Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme
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zum mathbu.ch für GU 9++
c 2008, Klett und Balmer AG
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Inhaltsverzeichnis
Lernumgebung
2
Arbeitsheft
4
Lösungsverfahren für 2x2 Gleichungssysteme
Geometrische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen
Algebraische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen
Das Gleichsetzungsverfahren
Das Einsetzungsverfahren
Das Additionsverfahren
4
4
6
7
8
9
Aufgaben
Grundaufgaben
Weitere Rätsel in Gedichtform
Textaufgaben
Anwendungen
Ergänzungen
Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen
Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
Die Cramer’sche Regel
Ausblick: Computertomographie
10
10
11
12
13
14
14
15
17
19
Lösungen der Aufgaben in der Lernumgebung
21
Lösungen der Aufgaben im Arbeitsheft
22
Lösungen
Lösungen
Lösungen
Lösungen
Lösungen
Lösungen
Lösungen
Lösungen
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
”Geometrische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen”
”Algebraische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen”
” Grundaufgaben”
” Weitere Rätsel in Gedichtform ”
” Textaufgaben ”
” Anwendungen ”
” Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen ”
” Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten ”
Kommentare
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24
25
26
28
30
31
32
34
1
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2
Lernumgebung
Ein Rätsel in Gedichtform
Tiere sind es, grosse, kleine,
dreissig Köpfe, siebzig Beine.
Teils sind’s Kröten, teils auch Enten,
wenn wir doch die Anzahl kennten!
Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade
Gegeben sind die beiden Punkte A(1|2) und B(6|8) in der Ebene. Bestimme die lineare
Funktion f (x) = mx + q so, dass der Graph der Funktion (eine Gerade) durch die beiden
Punkte A und B geht.
Rechendreiecke
Gesucht sind drei Zahlen x, y und z so dass
x+y = a
y+z = b
z+x = c
Alle drei obigen Probleme lassen sich in Gleichungssysteme übertragen.
Zwei lineare Gleichungen
ax + by = c
dx + ey = f
bilden ein lineares Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten oder kürzer ein 2x2-Gleichungssystem. a, b, c, d, e, f sind gegeben, x und
y sind gesucht. Das Gleichungssystem heisst linear, weil die Unbekannten x und y nur
”linear” und nicht als Potenzen x2 , x3 , y 2 , y 3 , . . . vorkommen.
Ein Zahlenpaar (x|y) ist eine Lösung des Gleichungssystems, wenn die beiden Gleichungen erfüllt sind.
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3
Beim Rätsel in Gedichtform setzen wir: x = Anzahl der Kröten und y = Anzahl der
Enten.
Dann gilt
x + y = 30
4x + 2y = 70
Die erste Gleichung ”zählt” die Köpfe, die zweite Gleichung die Beine, denn Frösche
haben bekanntlich vier Beine, Enten deren zwei.
Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade
Einsetzen der Koordinaten von A und B in die Funktionsgleichung f (x) = mx + q liefert
f (1) = m · 1 + q = 2
f (6) = m · 6 + q = 8
oder
m+q = 2
6m + q = 8
also ebenfalls ein Gleichungssystem.
Aufgabe: Versuche bei den zwei Gleichungssystemen, die Zahlen x und y resp. m und
q zu finden.
Das Problem mit dem Rechendreieck führt offensichtlich zu einem linearen Gleichungssystem von drei Gleichungen mit drei Unbekannten (kurz 3x3-Gleichungssystem).
Es war es seit jeher ein Bestreben der Mathematiker, ein allgemeines Lösungsverfahren
für Gleichungssysteme zu entwickeln.
Der Engländer Isaac Newton (1643-1727), der Schweizer Gabriel Cramer (1704-1752) und
der deutsche Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) haben die heute gebräuchlichen Verfahren entscheidend beeinflusst.
Newton
Cramer
Leibniz
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4
Arbeitsheft
Lösungsverfahren für 2x2 Gleichungssysteme
Geometrische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen
Bevor wir uns der algebraischen Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme zuwenden, wollen wir eine geometrische Interpretation geben.
Wir betrachten das 2x2-Gleichungssystem
ax + by = c
dx + ey = f
Jede der beiden Gleichungen kann nach y aufgelöst werden (falls b und e nicht gleich Null
sind) und stellt folglich die Funktionsvorschrift einer linearen Funktion y = f (x) = mx+q
dar.
Beispiel: Für
2x + y = 3
6x − 2y = 4
ergibt sich einerseits y = −2x + 3, anderseits y = 3x − 2.
Die Graphen dieser beiden Funktionen sind Geraden.
Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist (x|y) = (1|1). Der Punkt P (1|1) ist der einzige
Punkt, dessen Koordinaten beide vorgegebenen Gleichungen erfüllen. x = 1 und y = 1
ist daher die Lösung des Gleichungssystems.
Diesem graphischen Lösen eines Gleichungssystems sind natürlich Grenzen gesetzt, insbesondere wenn die Lösung (also die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden)
nicht mehr ganzzahlig ist.
Eine weitere Schwierigkeit des graphischen Lösens von Gleichungssystemen kann sich
ergeben, wenn die beiden Geraden fast parallel sind. In diesem Fall wird auch das Ablesen der Koordinaten des Schnittpunktes schnell ungenau (siehe Aufgabe 4 im Kapitel
”Grundaufgabe”)
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Aufgaben
1. Löse die folgenden Gleichungssysteme graphisch.
2x + 3y = 18
4x − y = 8
5x + 7y = −19
x + y = −3
3x + 4y = 0
5x − 2y = 7
3x + 5y = 0
6x − 2y = 7
x + 2y = 3
4x + 5y = 6
2. Gib dir selber ein Gleichungssytem vor und löse es graphisch.
5
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6
Algebraische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen
Für das Lösen von linearen Gleichungssystemen gibt es im wesentlichen drei algebraische
Verfahren. Ziel all dieser Verfahren ist es, die Zahl der Unbekannten sukzessive zu verringern. Bei Systemen von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten geht es in einem ersten Schritt
darum, nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu haben. Diese Gleichung kann
man dann nach der einzig verbliebenen Unbekannten auflösen. Bei n Gleichungen mit n
Unbekannten strebt man in einem ersten Schritt ein System von n-1 Gleichungen mit
nur noch n-1 Unbekannten an.
Wir betrachten zuerst Gleichungssysteme von 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Allgemein hat ein solches Gleichungssystem die Form
ax + by = c
dx + ey = f
Bemerkungen:
1. Genauer müssten wir sagen, dass ein lineares 2x2-Gleichungssystem dann vorliegt,
wenn wir es durch Äquivalenzumformungen in die obige Form bringen können.
2. Die gegebenen Zahlen a, b, c, d, e, f sowie die gesuchten Zahlen x und y gehören
zur Menge der reellen Zahlen.
In vielen Anwendungen sind a, b, c, d, e, f ganze Zahlen. Dann sind die gesuchten Zahlen x und y in der Regel rationale Zahlen, also Brüche.
Auf den nächsten drei Seiten werden drei Verfahren zur (algebraischen) Lösung eines
lineares 2x2-Gleichungssystems erläutert.
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7
Das Gleichsetzungsverfahren
Wenn in einem Gleichungssystem beide Gleichungen nach derselben Unbekannten aufgelöst sind, kann man auch die Terme, die auf der andern Seite stehen, gleichsetzen.
Beispiel 1: Aus
y = 3x − 2
y = 2x + 8
können wir 3x − 2 = 2x + 8 folgern. Jetzt haben wir das Gleichungssystem reduziert
und haben nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten. Diese Gleichung können
wir nach x auflösen und erhalten x = 10. Diesen Wert können wir in eine der beiden
ursprünglichen Gleichungen einsetzen und bekommen y = 3x − 2 = 3 · 10 − 2 = 28. Die
Lösung des Gleichungssystems lautet x = 10, y = 28.
Beispiel 2: Gegeben ist das Gleichungssystem
(1)
8x + 4y = 32
(2)
9x + 3y = 48
Wir lösen beide Gleichungen nach y auf:
(10 )
y =
(20 )
y =
1
(32 − 8x) = 8 − 2x
4
1
(48 − 9x) = 16 − 3x
3
und setzen die rechten Seiten gleich:
8 − 2x = 16 − 3x.
Diese Gleichung können wir jetzt nach x auflösen und bekommen x = 8. Einsetzen in
(10 ) liefert y = −8. Die Lösung des Systems lautet x = 8, y = −8.
Bemerkung: In Beispiel 2 hätten wir beide Gleichungen auch nach x auflösen können.
Gleichsetzungsverfahren: Man löst beide Gleichungen nach derselben Unbekannten
auf. Durch Gleichsetzen erhält man dann eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.
Aufgabe: Löse das folgende Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:
x + 5y = 13
2x + 6y = 18
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8
Das Einsetzungsverfahren
Um aus einem Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit nur einer Unbekannten zu erhalten, können wir die eine Gleichung nach einer
Unbekannten auflösen und in der anderen Gleichung diese Unbekannte durch den Term,
der auf der andern Seite dieser Gleichung steht, ersetzen.
Beispiel 1: Hier wird die erste Gleichung nach y aufgelöst und in die zweite Gleichung
eingesetzt:
(1)
y−x = 1
(2)
6x − 3y = 6
(10 )
Einsetzen von
(10 )
y =x+1
in (2):
6x − 3 · (x + 1) = 6
6x − 3x − 3 = 6
3x = 9
x = 3
Einsetzen in (10 ) liefert y = 3 + 1 = 4. Daher lautet die Lösung der Gleichung
x = 3, y = 4.
Beispiel 2:
(1)
(2)
2x = 3y − 3
x − 3y = −9
Wir lösen Gleichung (2) nach x auf:
x = 3y − 9 und setzen diesen Wert in die Gleichung (1) ein:
2 · (3y − 9) = 3y − 3
6y − 18 = 3y − 3
3y = 15
y = 5
Einsetzen in (20 ) liefert x = 3 · 5 − 9, also x = 6. Somit lautet die Lösung x = 6, y = 5.
Einsetzungsverfahren: Man löst eine Gleichung des Gleichungssystems nach einer Unbekannten auf. Durch Einsetzen in die andere Gleichung erhält man eine Gleichung mit
nur einer Unbekannten.
Aufgabe: Löse das folgende Gleichungsystem mit dem Einsetzungsverfahren.
4x − 3y = 11
6y + 28 = 2x
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9
Das Additionsverfahren
Wenn in einem Gleichungssystem in beiden Gleichungen eine Unbekannte oder ein Vielfaches davon mit dem selben Betrag, aber unterschiedlichen Vorzeichen vorkommt, können
wir die Gleichungen addieren, um nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu
bekommen.
Beispiel 1:
(1)
4x + 3y = 15
(2)
3x − 3y = 6
Wir addieren die beiden Gleichungen:
4x + 3y = 15
+
+
+
3x − 3y = 6
7x
= 21
x = 3
Durch Einsetzen in eine der ursprünglichen Gleichungen bekommen wir noch y = 1. Die
Lösung lautet x = 3, y = 1.
Beispiel 2: Durch Multiplizieren der beiden Gleichungen je mit einer geeigneten Zahl
können wir die gewünschte Ausgangslage für das Additionsverfahren erreichen:
(1)
5x + 2y = 16
(2)
8x − 3y = 7
(10 )
0
(2 )
| ·3
| ·2
15x + 6y = 48
16x − 6y = 14
Addieren der beiden Gleichungen liefert
31x = 62
x = 2
Durch Einsetzen in (1) bekommen wir y = 3 und damit die Lösung x = 2, y = 3.
Additionsverfahren: Man formt beide Gleichungen so um, dass beim Addieren der
Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Es entsteht eine Gleichung mit nur noch einer
Unbekannten.
Aufgabe: Löse folgendes Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren:
4x − 3y = 1
5x + 6y = 50
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Aufgaben
Grundaufgaben
Es ist empfehlenswert, nicht nur eines, sondern mehrere der vorgeschlagenen Lösungsverfahren für Gleichungssysteme zu kennen, ganz nach dem Motto: ”Schnell ist, wer flexibel
ist!” Je nach Art des Gleichungssystems kann ein Verfahren bequemer zum Ziel führen
als ein anderes.
1. Löse die folgenden Gleichungssysteme mit dem dir am meisten zusagenden Lösungsverfahren. Prüfe anschliessend die gefundenen Lösungen durch Einsetzen nach.
(a)
y = x+2
y = 3x − 12
(b)
4x + y = 48
y = 3x
(c)
2x + 4y = 19
8x − 3y = 31
(d)
5x − 19 = y
3x − 11 = y
Löse einige der Gleichungssysteme auch graphisch (lineare Funktionen!) und vergleiche die Lösungen.
2. Gib dir selber ein 2x2-Gleichungssystem vor und löse es!
3. Kannst du ein Gleichungssystem finden mit den Lösungen x = 3 und y = 7?
4. Kleine Ursache – grosse Wirkung!
Löse beide Gleichungssysteme rechnerisch.
123x − 124y = 61
248x − 250y = 123
123.01x − 124y = 61
248x − 250y = 123
Vergleiche beide Ergebnisse.
In welchen Quadranten liegen die Schnittpunkte der entsprechenden Geraden?
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Weitere Rätsel in Gedichtform
1. Wieder Tiere, grosse, kleine,
diesmal Gänse und auch Schweine.
Siebzig Füsse zählen wir,
Schweine hat es mehr, just vier!
2. Käfer und ein Dutzend Spinnen
sind in einem Kasten drinnen.
Käferbein’ hat’s achtzehn mehr,
rechne aus, es ist nicht schwer!
3. Katzen frech am Ufer fauchen,
Enten rasch ins Wasser tauchen.
Vierzig Beine, achtzehn Tier’,
lös dies Rätsel zum Pläsier.
4. Zwanzig gleiche Tierchen zart,
welche sich am Wasser laben.
Gleichviel schlanke Beine haben,
wie die zehn der andern Art.
Doch der Unterschied ist vier,
zählst du je an einem Tier.
Und jetzt sage mir geschwind,
wieviel Bein’ es wirklich sind!
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Textaufgaben
1. Summe und Quotient zweier Zahlen ergeben je 5. Wie heissen die beiden Zahlen?
2. Das Übersetzungsverhältnis zweier Zahnräder eines Getriebes ist 7 : 11. Hätte jedes
Zahnrad 4 Zähne mehr, so wäre das Verhältnis 2 : 3.
Wie viele Zähne hat jedes Rad?
3. Ein Drittel einer Zahl und ein Viertel einer zweiten Zahl ergibt ein Fünftel. Ein
Sechstel der ersten Zahl plus ein Siebentel der zweiten Zahl ergibt ein Achtel.
Wie heissen die beiden Zahlen?
4. Der Winkel an der Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ist doppelt so gross wie
ein Basiswinkel.
Wie gross sind die Winkel des Dreiecks?
5. Der Flächeninhalt eines Trapezes mit einer Höhe von 8 cm beträgt 96 cm2 . Die
untere Grundseite ist 6 cm kürzer als die obere Seite.
Wie lang sind die beiden Seiten?
6. Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist das Doppelte der Einerziffer. Vertauscht
man die Ziffern, entsteht eine um 27 kleinere Zahl.
Wie heisst die ursprüngliche Zahl?
7. Die Quersumme einer zweistelligen Zahl ist 15, die alternierende Quersumme (=Differenz der Ziffern) ist 3.
Welche Zahl kann das sein?
8. Die Summe zweier Zahlen hat den Wert 25, ihre Differenz den Wert 7.
Wie heissen die beiden Zahlen?
9. Subtrahiert man vom Vierfachen einer Zahl das Dreifache einer zweiten Zahl, so
erhält man 18. Addiert man zum Dreifachen der ersten Zahl die Zahl 10, so erhält
man das Vierzehnfache der zweiten Zahl.
10. Ein quaderförmiges Wasserbecken von 12 m Länge, 5 m Breite und 4.5 m Höhe
wird durch zwei Abflüsse A und B entleert. Sind A während zwei Stunden und B
während 1.5 Stunden offen, so sinkt der Wasserspiegel um 1.28 m. Bei vertauschten
Öffnungszeiten sinkt der Wasserspiegel jedoch um 1.205 m. Wie viele Liter fliessen
bei jedem Abfluss pro Minute ab?
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Anwendungen
1. In einem Labor müssen 10 Liter 20%ige Schwefelsäure hergestellt werden.
Es stehen 20 Liter 5%ige Schwefelsäure und 15 Liter 40%ige Schwefelsäure zur
Verfügung.
Wie muss gemischt werden?
2. Temperaturmessung: Die Umrechnung von Grad Celsius in Grad Fahrenheit kann
durch eine Funktion y = mx + q beschrieben werden, wo x die Grade in Celsius, y
die Grade in Fahrenheit bedeuten.
Es gilt: 0 Grad Celsius entsprechen 32 Grad Fahrenheit und 100 Grad Celsius
entsprechen 212 Grad Fahrenheit.
(a) Bestimme die Funktionsvorschrift, die die Umrechnung angibt.
(b) Wie viele Grad Fahrenheit sind 37 Grad Celsius?
(c) Wie viele Grad Celsius sind 0 Grad Fahrenheit?
(d) Gibt es eine Temperatur, die in beiden Skalen gleich angegeben wird?
3. Bei einer Mathematikprobe soll für 30 Punkte die Note 6, für 0 Punkte die Note 1
gesetzt werden. Die Zuordnung Punktzahl −→ Note soll durch eine Funktion der
Form f (x) = mx + q beschrieben werden.
(a) Finde die Funktion
(b) Welche Note gibt es für 21 Punkte?
(c) Für welche Punktzahl gibt es die Note 4?
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Ergänzungen
Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen
Bis jetzt haben wir Gleichungssysteme betrachtet, die genau eine Lösung besitzen. Das
braucht nicht immer so zu sein:
Löse die folgenden Gleichungssysteme:
2x − 3y = 1
(a)
4x + y = 23
2x − 3y = 1
(b)
−4x + 6y = 0
2x − 3y = 1
(c)
−4x + 6y = −2
Das Gleichungssystem (a) hat die Lösung x = 5, y = 3
Das Gleichungssystem (b) hat keine Lösung! Um den Grund zu verstehen, stellen wir
die beiden Gleichungen graphisch dar: Wenn wir beide Gleichungen je nach y auflösen,
erhalten wir zwei lineare Funktionen!. Die Graphen sind Geraden, die in diesem Falle
parallel sind, sich also nicht schneiden. Deshalb hat das System keine Lösung.
Das Gleichungssystem (c) hat unendlich viele Lösungen. Die beiden Geraden fallen zusammen, da beide Gleichungen äquivalent sind.
Die Lösungen sind gegeben durch: L = {(x|y) | y = 32 x − 13 , x beliebig}. Spezielle
Lösungen sind z.B. (x|y) = (−4| − 3), (−1| − 1), (2|1), (5|3), . . ..
Aufgabe:
1. Gib ein Gleichungssytem an, das
(a) keine Lösung,
(b) unendlich viele Lösungen hat.
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Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten
Ein Gleichungsystem von drei Gleichungen mit drei Unbekannten lässt sich lösen, indem das System mit einem der drei oben vorgestellten Verfahren (Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren) zu einem Gleichungssystem von
zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert wird. Die Lösung dieses Systems wird
alsdann zu einer Lösung des ganzen Systems ergänzt.
Eine geometrische Interpretation der Lösung ist ebenfalls möglich: Jede Gleichung repräsentiert eine Ebene im Raum. Die Koordinaten des Schnittpunkt der drei Ebenen
stellen die Lösung des Gleichungssystems dar.
Aufgaben:
1. Löse folgendes Gleichungssystem:
x−y
=6
−y + z = −4
x+z
=9
2. Löse folgendes Gleichungssystem:
5x − 4y + z
=8
3y − 2z
=2
2z = 11
3. Löse folgendes Gleichungssystem:
x + y + z = −2
−x + 2y + 3z
=6
2x − 4y + 2z = −6
4. In einer Kleinfamilie sind (am Geburtstag der Tochter) Vater, Mutter und Tochter
zusammen genau 100 Jahre alt. Fünf Jahren zuvor war der Vater neun mal so alt
wie seine Tochter. Bei der Geburt der Tochter war der Vater zehn Jahre älter als
die Mutter. Wie alt sind nun − in ganzen Zahlen − die drei Familienmitglieder?
5. Bei einem Dreieck ist der grösste Winkel 15o grösser als der zweitgrösste, der zweitgrösste ist 15o grösser als der kleinste Winkel. Berechne die drei Winkel.
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6. Bei einem Quader messen die Seitendiagonalen 7,8 und 9. Wie lang sind die Seiten?
7. Eine Bergbahn verlangt für Berg- und Talfahrt zusammen Fr. 30.-, für die Bergfahrt
allein Fr. 22.50 und für die Talfahrt allein Fr. 15.-. An einem Sonntag fuhren im
ganzen 680 Zahlende hinauf und 520 hinab. Es wurden Fr. 19650.- eingenommen.
Wie viele Billette jeder Art wurden gelöst?
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Die Cramer’sche Regel
Gabriel Cramer (vergleiche Seite 2, LU) hat für Gleichungssysteme von n Gleichungen
und n Unbekannten allgemeine Lösungsformeln gefunden.
Beispiel: n = 2:
Die Lösung von
ax + by = c
dx + ey = f
lautet:
ce − bf
af − cd
;
y=
,
falls ae − bd 6= 0
ae − bd
ae − bd
Die Bedingung ae − bd 6= 0 ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass das Gleichungssystem nur eine einzige
Lösung hat. Der Ausdruck ae − bd heisst auch Determinante
a b
der Martix
.
c d
a b = ae − bd
D = d e x=
n = 3:
ax + by + cz = d
ex + f y + gz = h
ix + jy + kz = l
Ist die Determinante
a b c
D = e f g
i j k
= af k + bgi + cej − if c − ebk − ajg
nicht gleich Null , dann lautet die Lösung des Gleichungssystems
ax + by + cz = d
ex + f y + gz = h
ix + jy + kz = l
x= bgl + chj + df k − bhk − cf l − dgj
=
af
k + bgi + cej − cf i − bek − agj
a b c e f g i j k d b c
h f g
l j k
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y=
z=
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a d c e h g i l k ahk + dgi + cel − chi − dek − alg
=
af
k + bgi + cej − cf i − bek − agj
a b c e f g i j k a b d e f h i j l af l + bhi + dej − df i − bel − ahj
=
af k + bgi + cej − cf i − bek − agj
a b c e f g i j k Solche Lösungsformeln sind insbesondere beim Einsatz von Computern bedeutsam. Computerprogramme zum Lösen von linearen Gleichungssystemen verwenden allerdings häufiger ein anderes Verfahren (Gauss Elimination), da bei den Cramer’schen Formeln das
Problem Determinante D = 0 sonst stets als Spezialfall behandelt werden muss.
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Ausblick: Computertomographie
Bei der Computertomographie (CT) wird für eine bestimmte Geweberegion (Parzelle)
des menschlichen Körpers berechnet, in welchem Masse diese Parzelle den sie durchquerenden Röntgenstrahl abschwächt. Aus dem Mass der Abschwächung kann der Gewebetyp bestimmt werden. Das Problem lautet, die Abschwächung der eingesetzten Strahlung für eine einzelne durchstrahlte Gewebeparzelle mit mathematischen Methoden aus
Messwerten zurückzurechnen, die sich nicht auf eine einzelne Parzelle beziehen, sondern
stets nur auf eine grosse Anzahl von Parzellen gleichzeitig, mithin auf eine Summe von
Abschwächungen.
Die Durchführung der Messungen
Eine Strahlenquelle sendet einen Röntgenstrahl aus. Er durchquert die gewählte Schicht
des Körpers und tritt wieder aus dem Körper aus. Nun trifft er auf einen Strahlenempfänger. Dieser Empfänger misst, wie stark der Röntgenstrahl jetzt noch ist.
In Wirklichkeit schickt der Apparat aber nicht nur einen Strahl, sondern eine ganze Reihe
von parallelen Strahlen aus. Er misst für jeden Strahl, wie stark er abgeschwächt wird
(siehe Bild).
Das genügt aber noch nicht! Es müssen noch mehr Messungen gemacht werden. Deshalb
wird der Apparat in kleinen Schritten gedreht. Jedesmal wird der Vorgang wiederholt:
Viele parallele Strahlen werden durch die Schicht gesendet und gemessen. So kommt
schliesslich eine sehr grosse Zahl von Messungen zustande.
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Jede Messung kann in eine lineare Gleichung übersetzt werden. Das auftretende Gleichungssystem kann eine sehr grosse Zahl von Unbekannten enthalten.
Aus der Lösung des Gleichungssystems kann schliesslich ein Bild der untersuchten Geweberegion gewonnen werden.
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Lösungen der Aufgaben in der Lernumgebung
Ein Rätsel in Gedichtsform
Das Gleichungssystem
x + y = 30
4x + 2y = 70
hat die Lösung x = 5, y = 25. Fünf Kröten und fünfundzwanzig Enten haben zusammen
dreissig Köpfe und siebzig Beine.
Durch zwei Punkte gibt es genau eine Gerade
Das Gleichungssystem
m+q = 2
6m + q = 8
hat die Lösung m =
6
5
= 1.2 und q =
4
5
= 0.8.
Der Graph der Funktionsgleichung f (x) = 1.2x + 0.8 geht durch die Punkte A(1|2) und
B(6|8).
Rechendreiecke
Beim Rechendreieck berechnen sich die drei gesuchten Zahlen x, y, z aus dem gegebenen
Zahlen a, b, c durch
x=
a−b+c
2
;
y=
a+b−c
2
;
z=
−a + b + c
2
Es wird später erklärt, wie die Lösungen gefunden werden können.
.
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Lösungen der Aufgaben im Arbeitsheft
Lösungen zu ”Lösungsverfahren für 2x2 Gleichungssysteme”
Lösungen zu ”Geometrische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen”
1.
x = 3 und y = 4
x = −1 und y = −2
x ≈ 1.077 und y ≈ −0.808
22
Lineare Gleichungssysteme
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x ≈ 0.972 und y ≈ −0.583
x = −1 und y = 2
2. Individuelle Lösungen
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23
Lineare Gleichungssysteme
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24
Lösungen zu ”Algebraische Lösung von 2x2-Gleichungssystemen”
Das Gleichsetzungsverfahren
Das Gleichungssystem
x + 5y = 13
2x + 6y = 18
ist gleichwertig zu
x + 5y = 13
x + 3y = 9
Auflösen der beiden Gleichungen nach x und Gleichsetzen liefert
13 − 5y = 9 − 3y
mit der Lösung y = 2. Eingesetzt in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen führt
zu x = 3.
Die Lösung des Gleichungssystems lautet also x = 3, y = 2.
Das Einsetzungsverfahren
4x − 3y = 11
6y + 28 = 2x
Die zweite Gleichung ist gleichwertig zu x = 3y + 14. Eingesetzt in die erste Gleichung
ergibt
4(3y + 14) − 3y = 11
und diese Gleichung hat die Lösung y = −5 und daraus erhält man x = 3y + 14 = −1.
Die Lösung des Gleichungssystems lautet x = −1, y = −5.
Das Additionsverfahren
4x − 3y = 1
5x + 6y = 50
Hier kann man die erste Gleichung mit 2 multiplizieren und danach die Gleichungen
addieren.
8x − 6y = 2
5x + 6y = 50
und daraus 13x = 52 oder x = 4. Einsetzen in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen
ergibt noch y = 5.
Das Gleichungssystem hat die Lösung x = 4, y = 5.
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25
Lösungen zu ”Grundaufgaben”
1.
(a)
x = 7, y = 9
(b)
x=
48
7
(c)
x=
181
38
(d)
x = 4, y = 1
≈ 6.857, y =
≈ 4.763, y =
144
7
45
19
≈ 20.571
≈ 2.368
2. Individuelle Lösungen
3. Zum Beispiel
x + y = 10
x − y = −4
Wer es sich noch einfacher machen will, nimmt
x = 3
y = 7
x = 3 ist dabei die ”Abkürzung” von 1 · x + 0 · y = 3.
4. Das Gleichungssystem
123x − 124y = 61
248x − 250y = 123
hat die Lösung x = 1, y = 0.5.
Das System
123.01x − 124y = 61
248x − 250y = 123
hat die Lösung x = −4, y ≈ −4.46.
Der Schnittpunkt der entsprechenden Geraden liegt beim ersten Gleichungssystem
im ersten Quadranten, beim zweiten, ganz leicht abgeänderten System aber im
dritten Quadraten.
Die Erklärung: Wenn man die beiden Gleichungen graphisch darstellt, merkt man,
dass die beiden entsprechenden Geraden fast zusammenfallen. So entsteht ein
”schleifender Schnitt”. Eine winzige Änderung der einen Funktionsgleichung bewirkt eine grosse Verschiebung des Geradenschnittpunktes.
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26
Lösungen zu ”Weitere Rätsel in Gedichtform”
1. Setze
x = Anzahl Gänse und
y = Anzahl Schweine.
Das Gleichungssystem lautet dann
2x + 4y = 70
y = x+4
mit der Lösung x = 9, y = 13.
Es gibt also 9 Gänse und 13 Schweine.
2. Setze
x = Anzahl Käfer und
y = Anzahl Spinnen.
Man muss wissen, dass Käfer sechs Beine, spinnen aber acht Beine haben.
Das Gleichungssystem lautet dann
y = 12
6x − 8y = 18
mit der Lösung x = 19, y = 12.
Es gibt also 19 Käfer und 12 Spinnen.
Bemerkung: Natürlich kann man diese Aufgabe auch mit nur einer einzigen Gleichung lösen.
3. Setze
x = Anzahl Katzen und
y = Anzahl Enten.
Das Gleichungssystem lautet dann
4x + 2y = 40
x + y = 18
mit der Lösung x = 2, y = 16.
Es gibt also 2 Katzen und 16 Enten.
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4. Setze
x = Anzahl Beine eines Tieres der ersten Art und
y = Anzahl Beine eines Tieres der zweiten Art.
Das Gleichungssystem lautet dann
20x − 10y = 0
x − y = ±4
Mit der Gleichung x − y = 4 gibt es negative Zahlen. Also muss es wohl x − y = −4
heissen. Die Lösung ist dann x = 4, y = 8.
Die Tiere der ersten Art haben je 4 Beine, die der zweiten Art je 8 Beine. Alle
Tiere zusammen haben 160 Beine.
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28
Lösungen zu ”Textaufgaben”
1. x: erste Zahl;
y: zweite Zahl
Gleichungssystem
Lösungen: x =
25
6 :
x+y = 5
x
= 5
y
; y = 65 . Die beiden Zahlen heissen
25
6
und 56 .
2. x: Anzahl Zähne 1. Zahnrad; y: Anzahl Zähne 2. Zahnrad.
Gleichungssystem
Lösungen: x = 28: ;
x
y
x+4
y+4
=
=
7
11
2
3
y = 44.
Das eine Zahnrad hat 28 Zähne, das andere 44 Zähne.
3. Das Gleichungssystem lautet:
x y
+
3 4
x y
+
6 7
=
=
1
5
1
8
9
9
Die Lösungen lauten: x = − 20
und y = 75 . Die beiden Zahlen lauten − 20
und 75 .
4. Sei α der Winkel an der Spitze und β einer der Basiswinkel.
Es gilt:
α + 2β = 1800
α = 2β
Die Lösung lautet: α = 900 und β = 450 .
Das Dreieck ist rechtwinklig gleichschenklig!
5. a sei die untere, b die obere Seite des Trapezes (gemessen in cm).
Es gilt:
a+c
· 8 = 96
2
a+6 = b
Die Lösung lautet: a = 9 cm und b = 15 cm.
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6. Wir bezeichnen mit x die Zehnerziffer, mit y die Einerziffer der Zahl.
Es gilt:
x = 2y
10x + y = 10y + x + 27
Die Lösung lautet: x = 6 und y = 3.
Die ursprüngliche Zahl heisst 63.
7. Wir bezeichnen mit x die Zehnerziffer, mit y die Einerziffer der Zahl.
Es gilt:
x + y = 15
x−y =3 =
Die Lösung lautet: x = 9 und y = 6. Die gesuchte Zahl ist 96.
8. Die erste Zahl sei x, die zweite Zahl sei y.
Es gilt:
x + y = 25
x−y = 7
Die Lösung lautet: x = 16 und y = 9. Die beiden Zahlen lauten 16 und 9.
9. Die erste Zahl sei x, die zweite Zahl sei y.
Es gilt:
4x − 3y = 18
3x + 10 = 14y
Die Lösung lautet: x = 6 und y = 2. Die beiden Zahlen lauten 6 und 2.
10. x: abfliessende Wassermenge bei A in Liter pro Stunde;
y: abfliessende Wassermenge bei B in Liter pro Stunde.
Gleichungssystem
2x + 1.5y = 120 · 50 · 12.8
1.5x + 2y = 120 · 50 · 12.05
Lösungen: x = 25800: ;
y = 16800.
Beim Abfluss A fliessen pro Minute 25800 Liter ab, bei Abfluss B 16800 Liter.
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Lösungen zu ”Anwendungen”
1. Wir setzen x = Anzahl Liter 5%ige Schwefelsäure, y = Anzahl Liter 40%ige
Schwefelsäure.
Das Gleichungssystem lautet dann
x + y = 10
0.05x + 0.4y = .2(x + y) = 2
Die Lösung lautet x ≈ 5.71, y ≈ 4.29.
Es müssen etwa 5.71 Liter der 5%igen Schwefelsäure mit 4.29 Liter der 40%igen
Schwefelsäure gemischt werden.
2. (a) Der Ansatz y = mx + q und Einsetzen der Wertepaare führt zum System
32 = q
212 = 100m + q
mit der Lösung m =, q = 32.
Die Funktionsgleichung der Umrechnung lautet y = 1.8x + 32. Dabei bedeutet
x die Temperatur in Grad Celsius, y die Temperatur in Grad Fahrenheit.
(b) 1.8 · 37 + 32 = 98.6. 37 Grad Celsius entsprechen 98.6 Grad Fahrenheit.
(c) 0 = 1.8x + 32 liefert x = −17.7. −17.7 Grad Fahrenheit entsprechen genau 0
Grad Celsius.
(d) Die Forderung x = y führt zu x = 1.8x + 32. Diese Gleichung hat die Lösung
x = y = −40. Die Temperatur −40 Grad wird in beiden Skalen gleich angegeben.
3. (a) Der Ansatz f (x) = mx + q führt zum Gleichungssystem
6 = 30m + q
1 = q
Die Lösung ist m = 16 , q = 1.
Die Funktionsgleichung lautet f (x) = 61 x + 1.
(b)
1
6
· 21 + 1 =
9
2
= 4.5 Für 21 Punkte gibt es die Note 4.5.
(c) 4 = 16 x + 1 hat die Lösung x = 18. Für 18 Punkte gibt es die Note 4.
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Lösungen zu ”Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen”
1. (a) Zum Beispiel
x+y = 4
x+y = 3
(b) Zum Beispiel
x+y = 3
2x + 2y = 6
31
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Lösungen zu ”Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten”
1. x =
19
2 ;
2. x =
119
30 ;
y = 27 ; z = − 12 .
y=
13
3 ;
z=
11
2 .
1
3
3. x = − 37
12 ; y = 3 ; z = 4 .
4. Wir setzen x = Alter des Vaters, y = Alter der Mutter, z = Alter der Tochter.
Das Gleichungssystem lautet dann
x + y + z = 100
x − 5 = 9(z − 5)
x − z − 10 = y − z
Die erste Gleichung spiegelt die Situation heute (am Geburtstag der Tochter) wieder. Die zweite Gleichung stellt die Situation vor 5 Jahren dar und die dritte Gleichung bezieht sich auf den Zeitpunkt der Geburt der Tochter (der Vater war damals
x − z Jahre alt).
Die Lösung des Gleichungssystems lautet x = 50, y = 40, z = 10.
Der Vater ist 50 Jahre alt, die Mutter 40 Jahre und die Tochter 10 Jahre.
Bemerkung: Der Altersunterschied von 10 Jahren zwischen Vater und Mutter ist
natürlich immer gleich. Man kann in der dritten Gleichung z einfach weglassen und
die Gleichung x − 10 = y nehmen.
5. Winkel α < β < γ.
Gleichungssystem
γ − 15 = β
β − 15 = α
α + β + γ = 180
Lösung: α = 45o , β = 60o , γ = 75o .
6. Wir bezeichnen mit l, b und h die Länge, Breite resp. Höhe des Quaders.
Es gilt:
l2 + b2 = 92 = 81
l2 + h2 = 82 = 64
b2 + h2 = 72 = 49
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33
Subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten, bekommen wir
b2 − h2 = 81 − 64 = 17
Addieren wir dazu die zweite Gleichung, bekommen wir 2b2 = 17 + 49 = 66 und
daraus b2 = 33. Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen liefert h2 = 16 und
l2 = 48.
√
√
√
Daraus ergibt sich l = 48, b = 33 und h = 16 = 4.
7. x: Anzahl Berg- und Talfahrten; y: Anzahl Bergfahrten (allein); z: Anzahl Talfahrten (allein).
30x + 22.5y + 15z = 19650
x + y = 680
x + z = 520
Lösung: x = 460, y = 220 und z = 60.
Es wurden folgende Billete verkauft:
460 Berg- und Talfahrten; 220 Bergfahrten (allein) und 60 Talfahrten (allein).
Lineare Gleichungssysteme
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34
Kommentare
Das vorliegende Unterrichtsmaterial umfasst zwei Seiten Lernumgebung und 19 Seiten
Arbeitsheft.
Das Thema ”Lineare Gleichungssysteme” kann sowohl im Klassenverband wie auch im
Selbststudium bearbeitet werden.
Wichtiger Hinweis: Es ist nicht die Meinung, das vorliegende Unterrichtsmaterial
vollständig und in der angegebenen Reihenfolge durchzuarbeiten. Vielmehr ist eine sinnvolle Auswahl aus den vorgegebenen Kapiteln zu treffen.
Kommentare zur Lernumgebung
Die Lernumgebung stellt typische Beispiele vor, bei denen lineare Gleichungssysteme vorkommen: Ein Rätsel, eine Anwendung Im Zusammenhang mit linearen Funktionen, eine
Aufgabe zu Rechendreiecken, einem Aufgabenformat, dass sich durch alle Zahlenbücher
zieht und auch im mathbu.ch immer wieder vorkommt.
Abschliessend werden drei Mathematiker vorgestellt, die sich im Zusammenhang mit
linearen Gleichungssystemen verdient gemacht haben.
Kommentare zum Arbeitsheft
Lösungsverfahren für 2x2 Gleichungssysteme
Geometrische Interpretation von 2x2-Gleichungssystemem
Eine lineare Gleichung in x und y stellt eine Gerade dar. Bei zwei solchen Gleichungen
ist der Schnittpunkt der Geraden (resp.dessen Koordinaten) die Lösung des Gleichungssystems.
Algebraische Verfahren: Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren
Hier werden algebraische Lösungsverfahren erklärt. Mindestziel ist das sichere Beherrschen mindestens eines der Verfahren. Das Additionsverfahren hat den Vorteil, dass
Brüche erst ganz am Schluss des Lösungsprozesses auftreten. Das vermindert die Gefahr von Fehlers doch oft erheblich.
Grundaufgaben
Wir gehen davon aus, dass das Lösen von 2x2-Gleichungssystemen von allen Schülerinnen
und Schülern sicher beherrscht werden sollte, bei ganzzahligen Koeffizienten auch ohne
Taschenrechner.
Es gibt unzählige abwechslungsreiche Übungsformen: Die Sch erfinden selber Aufgaben,
die Sch stellen sich gegenseitig Aufgaben. Auch Umkehraufgaben (”Finde ein Gleichungssystem mit vorgegebenen Lösungen”) sind wichtig.
Lineare Gleichungssysteme
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Weitere Rätsel in Gedichtform
Diese Rätsel können, zusammen mit dem Beispiel in der Lernumgebung, auch als Einstieg
ins Thema verwendet werden. Die Lösungen der Rätsel können auch ohne Kenntnis der
allgemeinen Lösungsverfahren gefunden und später algebraisch überprüft werden.
Textaufgaben
In praktisch allen Schulbüchern finden sich unzählige weitere Aufgaben.
Anwendungen
In diesem kurzen Kapitel sind drei Anwendungen aufgeführt. Es geht bei einer Aufgabe
um Mischungsrechnung, bei den beiden andern Aufgaben um lineare Funktionen. In
beiden Zusammenhängen tauchen lineare Gleichungssysteme auf.
Gleichungssysteme, die keine eindeutige Lösung besitzen
Die Tatsache, das lineare Gleichungssysteme nicht in jedem Fall eine eindeutige Lösung
haben, lässt sich geometrisch deuten. Bei 2x2-Gleichungssystemen stellen die beiden Gleichungen Geraden in der Ebene dar. Sind die beiden Geraden parallel, dann gibt es offensichtlich keinen Schnittpunkt und daher auch keine Lösung für das System. Fallen die
beiden Geraden zusammen, dann gibt es unendlich vielen Lösungen.
Analaoge Aussagen gelten für 3x3-Gleichungssysteme: Jede Gleichung lässt sich als Ebene
im Raum deuten. Im allgemeinen Fall schneiden sich die drei Ebenen in einem Punkt,
dessen Koordinaten wieder die Lösung des Gleichungssystems angeben. Bei speziellen
Lagen dieser Ebenen (parallel, zusammenfallend) sind aber auch unendlich viele oder
gar keine Lösungen möglich.
Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Unbekannten
Das Problem der Rechendreiecke, wie sie in allen Zahlenbüchern und auch im mathbu.ch
vorkommen, lässt sich natürlich mittels eines 3x3-Gleichungssystems beschreiben und
lösen (siehe LU).
Daneben gibt es unzählige weitere Aufgaben, die sich in ein System mit mehreren Unbekannten und ebenso vielen Gleichungen übersetzen lassen.
Die Cramer’sche Regel
In diesem Kapitel werden die Cramer’schen Regeln erläutert, da sie doch für den Computereinsatz eine gewisse Bedeutung haben. Will man z.B. für das Lösen von Gleichungssystemen Excel einsetzen, wird man sicher die Ausdrücke, die Cramer gefunden hat, als
Formeln eingeben.
Wer will kann die Richtigkeit der Formeln mit Einsetzen beweisen.
In diesem Kapitel gibt es keine Aufgaben.
Ausblick: Computertomographie
Als Abschluss wird auf eine wichtige Anwendung von Gleichungssystemen eingegangen.
Um mit Tomographie ein Bild des Inneren des menschlichen Körpers zu erzeugen, müssen
Lineare Gleichungssysteme
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36
in der Regel riesige lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Mit dem Eliminationsverfahren von Gauss können solche Systeme mit elektronischen Hilfsmitteln gelöst werden.
In diesem Kapitel gibt es keine Aufgaben.
Weitere Ideen:
Mit lernstärkeren Schülerinnen und Schülern können Gleichungssysteme behandelt werden, bei denen die Zahl der Gleichungen nicht übereinstimmt mit der Zahl der Unbekannten. Weiter können diophantische Gleichungssysteme studiert werden. Bei einer
diophantischen Gleichung (benannt nach dem griechischen Mathematiker Diophant von
Alexandrien, um 200-280 n. Chr. ) interessiert man sich nur für ganzzahlige Lösungen.
Beispiel für ein diophantisches Gleichungssystem von Adam Ries: ”Item, einer hat 100
Gulden. dafür will er 100 Haupt Vihes kauffen / nemlich / Ochsen / Schwein / Kälber /
und Geissen / Kost ein Ochs 4 Gulden. ein Schwein anderthalb Gulden. ein Kalb einen
halben Gulden. und ein Geiss ein ort [d.h. ein Viertel - die Autoren] von einem Gulden.
wie viel sol er jeglicher haben für die 100 Gulden?”
Eine weitere Möglichkeit sind lineare Ungleichungssysteme oder das für realistische Anwendungen wichtige Gebiet der Linearen Programmierung (siehe auch ”Lineare Optimierung”).
Weitere Quellen
Wie für das Thema ”Quadratische Gleichungen” gibt es auch für ”Lineare Gleichungssysteme” ein Leitprogramm der ETH Zr̈ich.
http://www.educ.ethz.ch/lehrpersonen/mathematik/
(Abruf: 5.8.2008)
Dann Link ”Unterrichtsmaterialien” unter ”Arithmetik und Algebra”
Dana Bulaty und Hans Rudolf Schneebeli haben im Jahre 1995 Aufgaben zu linearen
Gleichungssystemen zusammengestellt, die besonders den Einsatz eines Computeralgebrasystems (CAS) berücksichtigen. Dazu gibt es einen 10-seitigen Kommentar für Lehrpersonen.
Link: http://www.swisseduc.ch/mathematik/ (Abruf: 5.8.2008)