Deformierbare Körper 1
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Einführung in die Physik I Mechanik deformierbarer Körper 1 O. von der Lühe und U. Landgraf Deformationen • Deformationen, die das Volumen ändern – Dehnung – Stauchung • Deformationen, die das Volumen nicht ändern – Scherung – Drillung – Verbiegung Gerthsen Physik Deformierbare Körper 1 2 1 Zustände • Fester Zustand – Form- und volumenelastisch – Kehren nach Belastung in ursprüngliche Form zurück – Plastische Deformation, Brechen • Flüssiger Zustand – Keine Formelastizität – Volumenelastisch, geringe Kompressibilität – Nach Entlastung Rückkehr in ursprüngliches Volumen • Gasförmiger Zustand – Keine Formelastizität – Volumenelastisch, hohe Kompressibilität – Füllt jedes Volumen Deformierbare Körper 1 Gerthsen Physik 3 Gase und Flüssigkeiten – Druck • Flüssigkeiten und Gase können Kräfte leiten. Die wesentliche Größe ist die pro Flächeneinheit A ausgeübte Kraft F – der Druck p p= F A F A • An jeder Fläche des Behälters herrscht der gleiche Druck Einheit des Drucks: Pascal [Pa] Bar (Atmosphäre) [bar] 1 [Pa] = [N m-2] = 10-5 [bar] Atmosphärendruck: 1.013 [bar] Deformierbare Körper 1 4 2 Gase und Flüssigkeiten – Hydrostatik • Mit einer hydraulischen Presse kann man Kräfte vervielfachen: A F2 = 2 F1 A1 • Das Volumen der Flüssigkeit bleibt konstant • Erhalt der Arbeit (Energie) F1 A1 A2 F2 Δx2 Δx1 ΔV1 = A1 ⋅ Δx1 = A2 ⋅ Δx2 = ΔV2 W1 = F1 ⋅ Δx1 = F2 ⋅ Δx2 = W2 Deformierbare Körper 1 5 Gase und Flüssigkeiten – Kompressibilität • Wird ein Druck auf einen Stoff ausgeübt, so kann er sein Volumen ändern A F + ΔF ΔV ΔV = − κ ⋅ V ⋅ Δp • Kompressibilität κ – Materialgröße – Temperaturabhängig – Dimension [Pa-1] • Beispiel Wasser Deformierbare Körper 1 κ =− 1 dV ⋅ V dp κ = 5·10-10 [m2 N-1] 6 3 Flüssigkeiten – Schweredruck • Im Gravitationsfeld erzeugt das Eigengewicht von Gasen und Flüssigkeiten einen höhenabhängigen Schweredruck F g ⋅ ρ ⋅V p(h ) = = = g ⋅ρ ⋅h A A h p p(h) • Der Druck am Boden eines Gefäßes hängt nur von der Höhe H des Spiegels ab und ist unabhängig von der Form des Gefäßes Deformierbare Körper 1 7 Gase und Flüssigkeiten – Auftriebskraft • Jeder in eine Flüssigkeit getauchte Körper mit Volumen V erfährt eine Auftriebskraft FA • Kraft auf die obere Fläche F (h1 ) = A ⋅ g ⋅ ρ ⋅ h1 • Kraft auf die untere Fläche F (h2 ) = − A ⋅ g ⋅ ρ ⋅ h2 • Summe der Kräfte FA = A ⋅ g ⋅ ρ ⋅ (h1 − h2 ) = − g ⋅ ρ ⋅ V A h1 h2 FA mg • Dieses Prinzip (Archimedessches Prinzip) gilt für beliebig geformte Körper Deformierbare Körper 1 8 4 Gasdruck p ⋅V = c • Bei einer gegebenen Menge (idealen) Gases sind Druck und Volumen zueinander umgekehrt proportional (Gesetz von BoyleMariotte) p~ρ κ =− • Kompressibilität 1 dV 1 c 1 ⋅ = ⋅ 2 = V dp V p p ρLuft = 1.29 [kg m-3] (bei 0 °C) • Atmosphärendruck 1 [bar] – Wegen Boyle-Mariotte muss die Dichte auch mit der Höhe abnehmen – Exponentielle Abnahme des Luftdrucks mit Skalenhöhe H Deformierbare Körper 1 H = [ ] ] [ ] 105 N m -2 p ≈ ≈ 8 km gρ 10 m s -2 ⋅1.3 kg m -3 [ ρ dp = −g 0 p dh p0 ⎛ gρ p(h ) = p0 exp⎜⎜ − 0 ⎝ p0 ⎞ ⎛ h⎞ h ⎟⎟ = p0 exp⎜ − ⎟ ⎝ H9 ⎠ ⎠ Oberflächenspannung • An Grenzflächen zwischen Flüssigkeits-, fester und Gasphase können Oberflächenkräfte auftreten • Quelle der Kräfte sind Unterschiede von Anziehungskräften zwischen Teilchen (Atomen und Molekülen) bei flüssigen und festen Zuständen • Bei Flüssigkeiten gibt es eine zur Oberfläche proportionale Oberflächenenergie Eofl • Energieaufwand, wenn die Oberfläche vergrößert wird (Oberflächenspannung σ) Deformierbare Körper 1 Eofl = σ ⋅ A 10 5 Oberflächenspannung • Tropfen am Wasserhahn – Spannung hängt ab von Radius des Rohrs – Gleichgewicht zwischen Gewicht und Oberflächenspannung Vmax = Fofl = 2·π·r·σ r 2πrσ gρ F = V·ρ·g pa • Seifenblase – Innendruck pi – Außendruck pa Δp = pi − pa = dx ⋅ dy r = Δp ⋅ dA dF = 4 ⋅ σ ⋅ pi r 4σ r Deformierbare Körper 1 11 Strömungen • Bewegen sich die Teilchen in einer Flüssigkeit oder einem Gas, so betrachtet man eine r rStrömung mit Geschwindigkeit v (r ) • Geschwindigkeit ist Vektorfeld • konstante Dichte ρ inkompressible Strömung • Fluss durch ein Flächenelement dA r r dΦ = ρ ⋅ v ⋅ dA • Kontinuitätsgleichung bei inkompressibler Strömung r r v (r ) r r r v r dA v2 v1 A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v2 A2 A1 Deformierbare Körper 1 12 6 Strömungen – Innere Reibung Fläche A • Dünne Flüssigkeitsschicht zwischen zwei sich gegeneinander parallel verschiebenden Wänden v – Relativgeschwindigkeit v – Abstand z z • Die Flüssigkeit vermittelt pro Fläche A eine Reibungskraft F = η ⋅ A⋅ v z – Viskosität (Zähigkeit) η ση = • Viskose Schubspannung ση dF dv =η⋅ dA dz Vergleiche Dynamik 3 Folie 12 Deformierbare Körper 1 13 Strömungen – Ideale Flüssigkeiten • Ideale Flüssigkeit v2 v1 – Keine Reibung – Keine äußeren Kräfte A1 • Energiebilanz Δx1 Δx2 A2 ΔV = A1 ⋅ Δx1 = A2 ⋅ Δx2 ΔW1 = p1 ⋅ A1 ⋅ Δx1 = p1 ⋅ ΔV ΔW2 = p2 ⋅ A2 ⋅ Δx2 = p2 ⋅ ΔV ΔW1 − ΔW2 = ( p1 − p2 ) ⋅ ΔV = ( 1 ⋅ ρ ⋅ ΔV v22 − v12 2 • Bernoulli-Gleichung ) p+ 1 ρ ⋅ v 2 + p0 = konstant 2 • Erhöht sich die Geschwindigkeit, so verringert sich der Druck! Deformierbare Körper 1 14 7
