Loesungsblatt 10

Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Grundzüge der Mikroökonomie BA
SS 2010
Tutoriumsaufgaben
Übungsblatt 10
Aufgabe 10.1
Ein Monopolist sieht sich einer Nachfragefunktion von P = 100 – Q gegenüber. Seine
Grenzkosten betragen MC = 40.
(a) Bestimmen Sie die Grenzerlöskurve, den gewinnmaximalen Output, den
gewinnmaximalen Preis, und Preiselastizität der Nachfrage beim gewinnmaximalen
Preis.
Die Erlöse sind R = P(Q) * P = 100 * Q − Q 2 .
Die Grenzerlöskurve ist demnach gegeben durch
MR =
∂R
= 100 * −2Q
∂Q
Die gewinnmaximale Menge ist gegeben durch MC = MR.
100 – 2 Q = 40 erfordert Q = 30. Der Gewinnmaximale Preis ist 70.
Wegen MR = P +
P
1
MC − p
. Für P=70 und MC=40 folgt
= MC folgt
=
Ed
Ed
P
1/Ed = (40-70)/70 = - 0,4285 D.h. Ed=-1/0,4285 = - 2,33
(Alternative Berechnung: Ed =
∂Q P *
70
= −1 = −2,33 )
*
∂P Q
30
(b) Illustrieren Sie den Wohlsfahrtsverlust durch die Monopolpreissetzung.
c) Der Regulator setzt die Preisobergrenze für den Monopolisten bei P=42 fest.
Zeichnen Sie die neue Nachfragekurve, welche sich für den Monopolisten aus der
Preisobergrenze ergibt. Tragen sie zusätzlich die Grenzkostenkurve in die Graphik
ein. Was ist der gewinnmaximale Preis, was ist die gewinnmaximale Menge?
Die Nachfragekurve des Monopolisten ist
P>42 ist unzulässig
Für P=42 ist die Nachfrage des Monopolisten Q = 58
Für P<42 ist die Nachfrage P = 100 – Q
Die Grenzerlöskurve ist
MR = 42 für Q≤58
MR = 100 – 2 Q für Q > 58.
Im ersten Bereich ist der Preis für den Monopolisten ein Datum (wie bei
vollkommener Konkurrenz). Der Grenzerlös ist damit eine Gerade parallel zur xAchse mit dem y-Achsen-Abschnitt P = 42.
Sobald der Monopolist einen Preis unterhalb dieser Obergrenze von P = 42 setzt, fällt
die Grenzkostenkurve des regulierten Monopolisten mit der des unregulierten
zusammen. D.h. ab P<42 bzw. Q>58 gilt MR = 100 – 2*Q.
An der Stelle Q=58 und P=42 und damit direkt am Übergang zwischen den beiden
Bereichen ergibt sich somit ein Grenzerlös von MR=100 - 2*58 = -16.
Entsprechend ist die Grenzerlöskurve unstetig: im Punkt P=42, Q=58 fällt der
Grenzerlös von 42 auf -16 (rote Kurve). Somit liegt der optimale Menge bei Q* = 58
und der optimale Preis bei P * = 42.
Hinweis: In diesem Fall wäre es falsch, die Grenzerlöskurve im Punkt P=42, Q=58
beginnen zu lassen. Schließlich setzt der Monopolist bei einem Preis von 42 bereits 58
Einheiten um. Es wäre sicher nicht optimal, den Preis von 58 Einheiten zu verringern
um nur eine Einheit mehr zu verkaufen.
Aufgabe 10.2
Die Nachfragekurve für das Gut x ist gegeben durch P = 100 – x.
Es befinden sich nur zwei Firmen, i=A,B, im Markt. Die Gesamtangebotsmenge des
homogenen Guts x beträgt x = xA + xB. Die Firmen vereinbaren zu kooperieren. Ihr
Ziel ist dabei die Maximierung des gemeinsam erwirtschafteten Gewinns: Wie dieser
aufgeteilt wird, wird hier nicht untersucht.
Jede einzelne Firma kann den Output xi entsprechend der Kostenfunktion C = ½( xi)2
herstellen.
a) Stellen Sie die Gewinnfunktion des Kartells auf.
Gemäß der Vorgehensweise in der Vorlesung lautet das Optimierungsproblem:
π = P( x)( x A + x B ) − C A ( x A ) − C B ( x B ); x = x A + x B
Setzen wir P(x) = 100 – (xA+xB) ein, erhalten wir
1
2
1
2
π = 100 * ( x A + x B ) − ( x A + x B ) 2 − ( x A ) 2 − ( x B ) 2
b) Wie lautet die Bedingung für eine kostenminimale Produktion der gemeinsam
angebotenen Outputmenge x?
Korrekte Anwendung der Kettenregel ergibt:
∂π
= 100 − 2( x A + x B ) − x A = 0
∂x A
∂π
= 100 − 2( x A + x B ) − x B = 0
∂x B
Optimale Produktion erfordert demnach, dass x A = xB.
Alternativer Weg: Dieses Ergebnis erhält man auch, wenn man das
Kostenminierungsproblem
min C =
ℑ=
1 2 1 2
x A + x B u.d.Nb. x A + x B = x aufstellt.
2
2
1 2 1 2
x A + xB + λ ( x − x A − x B )
2
2
∂ℑ
= xA − λ = 0
∂x A
∂ℑ
= xB − λ = 0
∂x B
∂ℑ
= x − x A − xB = 0
∂λ
xB = x A
c) Ermitteln Sie die Kostenfunktion für die gemeinsam produzierte Menge x unter der
Annahme, dass die gemeinsame Outputmenge kostenoptimal angeboten wird.
(Vorsicht: Die gemeinsame Kostenfunktion unterscheidet sich von der Kostenfunktion
einer einzelnen Unternehmung). Was sind die Grenzkosten von x?
Kostenminimale Produktion erfordert, dass die Gesamtmenge x zu gleichen Teilen von
A und B gefertigt wird, d.h. xA=x/2 und xB = x/2.
Die Kosten die für eine Menge von x anfallen sind demnach
C ( x) =
1 x 2 1 x 2
x
1
( ) + ( ) = ( )2 = x2
2 2
2 2
2
4
Die Grenzkosten von x sind demnach MC = x/2.
d) Ermitteln Sie die Outputmenge, welche den gemeinsamen Gewinn maximiert.
Verwenden Sie die Aufteilungsregel xA=xB=x/2 aus der ersten Optimalitätsbedingung.
∂π
x
= 100 − 2( x A + x B ) − x A = 100 − 2 x − = 0
∂x A
2
daraus erhalten Sie 100 = 2,5 x oder x* = 40.
Alternativer Weg.
Wenn Sie die Kostenfunktion C(x)=(1/4) x2 gefunden haben, können Sie das Problem
aufstellen:
Max П = x*P(x) – C(x).
Daraus erhalten Sie die Optimalitätsbedingung MR(x) = MC(x).
Mit den Zahlen der Aufgabe ergibt sich dann MR(x) = 100 – 2x und MC(x) = x/2.
Daher ist 100 = 2,5 x oder x* = 40.