfahrungswerte, wie z.B.
25 von 100 Erkundungen sind erfolgreich
• P(Erfolg) = 0,25
• P (Misserfolg) = 1 – P(Erfolg) = 0,75
• subjektive Wahrscheinlichkeiten
• was der Entscheidungsträger glaubt
• In Spielsituationen können sich Überzeugungen
(beliefs) wechselseitig bedingen
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Wie realistisch ist Kenntnis von
Wahrscheinlichkeiten?
• Knight‘sche Unsicherheit
– Entscheidungsträger hat keine Information über
Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
– Andere Entscheidungskriterien für
Entscheidungen unter (Knight‘scher) Unsicherheit
als für Entscheidungen unter Risiko
• Wie realistisch ist Kenntnis aller möglichen
Ereignisse?
6
Beschreibung von Risiko
• Erwartungwert einer Zufallsvariablen X, mit
Wahrscheinlichkeiten Pri(Xi)
E(X) = Pr1 X 1 + Pr 2 X 2 + ... + Pr n X n
• Erwartungswert einer Auszahlung
EV = Pr(Erfolg)(€40/Aktie) + Pr(Fehlschlag)(€20/Aktie)
EV = 1 4 (€40/Aktie ) + 3 4 (€20/Aktie )
EV = €25/Aktie
7
Beschreibung von Risiko
• Varianz: Maß der Abweichung vom
Erwartungswert
• Standardabweichung (=
)
Varianz
σ =
[
Pr 1 ( X 1 − E ( X )) 2
]
[
+ Pr 2 ( X 2 − E ( X )) 2
]
8
Beispiel
Lotterie 1
1.500 €
Pr1
Lotterie 2
2.000 €
1.000 €
Pr1 = 0,5
Pr2 = 0,5
• EV = 0,5 * 2.000 + 0.5 * 1.000 = 1.500
9
Beispiel
Lotterie 2 weist eine größere
Streuung, eine höhere
Standardabweichung und ein
höheres Risiko als
Lotterie 1 auf.
Wahrscheinlichkeit
0.2
Lotterie 1
0.1
Lotterie 2
€1000
€1500
€2000
Einkommen
10
Beispiel
Lotterie 1
1.500 €
Pr1
Lotterie 2
2.000 €
1.000 €
Pr1 = 0,5
Pr2 = 0,5
• EV = 0,5 * 2.000 + 0.5 * 1.000 = 1.500
• σ=
2
0,5 * (2000 − 1500) + 0,5 * (1000 − 1500) 2 = 500
11
ENTSCHEIDUNGEN UNTER RISIKO
12
Erwartungsnutzen
• Wenn die Präferenzen des
Entscheidungsträgers
– einer Reihe von „vernünftig“ erscheinenden
Axiomen genügen
– dann lassen sich Präferenzen durch eine
Erwartungsnutzenfunktion
– repräsentieren
– „von Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion“
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Entscheidungen unter Risiko:
Erwartungsnutzen
• Lotterie 1
1.500 €
Pr1 = 1
• Lotterie 3:
1.510 €
510 €
Pr1 = 0,99
Pr2 = 0,01
• haben beide den gleichen Erwartungswert
• beide gleich gut?
14
Entscheidungen unter Risiko:
Erwartungnutzen
• Definiere Nutzen U(Ik) des Einkommens Ik
welches im Falle des Ereignisses k realisiert
wird, z.B.
U(Ik ) = I k
15
Nutzenfunktion U = I.
Nutzen
55
45
40
39
32
22
0
0,5 1
1,5 1,6
2
3
Einkommen (€1.000)
16
Erwartungsnutzen
• Definiere Erwartungsnutzen über alle
möglichen Einkommensrealisationen
E U = Pr1U(I1 ) + Pr2 U(I2 )... + Prn U(In )
• Fortführung Beispiel Lotterie 1 und 3
E U[Lotterie 3] = 0,99 1510 + 0,01 510
= 0,99 * 38,8587 + 0,01 * 22 ,5831 = 38,6959
17
Fortführung Beispiel
E U[Lotterie 3] = 38,6959
E U[Lotterie 1] = 1500
= 38,7298
Lotterie 1
1.500 €
Pr = 1
>
Lotterie 3
^
1.510 €
510 €
Pr = 0,99
Pr = 0,01
18
… und Lotterie 1 und 2?
Lotterie 1
1.500 €
Pr1
Lotterie 2
2.000 €
1.000 €
Pr1 = 0,5
Pr2 = 0,5
19
Für Entscheidungsträger gilt auch:
Lotterie 1 > Lotterie 2
Nutzen
U= I
54,72
U ( I 2 = 2000) 44,72
U ( I = 1500) 38,72
U ( I1 = 1000) 31,62
EU [ Lotterie2]
1
1
= U ( I1 = 1000) + U ( I 2 = 2000) = 38,17 < 38,72 = U (1500)
2
2
0
1
1,5
2
3
Einkommen (€1.000)
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Risikoaversion
• Ein risikoaverser Entscheidungsträger
– wenn wählen kann zwischen
– sicherer Summe von x
– oder Lotterie mit Erwartungswert x
• (d.h. wenn er die Lotterie zum „fairen Preis“ x
angeboten bekommt)
– wählt er die sichere Summe
• (d.h. lehnt die Lotterie ab)
21
Andere Risikopräferenzen
10
D
risiko-freudiger
Entscheidungsträger, z.B.
U (I k ) = (I k )2
nimmt Lotterie zum fairen
Preis an
risiko-neutraler
Entscheidungsträger, z.B.
U ( I k ) = αI k
ist indifferent ob er Lotterie zum fairen
Preis annimmt oder nicht
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Risikonutzenfunktion
• Nutzenfunktion U welche in
Risikonutzenfunktion EU auftaucht:
– kann nicht ohne weiteres quadriert werden
– aus EU = Pr I + Pr (risikoavers)
I
1
1
2
2
würde EU = Pr1 I1 + Pr2 I 2 (risikoneutral)
• „kardinale Nutzenfunktion“
23
Warum Leute Versicherungsverträge
kaufen
Nutzen
U= I
54,72
U ( I 2 = 2000) 44,72
EU ( Lotterie) = 38,17
I * = (38,17) 2 = 1457,11 < 1500
U ( I1 = 1000) 31,62
I* sei sicheres Einkommen so
daß E‘träger indifferent ist
zwischen Lotterie und I*
0
1 I* 1,5
2
Risikoprämie: Differenz
zwischen Erwartungswert EV
und I* = 42,89 €
Einkommen
3
Vermögen (€1.000)
24
Warum Leute Versicherungen kaufen?
• Risikoaverse E‘träger sind bereit Risikoprämie
zu zahlen
• zu welchem Preis kann Versicherung einen
Vertrag anbieten?
– Geschichte zur Lotterie:
– 1,000,000 Häuser zum Wert 2,000
– wenn Feuer, reduziert sich Wert auf 1,000.
– Wahrscheinlichkeit von Brand = 50%
25
Warum Leute Versicherungen kaufen
• Versicherung kann den Schadensfall (1.000€)
von 1.000.000 Häusern zur fairen Prämie von
500 € versichern.
Einnahmen:
1.000.000 ×500 €
+ 500.000 €
Ausgaben
1.000.000 ×1.000 €× 0,5
./. 500.000 €
Gewinn/Verlust
0€
26
Warum Leute Versicherungen kaufen
• Versicherung kann also Kontrakt zum fairen Preis
(= Prämie) von 500€ anbieten
• Mit fairem Kontrakt realisiert Hausbesitzer ein
Vermögen von 1500:
– Nichtschadensfall:
• 2.000 € Haus – 500 € V‘prämie = 1.500 €
– Schadensfall:
• 1.000 € Haus + 1.000 € Zahlung – 500 € V‘prämie
= 1.500 €
• Willens dazu 42,89 € Risikoprämie zu zahlen
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Versicherbare Risiken
• Risiko der unterschiedlichen Hausbrände
unkorreliert
• Wegen Gesetz der großen Zahl, realisiert
Versicherung bei 1.000.000 Verträgen jedes
Jahr (nahezu) mit Sicherheit Auszahlungen von
500.000 €
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Risikodiversifizierung
Flächennutzung
Regen
Sonne
100% Weizen
12.000
30.000
100% Pilze
30.000
12.000
Wenn Wkt von Regen = Wkt Sonne = 0.5 ist
EV (100% Weizen) = EV (100% Pilzen) = 21.000
Flächennutzung
Regen
Sonne
50% Weizen
6.000
15.000
50% Pilze
15.000
6.000
Gesamt
21.000
21.000
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µ−σ-Indifferenzkurven
• Wenn Präferenzen weitere Bedingungen
erfüllen
– Entscheidungsproblem kann auf Abwägen von
Erwartungswert und Standardabweichung einer
Anlage reduziert werden.
• Indifferenzkurven:
– Kombination von erwartetem Einkommen und
Standardabweichung der zwischen denen
Indifferenz besteht
30
µ−σ-Indifferenzkurven
U3
Erwartetes
Einkommen
U2
U1
Sehr risikoavers:
starke
Einkommenserhöhung
notwendig, um Anstieg des
Risikos auszugleichen
Standardabweichung des Einkommens
31