Die Koerperaxiome

1
Die Körperaxiome und ihre Folgen
“Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht, alles übrige ist Menschenwerk”, Leopold Kronecker.
Definition: N := {1, 2, 3, . . .}
N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}
Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Zunächst wollen wir uns überlegen was vernünftige “Zahlen” ausmachen soll. Wir möchten
sicherlich, daß wir zwei Operationen unbeschränkt ausführen können: Eine Addition und eine
Multiplikation.
+
·
A+ :
A· :
Assoziativität
( a + b) + c = a · (b · c) =
a + (b + c)
( a · b) · c
N+ :
N· :
Existenz des
a+0 = a
a·1 = a
Neutralelements
K+ :
K· :
Kommutaa+b = b+a a·b = b·a
tivität
I+ :
I· :
Existenz des
zu a gibt es
zu a 6= 0 gibt Inversen
− a, mit:
es a−1 , mit:
a + (− a) = 0 a · a−1 = 1
Des weiteren haben wir
D : a · (b + c) = a · b + a · c Distributivität
NT : 1 6= 0
Nichttrivialität
Bemerkung: Wir sind es gewohnt, Formeln von links nach rechts zu lesen.
Deshalb lesen wir a + b + c als ( a + b) + c . Die Kommutativität der Addition liefert dann:
a + b + c = b + c + a = ( b + c ) + a = a + ( b + c ).
Es sieht so aus, als benötige man die Assoziativität gar nicht. Beachten Sie aber bitte, daß wir
a + b + c noch gar nicht definiert haben. Tun wir das zum Beispiel durch
a + b + c := ( a + b) + c,
so liefert uns die Kommutativität lediglich
a + b + c = ( b + a ) + c = c + ( b + a ) = c + ( a + b ),
aber nicht
a + b + c = a + ( b + c ).
Beispiele: 1) Die Menge F2 = {0, 1}
o
n
p
2) Q = q | p ∈ Z und q ∈ N mit der Multiplikation
p · s +r · q
q·s
p
q
·
r
s
=
p ·r
q·s
und der Addition
p
q
+
r
s
=
(Genaueres dazu weiter unten).
Nichtbeispiele: 1) N0 (mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation) da es im allgemeinen keine additiven Inversen gibt.
2) Z (mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation) da es im allgemeinen keine multiplikativen Inversen gibt.
1.1
Erste Folgerungen aus den Körperaxiomen
F1) Neutralelemente sind eindeutig bestimmt
denn: Seien 00 und 10 weitere Neutralelemente (NE). Dann ist
0 + 00 = 00 , da 0 Neutralelement ist, und
0 + 00 = 0 ,da 00 Neutralelement ist.
Also ist 0 = 0 + 00 = 00 . Analog sieht man, daß multiplikative Neutralelemente eindeutig sind.
F2) a + 0 · a = a
Grund:
N·
D
N+
N·
a + 0 · a = 1 · a + 0 · a = (1 + 0) · a = 1 · a = a
F3) a · 0 = 0
Grund:
I+
F2)
K+
0 = a + (− a) = ( a + 0 · a) + (− a) =
I+
N+
a + (− a) + 0 · a = 0 + 0 · a = 0 · a
F4) Ist a · b = 0, so ist a = 0 oder b = 0 (oder beide).
denn: Ist a 6= 0 und b 6= 0 , dann gibt es a−1 und b−1 , mit
F3)
(b−1 · a−1 ) · ( a · b) = (b−1 · a−1 ) · 0 = 0.
Aber auch:
A·
I·
( b −1 · a −1 ) · ( a · b ) = b −1 · ( a −1 · a ) · b =
N·
I·
b−1 · 1 · b = b−1 · b = 1.
Also wäre 1 = 0.
F5) Inverse sind eindeutig und es gilt:−(− a) = a und ( a−1 )−1 = a für a 6= 0.
Grund:
a + (− a) = 0 , also ist a additives Inverses zu (− a),
daher a = −(− a).
Den zweiten Teil sieht man analog.
F6) (−1) · a = − a
Grund:
F3)
N·
D
I+
a + (−1) · a = 1 · a + (−1) · a = (1 + (−1)) · a = 0 · a = 0
also mit F5 die Behauptung.
F7) (−1) · (−1) = 1
Grund:
(−1) · (−1) + (−1) = (−1) · (−1) + 1 · (−1) =
((−1) + 1) · (−1) = 0 · (−1) = 0
Damit ist (−1) · (−1) das additive Inverse von (−1), also (−1) · (−1) = −(−1) = 1 (nach F5).
F8) (− a) · (− a) = a · a =: a2
Grund:
(− a) · (− a) = (−1) · a · (−1) · a = (−1) · (−1) · a · a =
1 · a · a = a · a = a2
F9) −( a + b) = (− a) + (−b) und ( a · b)−1 = a−1 · b−1
Grund:
(− a) + (−b) + a + b = (− a) + a + (−b) + b = 0 + 0 = 0
und
a −1 · b −1 · a · b = a −1 · a · b −1 · b = 1 · 1 = 1
Einschub: Warum gibt es kein multiplikatives Inverses von 0?
Wir hätten: 0 · 0−1 = 1 nach Definition des multiplikativen Inversen und 0−1 · 0 = 0 nach F3.
Definition:
a − b := a + (−b)
a
= a · b−1 falls, b 6= 0
b
1.2
Die binomischen Formeln
D
D
K+
B1) ( a + b)2 = ( a + b) · ( a + b) = a · ( a + b) + b · ( a + b) = a2 + a · b + b · a + b2 = a2 + 2 · a · b + b2
B1
B2) ( a − b)2 = ( a + (−b))2 = a2 + 2 · a · (−b) + (−b)2 = a2 + 2 · a · (−1) · b + b2 = a2 − 2 · a ·
b + b2
B3) ( a − b) · ( a + b) = ( a + (−b)) · ( a + b) = a · ( a + b) + (−b) · ( a + b) = a2 + a · b + (−1) · b ·
a + (−1) · b2 = a2 − b2
1.3
Die Regeln der Bruchrechnung
Im folgenden seien alle auftretenden Nenner 6= 0.
Br1) ba =
Grund:
a
b
·
Br3) ac +
Grund:
b
c
Br4) ac +
Grund:
b
d
a
b
c
d
=
Grund:
, speziell:
d
d
=1
a d De f .
a
·
= ( a · b −1 ) · ( d · d −1 ) = a · b −1 · 1 = a · b −1 =
b d
b
Br2) ba · dc =
Grund:
Br5)
d
d
a·c
b·d
=
a c De f .
a·c
·
= ( a · b −1 ) · ( c · d −1 ) = ( a · c ) · ( b · d ) −1 =
b d
b·d
a+b
c
a b
a+b
D
+ = ( a · c −1 ) + ( b · c −1 ) = ( a + b ) · c −1 =
c
c
c
=
a·d+b·c
c·d
a b Br1 a d b c Br2 a · d b · c Br3 a · d + b · c
+ = · + · =
+
=
c d
c d d c
c·d c·d
c·d
a·d
b·c
a
b
c
d
=
a c −1
·
= ( a · b −1 ) · ( c · d −1 ) −1 = a · b −1 · c −1 · d =
b
d
( a · d ) · ( b · c ) −1 =
a·d
b·c
1.4
Umformungen von Gleichungen
Klar ist: Gilt a = b, so auch a + c = b + c
Ist umgekehrt: a + c = b + c, so können wir auf beiden Seiten (−c) addieren und erhalten:
a + c + (−c) = b + c + (−c), also a = b.
Für die Multiplikation gilt klarerweise: Ist a = b, so auch a · c = b · c. Ist umgekehrt a · c = b · c,
so ist a · c · c−1 = b · c · c−1 und mithin a = b, falls c−1 existiert, falls also c 6= 0 ist.
1.5
Potenzen in Körpern
Definition: Potenzen
Sei n eine natürliche Zahl. Wir definieren für n ∈ N :
an := |a · .{z
. . · }a, a0 = 1 und für a 6= 0, a−n := ( a−1 )n
n−mal
00 lassen wir undefiniert.
Aus der Definition sieht man sofort die Potenzrechenregeln für n, m ∈ Z:
an · am = an+m
und
( an )m = an·m
Satz (endliche geometrische Reihe):
x n − 1 = ( x − 1 ) · (1 + x + . . . + x n −1 ) = ( x − 1 )
n −1
∑ xk
k =0
Grund: Die rechte Seite ergibt ausmultipliziert
n −1
x
∑x
k
k =0
n −1
−
∑x
k =0
k
n −1
=
∑ x k +1 − x k = x n − 1
k =0
Folgerung:
n
n
x − y = ( x − y)
n −1
∑ x k y n − k −1
k =0
Grund: Ist y 6= 0 so folgt mit der endlichen geometrischen Reihe
n
n −1 k
x
x
x
n −1
− 1 = y ( − 1) y
=
x −y = y
∑
y
y
y
k =0
n
n
n
n −1
( x − y) ·
∑ x k y n − k −1
k =0
Anwendung: Seien p, q Körperelemente und
p2
4
− q = a2 für ein a. Dann ist:
x2 + p · x + q = x2 + p · x +
p2
p2
−
+q
4
4
p
p2
= ( x + )2 −
+q
2
4
Für welche x wird der letzte Ausdruck 0? Offenbar genau dann, wenn gilt:
x+
p2
p 2
− q = a2
=
2
4
x1,2
p
=− ±
2
Erinnerung (p,q-Formel):
r
p2
−q
4