Kongruenzsätze für Dreiecke, grundlegende Konstruktionen

Kongruenzsätze für Dreiecke, grundlegende Konstruktionen
1. Von einem Viereck kennt man die Längen der Seiten AB = AD = 4 cm und
BC = DC = 6 cm. Warum sind die Dreiecke △ABC und △ADC kongruent?
Lösung: Dreiecke △ABC und △ADC sind kongruent nach SSS.
2. Von einem Viereck ABCD kennt man die Längen der Seiten:
AB = AD = 4 cm und BC = DC = 6 cm.
M ist der Schnittpunkt der Strecken [AC] und [BD].
(a) Warum sind die Dreiecke △ABC und △ADC kongruent?
(Gib die gleich großen Stücke und den zugehörigen Kongruenzsatz an!)
(b) Warum sind die Dreiecke △ABM und △ADM kongruent?
(Gib die gleich großen Stücke und den zugehörigen Kongruenzsatz an!)
(c) Warum ist AC die Mittelsenkrechte der Strecke [BD]?
Lösung: (a) AB = AD, BC = DC, AC = AC, ⇒ Dreiecke kongruent nach SSS
(b) AB = AD, AM = AM, <
) MAD =<
) BAM, wegen (a) =⇒ Dreiecke kongruent nach
SWS
3. Dreiecke
Konstruiere ein Dreieck △ABC aus den gegebenen Größen. Bestimme durch Messen
die übrigen Größen. Kontrolliere die Winkelgrößen mit Hilfe des Winkelsummensatzes.
(a) a = 5 cm, b = 4cm cm, γ = 67◦
(b) c = 9 cm, a = 6 cm, γ = 53◦
(c) a = 4,5 cm, β = 57◦ , γ = 43◦
(d) a = 7 cm, b = 5 cm, c = 4 cm
Aus welchen der vier Kongruenzsätze folgt, dass alle Lösungsdreiecke mit den gegebenen Größen kongruent zueinander sind? Miss auch die Höhen im Dreieck.
Anregungen zum Öffnen der Aufgabe:
(a) Angaben weglassen (unterbestimmte Aufgabe)
(b) ein vorgegebenes Dreieck auf verschiedene Arten konstruieren (überbestimmte
Aufgabe)
(c) In welchen Fällen ist es nicht möglich, ein Dreieck zu konstruieren?
Lösung: offen
1
4. Gegeben sind die kongruenten Dreiecke △HUB und △ERT, genauer gilt
△HUB ∼
= △ERT.
(a) Zeichne eine Überlegungsfigur der beiden Dreiecke, wobei entsprechende Seiten
und Winkel in gleichen Farben zu zeichnen sind. Suche zu jeder der folgenden
Größen die entsprechende Größe im anderen Dreieck:
HU, UB, ET , <
) BUH, <
) RET, <
) ETR, <
) HUB
(b) Welche der folgenden Schreibweisen ist richtig:
△BUH ∼
= △RET,
Lösung: (a) HU = ER,
△UHB ∼
= △RET,
UB = RT
△TER ∼
= △BUH
B
T
ET = HB
<
) BUH =<
) TRE
R
H
<
) RET =<
) UHB
<
) ETR =<
) HBU
<
) HUB =<
) ERT
(b) △BUH ∼
= △RET (falsch),
△TER ∼
= △BUH (falsch)
E
U
△UHB ∼
= △RET (richtig)
5. Nebenstehende Figur ist nicht
maßstabsgetreu. Es gilt:
R
E
△KAS ∼
= △WAS ∼
= △SER
S
K
sowie KA = 5 cm, ER = 4 cm
und SW = 3 cm.
Wie lang sind die anderen gezeichneten Strecken? Zeichnung
mit farblicher Kennzeichnung
entsprechender Größen!
W
A
Lösung: KA = WA = SE = 5 cm
SK = SW = SR = 3 cm
SA = ER = 4 cm
6. Von zwei kongruenten Dreiecken △MPD und △IER kennt man die Beziehungen
MP = RE und PD = EI. Fertige eine Skizze der beiden Dreiecke mit farbiger
Kennzeichnung entsprechender Strecken und ergänze:
△MPD ∼
= △ 2
Lösung: △MPD ∼
= △REI
7. Für die Dreiecke △CDU und
△DSP gilt:
c = s,
d = p,
U
S
µ
d
und u = d′
Welche Winkel sind gleich?
Schreibe die Kongruenz der
Dreiecke richtig hin (richtige
Reihenfolge der Punkte).
c
σ
p
d’
γ
δ
C
φ
u
π
D
s
P
Lösung: γ = σ, δ = π, µ = ϕ, △CDU ∼
= △SPD
8. Für die Dreiecke △CDU und
△DSP gilt:
c = s,
d = p,
U
S
µ
d
und u = d′
Welche Winkel sind gleich?
Schreibe die Kongruenz der
Dreiecke richtig hin (richtige
Reihenfolge der Punkte).
c
σ
p
d’
γ
δ
C
u
φ
D
π
s
P
Lösung: γ = σ, δ = π, µ = ϕ, △CDU ∼
= △SPD
9. Welche Strecken und Winkel sind
gleich, wenn die beiden Dreiecke kongruent sind? Schreibe
die Kongruenz der Dreiecke richtig hin (richtige Reihenfolge der
Punkte).
Lösung: <
) BSA =<
) CSD (Scheitelwinkel)
∼ △DSC
△ASB =
=⇒
B
D
S
C
A
BA = CD, BS = SC, AS = SD
3
10. Die beiden Dreiecke sind kongruent. Skizziere für jede Teilaufgabe
die beiden Dreiecke und markiere entsprechende Größen mit gleicher Farbe. Gib alle einander entsprechenden Seiten, Winkel und
Punkte an und schreibe die Kongruenz der Dreiecke richtig hin
(richtige Reihenfolge der Punkte).
Lösung:
F
C
δ
a
α
A
c
f
D
β
b=f
b=d
β=ϕ
(b)
(d)
α=δ
A=
bE
und
und
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
b=f
b=f
b=d
b=f
b=f
c=e
c=e
c=e
c=d
c=e
α=δ
α=δ
α=ϕ
α=ε
α=δ
β=ϕ
β=ϕ
β=δ
β=ϕ
β=ϕ
γ
γ
γ
γ
γ
=ε
=ε
=ε
=δ
=ε
γ=ε
B=
bF
A=
bD
A=
bD
A=
bF
A=
bE
A=
bD
11. Im nebenstehend gezeichneten Dreieck gilt a = b
und AD = DB. Die Figur enthält zwei kongruente Dreiecke. Schreibe die Kongruenz dieser Dreiecke richtig hin und begründe genau, warum diese Kongruenz gilt. Welche Beziehung besteht zwischen α und β? Wie groß sind die Winkel <
) CDA
und <
) BDC?
Fasse die Ergebnisse in einem präzisen mathematischen Satz zusammen.
Lösung:
E
B
und
und
und

a=b 
CD = CD

AD = DB
ε
e
γ
b
(a) a = d
(c) C =
bE
(e) c = e
a=d
a=d
a=f
a=e
a=d
d
φ
=⇒ △ADC ∼
= △BDC (sss)
=⇒ α = β, <
) CDA = <
) BDC
| {z } | {z }
ϕ
B=
bF
B=
bF
B=
bD
B=
bF
B=
bF
C=
bE
C=
bE
C=
bE
C=
bD
C=
bE
C
A
b
a
α
β
D
B
δ
δ + ϕ = 2ϕ = 180◦
=⇒
ϕ = δ = 90◦
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich und die Seitenhalbierende
der Basis ist zugleich Höhe.
4
12. Zeichne für jede Teilaufgabe eine Überlegungsfigur mit farbiger Kennzeichnung entsprechender Größen. Entscheide, ob die
beiden Dreiecke kongruent sind
und schreibe gegebenenfalls die
Kongruenz richtig hin (richtige
Reihenfolge der Punkte). Gib im
Fall der Kongruenz auch den verwendeten Satz an.
Lösung:
(a)
(c)
(e)
(g)
(i)
(l)
(n)
a = a′ ;
a = b′ ;
b = a′ ;
b = a′ ;
b = b′ ;
b = c′ ;
a = a′ ;
b = b′ ;
b = a′ ;
α = γ′;
c = b′ ;
α = γ′;
a = b′ ;
β = β ′;
(a)
(c)
(e)
(g)
(i)
(l)
(n)
△ABC ∼
= △A’B’C’
nicht kongruent
△ABC ∼
= △C’A’B’
△ABC ∼
= △C’A’B’
△ABC ∼
= △C’B’A’
∼
△ABC = △B’C’A’
nicht kongruent
γ = γ′
β = β′
γ = β′
α = γ′
γ = α′
γ = α′
γ = α′
(sws)
(wsw)
(sws)
(wsw)
(sws)
C’
C
α’
a
α
A
β’
b’
γ
b
B’
c’
A’
β
c
B
(b)
(d)
(f)
(h)
(k)
(m)
(o)
(b)
(d)
(f)
(h)
(k)
(m)
(o)
13. Die nebenstehend gezeichnete Figur ist nicht maßstabsgetreu. Die
Punkte C, D und H sowie B,
D und G liegen jeweils auf einer
Geraden. Welche Dreiecke sind
kongruent? Gib eine genaue Begründung deiner Antwort unter
Berufung auf die Kongruenzsätze.
a = a′ = 6 cm;
a = b′ ;
a = a′ ;
a = c′ = 4 cm;
c = b′ ;
c = c′ ;
a = c′ ;
b = b′ = 7 cm;
b = a′ ;
β = β ′;
c = a′ = 7 cm;
α = β ′;
b = a′ ;
γ = α′ ;
α = α′
γ = γ′
γ = γ′
γ = α′
β = γ′
α = β′
β = β′
muss nicht kongruent sein (ssw)
△ABC ∼
= △B’A’C’ (sws)
∼
△ABC = △A’B’C’ (wsw)
△ABC ∼
= △C’B’A’ (ssW)
nicht kongruent
△ABC ∼
= △B’A’C’ (sws)
△ABC ∼
= △C’B’A’ (wsw)
3
F
4
2
G
60 o 2
H
D
C
3
A
Lösung:
a’
γ’
4
30
4
o
60 o 30
o
60 o
E
B

<
) HDG =<
) CDB (Scheitelw.) 
DG = BD = 4

<
) DGH =<
) DBC = 60◦
=⇒ △BDC ∼
= △GDH (wsw)
=⇒ BC = GH = 2
=⇒ △ABC ∼
= △GDF (sss)
Keines der Dreiecke ist zu △BED kongruent.
14. Zeichne die Punkte A(1|2), B(5|1), C(7|3) und D(3|6) in ein Koordinatensystem mit
der Einheit 1 cm.
5
(a) Konstruiere das Dreieck △EFG mit e = BC, f = CD und g = AC.
(b) Konstruiere das Dreieck △RST mit r = AB, t = AC und ̺ = <
) SRT = <
) BDC.
) WVU = <
) BAD und
(c) Konstruiere das Dreieck △UVW mit w = AB, α = <
β =<
) VUW = <
) CBD.
Lösung:
G
CD
D
A
δ
T1
F
E
δ
α
R
BC
C
AC
AC
T2
W
S
β
α
B
AB
V
AB
β
U
15. Mittenwald (M), Wallgau (W) und Partenkirchen (P) bilden ein Dreieck mit den
) WMP = 75◦ .
Seitenlängen MP = 13 km und MW = 9 km und dem Winkel <
Bestimme durch eine Konstruktion im Maßstab 1 : 200 000 die Entfernung WP.
Lösung: Konstruktion: MP =
b 6,5 cm, MW =
b 4,5 cm
WP = 6,9 cm · 200 000 = 13,8 km
6
=⇒
WP =
b 6,9 cm