ψ : ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ω ψ = ψ ω ψ = ψ ω ψ ψ ψ ω ψ ψ ω ψ ψ ω ω ω

Name………………………………………
1. Aufgabe
Im Allgemeinen werden in der Quantenmechanik nur lineare hermitesche Operatoren Ω̂
benötigt. Für diese gilt für zwei beliebige Wellenfunktionen ψ 1 und ψ 2 :
Hermitizität:
ˆψ ψ = ψ Ω
ˆψ
Ω
1
2
1
2
Linearität:
ˆ ∑cψ = ∑c Ω
ˆ
Ω
i
i ψi .
i
a) Beweisen Sie folgende Aussage: Zwei Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators, die
zu zwei verschiedenen Eigenwerten gehören, sind zueinander orthogonal.
(5 Punkte)
ˆψ ψ = ψ Ω
ˆψ
Ω
1
2
1
2
Def. Hermitizität
mit
ˆψ =ωψ
Ω
1
1 1
ˆ
Ωψ 2 = ω 2ψ 2
folgt:
Def. Eigenfunktion
ω1ψ 1 ψ 2 = ψ 1 ω 2ψ 2
da ω i skalare Größe:
ω1∗ ψ 1 ψ 2 = ω 2 ψ 1 ψ 2
da Eigenwerte immer Reel: ω i = ω i∗
(vgl. Vorlesung)
ω1 ψ 1 ψ 2 = ω 2 ψ 1 ψ 2
ist nur lösbar für ψ 1 ψ 2 = 0 da ω1 ≠ ω 2 , d.h. die Wellenfunktionen sind Orthogonal
q.e.d
-1-
Name………………………………………
2. Aufgabe
Betrachtet wird die Wellenfunktion ψ eines Systems, die durch lineare Kombination
normierter Wellenfunktionen ϕ i gebildet wird, d.h. ψ = ∑ ciϕ i . Die komplexen
Funktionen ϕ i seien hierbei normierte Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten
ω i des hermiteschen Operators Ω̂ .
a) Welchem Zusammenhang müssen die Koeffizienten ci genügen, damit ψ ebenfalls eine
normierte Wellenfunktion darstellt?
(4 Punkte)
{
} {
1 ≡ ψ ψ = ∑ c i ϕ i ∑ c j ϕ j = ∑ c i ϕ i c j ϕ j + ∑ c i ϕ i c j ϕ j = ∑ ci c j ϕ i ϕ j + ∑ c i c j ϕ i ϕ j
i
i= j
j
da ϕ i ϕ j =
i≠ j
∑ ci c j
i= j
i≠ j
0 für i ≠ j
1 für i = j
ψ ψ =
i= j
(vgl. Aufgabe 1)
= ∑ ci2
i
demnach müssen die Koeffizienten ci so gewählt werden, dass:
2
∑ ci
i
=1
b) Berechen Sie den Erwartungswert der Funktion ψ zum Operator Ω̂ .
(3 Punkte)
ˆ ψ = ∑c ϕ ∑c Ω
ˆ
Ω = ψ Ω
= ∑ ci ϕ i c j ω j ϕ j + ∑ ci ϕ i c j ω j ϕ j
i i
j ϕj
{
i
j
} {
i= j
= ∑ ci c j ω j ϕ i ϕ j + ∑ c i c j ω j ϕ i ϕ j
i= j
i≠ j
}
analoge Argumentation wie in 2 a):
Ω = ∑ ci2ω i
i
-2-
i≠ j
}
Name………………………………………
3. Aufgabe
a) Skizzieren Sie ein harmonisches Potential und einen Potentialtopf mit unendlich hohen
Potentialwänden. Tragen Sie die Eigenwerte der Schrödingergleichung der drei
niedrigsten Zustände eines Teilchens und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den
Grundzustand und ersten angeregten Zustand in diese Potentiale ein.
(3 Punkte)
b) Wie groß sind die Erwartungswerte für die potentielle Energie der beiden Grundzustände?
(3 Punkte)
r
im Kasten V (r ) = 0 Î V = 0
Teilchen im Kasten:
1
Harmonischer Oszillator:
V0
1
1
 k 2
= E 0 = hω mit ω =  
2
4
m
c) Wie groß ist für beide Potentiale die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Grundzustand in
einem klassisch verbotenen Bereich anzutreffen? (In einem Fall treten hierbei analytisch
unlösbare Integrale auf. Vereinfachen Sie diese soweit, dass Sie die Integrale in einem
Nachschlagewerk finden könnten. Es ist nicht nötig, deren numerische Lösung
anzugeben.)
(5 Punkte)
Teilchen im Kasten: P=0
Harmonischer Oszillator:
V >E
2E0
1 2
kxtp = E 0 ⇔ xtp = ±
2
k
klassisch verboten
am Umkehrpunkt xtp ist V = E
y

−
P = 2 ∫ψ 0∗ψ 0 dx = 2 ∫  N 0 e 2
xtp
xtp 

1
N0 =
1
∞
2
∞
1
2
2

4
∞
 dx = 2 N 2 ∫ e − y 2 dx mit y = x , α =  h  und
 mk 
0

xtp
α



απ 2
∞
2
= 2 N 02α ∫ e − y dy =
ytp
2
∞
π
1
∫e
− y2
dy
hier haben wir substituiert y tp =
-3-
xtp
α
1
= (2v + 1) 2 = 1
Name………………………………………
4. Aufgabe
Als recht grobe Näherung kann man die Molekülorbitale von π-Elektronen in einem
linearen Polyen mit dem „Teilchen im Kasten“-Modell beschreiben. Betrachten wir ein
Polyen, das aus 10 konjugierten C-Atomen besteht. Am π-System sind dann 10 Elektronen beteiligt.
a) Geben Sie die Konfiguration des Grundzustandes an. Beachten Sie die Hundsche Regel
und das Pauli-Prinzip.
(2 Punkte)
.
b) Bestimmen Sie die Wellenlänge des Übergangs vom höchsten besetzten in den niedrigsten
unbesetzten Zustand (HOMO-LUMO-Übergang). Nehmen Sie einen mittleren C-C-Abstand von 140 pm an.
(4 Punkte)
En =
n2h2
8me L2
∆E 6←5 =
∆λ =
h2
(6 2 − 5 2 ) = 4.1 ⋅ 10 −19 J
2
8me L
mit L = 9 ⋅ 140 pm
HOMO-LUMO-Übergang
hc
= 480nm
∆E
-4-
Name………………………………………
5. Aufgabe
Alle Atomorbitale wasserstoffähnlicher Atome besitzen die Form:
Ψn ,l ,ml = Rn ,l (r ) ⋅ Yl ,ml (θ , φ ) .
Der Radialanteil der Wellenfunktion der 3p-Zustände des Wasserstoffatoms lautet:
3
2
1
− ρ
4πε 0 h 2
1 Z 
2Z r
2


(4 − ρ )ρ ⋅ e mit ρ =
R3,1 (r ) =
und a 0 =
.
n a0
me e 2
9 6  a 0 
a) In welchen Abständen vom Kern ist ein Elektron in einem 3p-Zustand des
Wasserstoffatoms nicht anzutreffen?
(2 Punkte)
R3,1 = 0
ρ=
für ρ = 0 und ρ = 4
ρa n
2Z r
⇔r= 0
n a0
2Z
dann sind r = 0 bzw. r = 317.4 pm die Abstände an denen ein Elektron nicht anzutreffen
ist
b) Licht welcher Wellenlänge würde beim Übergang eines Wasserstoff- bzw.
Deuteriumatoms von einem 3p- in den 2s-Zustand emittiert werden? Ist dieser Übergang
erlaubt?
(4 Punkte)
∆l = ±1 und ∆ml = 0,±1
Auswahlregeln sind erfüllt, d.h. er ist erlaubt
m ⋅m
1
Z 2e4
 1
∆E3→2 = hcℜ 2 − 2 
mit hcℜ = µ
, µ= 1 2
2 2 2
m1 + m2
3 
32π ε 0 h
2
1
1
∆λ3→ 2 =
= 7 .2 ⋅
1
ℜ
 1
ℜ 2 − 2 
3 
2
ℜ H = µ H ⋅ Konst . = 1.0967758 ⋅ 10 7 m −1
m + mP
µ
ℜ D = µ D ⋅ Konst. = D ℜ H ≈ 2 e
ℜ H = 1.00027 ⋅ ℜ H
µH
m e + 2m P
Lösungen: ∆λ3→2, H = 656.47nm und ∆λ3→2, D = 656.29nm
-5-
Name………………………………………
6. Aufgabe
Das Emissionsspektrum des Natriums weist zwei eng benachbarte Linien im Gelben, bei
569.76 nm und 569.16 nm, auf, die vom Übergang [Ne]3p1 in den Grundzustand herrühren.
a) Geben Sie die Werte für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl j eines Elektrons in einem
3p-Zustand an. Geben Sie die Termsymbole für Natrium in der Konfiguration [Ne]3p1 an.
(2 Punkte)
l =1
1
s=
2
mit Clebsch-Gordan-Reihe: j =
1 3
,
2 2
Termsymbole: 2 P1 , 2 P3 ,
2
2
b) Berechnen Sie die Lage der durch Spin-Bahn-Kopplung auftretenden Energieniveaus
relativ zum reinen p-Zustand in Einheiten der Spin-Bahn-Kopplungskonstante A.
(2 Punkte)
1
hcA{ j ( j + 1) − l (l + 1) − s ( s + 1)}
2
1
= −hcA ; E 1 3 = hcA
1, ,
2
2 2
El , s , j =
E
1 1
1, ,
2 2
c) Geben Sie die Kopplungskonstante B für das Natriumatom in der Dimension Wellenlänge
an.
(2 Punkte)
Man kann nicht von ∆λ auf die Energie ∆E schließen!!!!
Die beiden Übergänge liegen ∆E =
3
3 1
hcA = hc auseinander.
2
2 B
Die Kopplungskonstante B hat die Dimension Wellenlänge.
∆E =
3 1
1
1


hc = hc
−
 ⇔ B = 0.81mm
2 B
 569.16nm 569.76nm 
-6-
Name………………………………………
7. Aufgabe
Gemessene Spektren weisen keine unbegrenzt scharfen Linien auf. Ursachen hierfür sind
etwa die Dopplerverbreiterung und die Auflösung der verwendeten Optik. Aber auch ohne
diese Effekte ist die Wellenlänge des emittierten Photons prinzipiell nicht scharf.
a) Schätzen Sie anhand der Lebensdauer-Energie-Unschärfe ab, ob zwei dicht beieinander
liegende Übergänge voneinander getrennt in einem Spektrum auftreten. Nehmen Sie für
die mittlere Lebensdauer der angeregten Zustände 10-8s und für den Abstand der beiden
Übergänge 0,2 nm an.
(3 Punkte)
h
Unschärferelation
2
mit ∆t = 10 −8 s folgt ∆E = 5.25 ⋅ 10 −28 J
Energetischer Abstand der beiden Übergänge
1
1 
1
∆λ
mit der Näherung λ1 ≈ λ 2
∆E ′ = hc −  ≈ hc 2 = 3,98 ⋅ 10 −35 Jm 2 2
λ
λ
 λ1 λ 2 
Da ∆E ′ >> ∆E verhindert die Unschärfe keine getrennte Beobachtung der beiden
Übergänge
∆E∆t ≥
Dies ist gegeben für λ <<
3.98 ⋅ 10 −35
m = 275000nm
5.25 ⋅ 10 − 28
b) Zeigen Sie welche der folgenden Operatorenpaare der Unschärferelation unterliegen.
(Prüfen Sie dies gegebenenfalls anhand der Testfunktion e ikx .)
(6 Punkte)
2
2
h d
h d
Impuls:
; Kinetische Energie: −
; Ort: x
i dx
2m dx 2
Impuls-Ort: unterliegen der Unschärferelation
( pˆ x xˆ − xˆpˆ x )ψ = h ψ ∂x + x ∂ψ  − x h ∂ψ = h ψ ≠ 0
i  ∂x
i ∂x
i
∂x 
Produktregel
Impuls-Energie: unterliegen nicht der Unschärferelation
h ∂  h 2 ∂ 2ψ  h 2 ∂ 2  h ∂ψ 
h h 2 ∂ 3ψ h h 2 ∂ 3ψ


+
=
−
+
pˆ x Tˆ − Tˆpˆ x ψ = −
=0


i ∂x  2m ∂x 2  2m ∂x 2  i ∂x 
i 2m ∂x 3 i 2m ∂x 3
(
)
Ort-Energie: unterliegen der Unschärferelation
 h 2 ∂ 2ψ  h 2 ∂ 2
∂ψ 
h 2 ∂ 2ψ h 2 ∂  ∂x

(
)
+
=
−
+x
ψ
xTˆ − Tˆx ψ = − x 
x
x 2 +
ψ
=
2 
2
∂x 
2m ∂x
2m ∂x  ∂x
 2m ∂x  2m ∂x
(
−
)
∂ 2ψ ∂x ∂ψ
h 2 ∂ 2ψ h 2  ∂ψ

+x 2 +
x 2 +
∂x
∂x ∂x
2m ∂x
2m  ∂x

 ≠ 0

-7-