03 Coulombgesetz und Elektrisches Feld

Elektrostatik
1. Ladungen Phänomenologie
2. Eigenschaften von Ladungen
3. Kräfte zwischen Ladungen, quantitativ
4. Elektrisches Feld
i) Feldbegriff, Definitionen
ii) Darstellung von Feldern
iii) Feldberechnungen diskreter und
kontinuierlicher Ladungsverteilungen
5. Der Satz von Gauss
Kräfte zwischen Ladungen: quantitative
Bestimmung
Messmethode:
Coulombsche Drehwaage
Drehwinkel proportional
zu Kraft zwischen Ladungen
Coulomb Charles Augustin de,
Physiker und Ingenieur,
*1736 Angouleme, +1806 Paris;
1
Kräfte zwischen Ladungen Coulombgesetz
Kraft F (Drehwinkel, Auslenkung)
Ladungsmenge q
Abstand der Ladungen r
q1
r
q2
Beobachtungen
•Kraft ist proportional zur Ladungsmenge
F ~ q1 bzw. F ~ q2
•Kraft kann anziehend bzw. abstoßend
sein
F ~ q1 q2
•Abstandsabhängigkeit
F ~ 1/r2
Coulomb Gesetz
r
r
q1 ⋅ q 2 r
q ⋅q r
FCoulomb ∝ r 2 ⋅ r = 1r 2 2 ⋅ er
r
r
r
r
r
q1 ⋅ q 2 r
q ⋅q r
FCoulomb = k r 2 ⋅ r = k 1r 2 2 ⋅ er
r
r
r
Exponent 2 experimentell überprüft
Ergebnis von Präzisionsmessungen: 2 +/- 1 x 10-16
2
CGS System
Cgs System bzw Gauss-system
Basiseinheiten Centimeter, Gramm und Sekunde
r
qq r
F = k ⋅ 1 2 2 ⋅ er
r
[F ] = dyn = g cm s - 2
Def.: k ≡ 1
[q ] = [r
F ] = cm dyn = cm 3 / 2 g 1/ 2 s −1 ≡ esu
1 esu = 1 electrostatic unit
Ladung über mechanische Kraftwirkung definiert
1 esu übt in 1 cm Abstand die Kraft 1 dyn auf 1 esu aus
Elegant: Elektrodynamik-Rechnungen mit k = 1
Kompliziert: Umrechnung in mechanische Größen
SI System
SI System bzw Giorgi-system
Basiseinheiten Meter, Kilogramm, Sekunde (MKS), und Ampere
Mechanische Definition der Stromstärke: 1 A = 1 Ampere = diejenige
Stromstärke in zwei unendlich langen parallelen geraden Leitern in 1 m
Abstand, die pro m Leiterlänge eine Kraft von 2·10-7 N verursacht.
⇒ durch einen Drahtquerschnitt fließt pro s die Ladung 1 C = 1As
r
qq r
F = k ⋅ 1 2 2 ⋅ er
r
[Q ]
= C = Coulomb = As
Messung: k = 8,9875·109 N m2 C-2
Definition: k =
1
4π ε 0
Dielektrizitätskonstante ε0:= 8,8541878 10-12 A2 s4 kg m-3
ε0 ist durch Festlegung der Lichtgeschwindigkeit (c0 = 299792458 m s-1)
und magnetische Feldkonstante (µ0 = 4π 10-7 Vs/Am) exakt berechenbar
Umrechnung: 1C = 3 109 esu
(riesige Ladung)
3
Vergleich Coulomb - Gravitationskraft
Ursache
Kraftrichtung
Coulomb
Gravitation
Ladungen positiv und
negativ
Schwere Masse (nur ein
Sorte)
Anziehend /abstoßend je
nach Ladungen
Immer nur anziehend
Groß (1)
Klein (10-37)
1/r2
1/r2
Nur ganzzahlige Vielfache
der Elementarladung
(außer Quarks)
Nicht gequantelt (aber
Masse von
Elementarteilchen gleich)
Ladung bleibt erhalten
Masse nicht, aber Energie
Ladung punktförmig
(Elektron)
Kein Masspunkt (nur
idealisiert)
Zusammenhalt
Mikrokosmos
Zusammenhalt
Makrokosmos
Stärke
Abstandsabhängigkeit
Quantelung
Erhaltung
Ausdehnung
Bedeutung
Was sind die Kräfte die die Welt im Inneren
zusammenhalten?
Elektron Proton im Wasserstoffatom
FC = 9 10-8N = 1040 FG
Anziehende Wirkung durch Coulombkraft
Zwei Protonen im Kern
FC = - 26 N abstoßend
FG = 2 10-35 N anziehend
Abstoßende Wirkung überwiegt,
warum fliegt Kern dann nicht auseinander?
4
Fundamentale Wechselwirkungen
Kraft
Wechselwirkung
Reichweite
(m)
Relative
Stärke
∞
10-22
≤ 10-17
10-14
Gravitationskraft
zwischen Massen
Gravitationsladung
(Anziehend)
„Schwache“ Kraft
Wechselwirkung beim
β-Zerfall
schwache Ladung
Coulombkraft
zwischen elektrischen
Ladungen
(Anziehend und Abstoßend)
∞
10-2
„Starke“ Kraft
zwischen den
Kernbausteinen
starke Ladung (Farbladung)
≤ 10-15
1
Elektrisches Feld
Frage: Wie groß ist die Kraft auf eine Testladung q0, wenn
sie in das Ladungssystem q1,q2, und q3 gebracht wird?
q2
q3
q0
q1
F1
F2
F3
Fges
Es gilt das Superpositionsprinzip: Resultierende Kraft ist vektorielle
Summe der Einzelkräfte, kann für jede Position gefunden werden.
Frage: Kann ich Größe definieren, die Kraftwirkung für den ganzen
Raum und beliebige Testladungen q0 beschreibt?
5
Feldbegriff
Temperaturfeld:
Jedem Ort ist eine Temperatur
zugeordnet
Temperatur = Skalar
Skalarfeld
Windverteilung
Wind: Stärke und Richtung zeitlich und örtlich veränderlich:
zeitanhängiges Vektorfeld
6
Elektrische Feldstärke
An jedem Raumpunkt wird Kraft F auf elektrische Ladung q
r
r
ausgeübt:
F = qE
Die Stärke der elektrischen Kraft pro Ladungsmenge
nennen wir:
elektrische Feldstärke E
r
r F
E :=
q
E elektrisches Feld beschreibt Zustand (lokale Kraftwirkung auf
Probeladung) des Raumes der durch Ladungen erzeugt wird.
Mit Hilfe von Probeladung Bestimmung von E an allen Orten
E ist ein ortsabhängiger Vektor (Vektorfeld)
Dimension (Einheit) von E ist V/m (Volt/Meter)
Wie kann man Feldstärkenfeld darstellen?
Richtungsfeld
Für ausgewählte Raumpunkte wird Richtung und Betrag
(Länge) der Feldstärke angegeben
(Kraft auf eine positive Probeladung)
7
Feldstärkenfeld
Feldlinien: Richtung der Coulombkraft auf eine positive Ladung
ist gleich der Tangente an die Feldlinie
Elektrische Feldlinien beginnen immer bei einerpositiver Ladung
und enden bei einer negativen Ladung
Ende bzw. Anfang kann bei Monopolen auch im Unendlichen sein
Feldlinien überkreuzen sich nicht und haben keine Wirbel
(geschlossene Feldlinien) falls Ladungen sich nicht bewegen
Dichte der Feldlinien ist Maß für die Stärke des Feldes
Feldlinien in Nähe eines Monopols sind kugelsymmetrisch
Feldlinien
r
E ( x , y , z,t )
r
E ( x , y , z,t )
Feldlinien: Richtung
(Tangente) und Betrag
(Liniendichte) der Feldstärke
8
Elektrisches Feld einer Punktladung
q
Probeladung
Aus Definition der Feldstärke
Quellladung
r
r
F = q⋅E
Q
r
F
(1)
Kraft auf Probeladung q
hervorgerufen durch Quellladung Q
r
E
Coulombkraft
r
F=
1 Q r
⋅ ⋅ er ⋅ q
4π ε 0 r 2
(2 )
Aus (1) und (2) folgt für die Feldstärke der Quellladung Q:
r
E=
1 Q r
⋅ ⋅ er
4π ε 0 r 2
Feld einer Punktladung
r
E=
1 Q r
⋅ ⋅ er
4π ε 0 r 2
+Q
-Q
Orientierung Feldlinien: Kraft auf positive Probeladung
Frage:
Im Ursprung r → 0 wird das Feld E → ∞, ist das physikalisch sinnvoll?
Klassischen Elektromagnetismus: es gibt nur kontinuierliche
Ladungsverteilung, wenn r → 0 auch Q → 0
Atomarer Elektromagnetismus: es gibt punktförmige Ladungsverteilungen, richtige Beschreibung liefert Quantenelektrodynamik (QED)
9
Elektrisches Feld mehrer Punktladungen
r
r
r
r Fges
r
F1 (Q1 ) F2 (Q2 ) r
=
+
= E1 (Q 1 ) + E 2 (Q 2 )
E=
q0
q0
q0
Superpositionsprinzip:
n r
r
E (Q1,K ,Qn ) = ∑ E (Qi )
i =1
Elektrische Dipole
Dipol: Zwei gleich große Ladungen q mit entgegengesetztem
Vorzeichen und kleinem Abstand d
Elektrische Eigenschaften eines Dipol lassen
sich vollständig mit dem Dipolmoment p
beschreiben:
Betrag p = q d
Richtung von negativer zu positiver Ladung
Feldstärke eines Dipols in Richtung der Dipolachse z
E(z)= E(-q, -d/2) + E(q, d/2)
r
r
1 2p
E (z ) =
4π ε 0 z 3
10
Dipole
Wozu führt man das Dipolmoment, das Produkt aus Ladung und
Abstand, zur Beschreibung eines Dipols ein?
1. Das Feld in einer großen Entfernung hängt nur mehr vom
Dipolmoment ab, es kann nicht mehr festgestellt werden, ob
Abstand oder Ladung groß oder klein sind
2. Viel Moleküle, Atome verhalten sich wie ein Dipol, z.B. Wasser
Warum ist Wasser ein Dipol?
Anzahl der Elektronen = Protonen: neutral
Aber Elektronen bevorzugt bei Sauerstoff,
Ladungsschwerpunkt verschoben
Sauerstoff negativ
Wasserstoff positiv
Dipolmoment
Kontinuierliche Ladungsverteilungen
Elektrisches Feld beliebiger Ladungsverteilung mit Gesamtladung Q:
Ladung ist quantisiert
Es gilt das Superpositionsprinzip
Ladungen dicht beieinander:
Näherung Gesamtladung kontinuierlich verteilt
Volumselement ∆V enthält viele Ladungen ∆Q, aber
so klein, dass ∆V→ dV und ∆Q→ dq
∫ dq
Q=
Gesamtladung des Körpers
Volumen
V =
∫ dV
Gesamtvolumen
dq
dV
Raumladundsdichte (ortsabhängig)
Volumen
r
ρ (r ) =
11
Feldstärke einer kontinuierlichen
Ladungsverteilung
Wie groß ist die elektrische Feldstärke E im Punkt r, wenn im
Volumen V die Ladung Q homogen verteilt ist?
Volumselement dV an Stelle R
mit Ladung dQ erzeugt in Punkt
r Feld dE
r r
r r
r
1
r −R
dQ r
(
)
dE r =
r erR erR = r r
4π ε 0 rr − R 2
r −R
r
r
r r
1 r −R
dE ( r ) =
r dQ
4π ε 0 rr − R 3
r r
Gesamtfeldstärke E (r )
r r
r r
r
1
r −R
E (r ) =
r 3 ρ R dV
r
∫
4π ε 0 Volumen r − R
r r
dE (r )
r r
r −R
r
r
r
R
z
y
0
Volumen V
mit Ladung Q
x
Volumselem ent dV
r
dQ = ρ R d 3 R
( )
( )
Flächenladungen
Ladungen auf einer dünnen Schicht auf der Oberfläche verteilt:
Beschreibung mit Flächenladungsdichte
r dQ
Ladung
Flächenlad ungsdichte σ (r ) =
=
dA Flächenele ment
Gesamtladung Q =
r
∫ σ (r )dA
Fläche
12
Flächenladungen
Feld einer homogen geladenen Scheibe σ = konst. mit Radius R in Punkt P
auf Scheibenachse im Abstand x
Ladungen auf Kreisring mit
dEx
mit Radius r und Dicke dr ergeben
zusammengefasst in P ein Feld in xP
x
Richtung
r
1 dQ (r , r + dr )x
x
y
z
dr
R
r
Scheibe R→∞
(x
4π ε 0
2
+ r2)
3
2
Intgegration über alle Kreisringe von 0 bis R
r
1 ⎛
E (x ) =
σ ⎜1−
2ε 0 ⎝
Sonderfälle
Abstand x>> R
dE ( x , r , r + dr ) =
x
⎞r
⎟e x
2
x −R ⎠
2
r
1 R2 r
1 Q r
σ 2 ex =
E (x ) =
ex
4ε 0 x
4π ε 0 x 2
r
r
1
E (x ) =
σ ex
2ε 0
E x > 0 für x > 0
E x < 0 für x < 0
Feldstärke unabhängig vom Ort: Feld ist homogen
Linienladung
r dQ
Ladung
Linienladungsdichte λ (r ) =
=
dl Linienelement
r
Gesamtladung Q = ∫ λ (r )dl
Linie
Modell für dünne leitende Drähte,
leitende Polymere als „eindimensionale“ Leiter
13
Zusammenfassung Elektrisches Feld
• Elektrisches Feld beschreibt Zustand (lokale Kraftwirkung) des
Raumes der durch Ladungen erzeugt wird.
• Das elektrische Feld in einem Raumpunkt ist definiert E( r ) = F(r) /q
• Elektrische Feldlinie sind graphische Mittel zur Veranschaulichung
des Feldverlaufs (Richtung = Tangente an Feldlinie, Stärke
proportional zu Liniendichte)
• Feld einer Punktladung ist radial nach außen gerichtet E(r) ∝ Q/r2
• Feld eines Dipols (zwei Ladungen Q mit entgengesetztem
Vorzeichen im Abstand d) mit Dipolmoment p (p = q d): E(r) ∝ p/r3
• Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung, durch Aufintegrieren
der von Teilladungen erzeugten differenziellen Feldbeiträge
(Integration oft schwierig)
14