Ubungen zur Finanzmathematik I - homepages.math.tu

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Prof. Dr. Peter Friz
Dr. Christian Bayer
Übungen zur Finanzmathematik I
2. Aufgabenblatt vom 23. Oktober 2009
Aufgabe 5. (5 Punkte)
1. Seien P, Q1 und Q2 Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem messbaren Raum (Ω, F ) mit Q1 Q2 sowie
Q2 P. Zeigen Sie, dass Q1 P und
dQ1
dQ1 dQ2
=
.
dP
dQ2 dP
2. Sei nun (Ω, F ) = (R, B(R)) und P = N(0, 1), Q = N(µ, σ2 ), σ > 0. Bestimmen Sie
dQ
dP !
3. Sei (Ω, F ) ein endlich erzeugter messbarer Raum (d.h., F ist eine von einer endlichen Familien von
Mengen erzeugte σ-Algebra). Gegeben seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße P und Q darauf. Wann gilt
dQ
Q P? Bestimmen Sie in dem Fall die Radon-Nikodym-Dichte dP .
Aufgabe 6. (5 Punkte)
Das folgende Marktmodell wird als Trinomialmodell bezeichnet. Sei Ω = {ω1 , ω2 , ω3 } (mit der Potenzmenge
als σ-Algebra) und sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit p j B P({ω j }) > 0, j = 1, 2, 3. Wir betrachten ein
risikoloses Instrument (mit Zinssatz r) sowie ein risikobehaftetes Instrument mit Preis π1 zum Zeitpunkt 0
und Preis S = S(ω) zum Zeitpunkt 1. O. B. d. A. nehmen wir an, dass u B S(ω1 ) > m B S(ω2 ) > d B S(ω3 ).
1. Wann ist das Trinomialmodell arbitragefrei?
2. Charakterisieren Sie im arbitragefreien Fall die Menge P aller risikoneutralen Maße!
Aufgabe 7. (5 Punkte)
Man betrachte ein arbitragefreies Marktmodell mit einem riskanten Asset S mit Preis π1 zum Zeitpunkt 0
sowie einem risikolosen Asset mit Zinssatz r > 0. Bezeichne CK eine (europäische) Call-Option auf das riskante
Asset mit Strike-Preis K > 0. π(CK ) sei ein arbitragefreier Preis der Option zum Zeitpunkt 0. Man zeige (ohne
Zuhilfenahme des Fundamentalsatzes), dass
π1 −
K
1+r
+
≤ π(CK ) ≤ π1 .
Aufgabe 8. (5 Punkte)
Im Modell von Aufgabe 7 zeige man für 0 < K1 ≤ K2 und 0 ≤ λ ≤ 1:
1. π(CK1 ) ≥ π(CK2 ),
2.
K2 −K1
1+r
≥ π(CK1 ) − π(CK2 ),
3. λπ(CK1 ) + (1 − λ)π(CK2 ) ≥ π(CλK1 +(1−λ)K2 ).
( Arbitragefreiheit“ – im Zusammenhang mit dem Preis einer Option – bezieht sich hier jeweils auf einen
”
Markt, dem alle relevanten Optionen hinzugefügt wurden.)
Abgabe am 30. Oktober 2009 vor der Übung.