Wahrscheinlichkeitsrechnung
eine Einführung
Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827)
Französischer Mathematiker und
Astronom. Er war einer der wichtigsten
Mathematiker seiner Zeit. Seine Schriften
umfassen Studien zur Kosmogonie,
Schwingungs- und Wärmelehre,
Himmelsmechanik und
Wahrscheinlichkeitstheorie.
Carl Friedrich Gauß (1777-1855) zählt zu den
bedeutendsten Mathematikern und
herausragendsten Naturforschern der
Geschichte. Kaum ein Zweig der Mathematik
oder der mathematischen Physik blieb von
Gauß unberührt. Umfangreich waren auch
seine Arbeiten auf dem Gebiet der Astronomie.
Leitidee Zufall
Ergebnisse und Ereignisse
1
2
3
4
5
1
2
1
6
3
1
2
Beispiel
Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit
eine gerade Zahl zu
ziehen?
Wir betrachten
mehrere Ergebnisse.
Mehrere Ergebnisse
bilden ein Ereignis.
Leitidee Zufall
Ergebnisse und Ereignisse
1
2
3
4
5
1
2
1
6
3
1
2
Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für
das Ereignis „gerade
Zahl“?
günstige F/ mögliche F = 5/12
Wahrscheinlichkeiten
für
Ergebnis 2:
Ergebnis 4:
Ergebnis 6:
3/12
1/12
1/12
Summenregel
Die Wahrscheinlichkeit für ein
Ereignis ist die Summe der
Wahrscheinlichkeiten der
Ergebnisse, die das Ereignis bilden.
(Voraussetzung: Einander
ausschließende Ereignisse!)
Leitidee Zufall
Ergebnis: Ausgang eines Zufallsversuchs
Ein Ereignis setzt sich aus mehreren Ergebnissen zusammen.
Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet sich
aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse.
(Voraussetzung: Einander ausschließende Ereignisse!)
Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1.
Das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0 .
Alle ungünstigen Ergebnisse bilden das Gegenereignis.
Ist p die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, so ist die
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (1- p).
Leitidee Zufall
Bestimmen Sie die
Wahrscheinlichkeiten für folgende
Ereignisse:
Die gewürfelte Zahl ist
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
gerade
ungerade
eine Primzahl
eine Quadratzahl
kleiner als 5
größer als 2 und kleiner als 5
kleiner als 7
größer als 6
0,5
0,5
0,5
0,333…
0,666…
0,333…
1
0
Leitidee Zufall
Einstufige Zufallsversuche
Zufallsgeräte, Zufallsversuch, Ergebnisse, relative Häufigkeit,
Wahrscheinlichkeit, Ereignis, Summenregel, sicheres Ereignis,
unmögliches Ereignis, Gegenereignis
Zufallsgeräte
Auftrag:
Werft eine Münze 50 mal und notiert
jeweils die Anzahl für „Kopf“ bzw. für
„Zahl“!
Vergleicht die Ergebnisse untereinander!
Was fällt auf?
Was kann man über das Ergebnis des 51.
Wurfes aussagen?
Welche „Erwartungshaltung“ hat man?
An einer Straßenkreuzung werden die Farben der
vorüberfahrenden Autos notiert. Man erhält für
(r)ot, (g)rün, (b)lau, (s)chwarz, (w)eiß, (si)lber:
b, s, si, w, w, b, r, g, w, w, si, w, r, b, g, si, w, g, si, w, b, s, s,
w, si, r, b, s, si, g, w, si, r, si, w, b, r, g, si, w.
Stellt eine Häufigkeitstabelle auf! Was fällt auf?
Ist das 41. Auto ein silberfarbenes?
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Bei vielen Zufallsversuchen (Ziehen einer Kugel aus einem Behälter, Werfen
eines Würfels, …) lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der möglichen
Ergebnisse durch
- die Annahme gleicher Chancen (bedingt z. B. durch die Symmetrie
der Zufallsgeräte) für die möglichen Ergebnisse
bestimmen.
Wie groß ist aber die Wahrscheinlichkeit mit dem Reißnagel
„Seite“ zu werfen?
Hier müssen Sie ein Experiment durchführen.
Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Relative Häufigkeit
... Anzahl „Bauchlage“ / Anzahl der Würfe
Anzahl der Würfe
Anzahl "Bauchlage"
relative Häufigkeit
"Bauchlage"
5
10
15
20
25
30
40
60
80
100
120
140
160
180
200
2
6
10
15
18
21
25
40
53
65
75
87
100
110
125
0,4
0,6
0,67
0,75
0,72
0,7
0,625
0,67
0,66
0,65
0,625
0,621
0,625
0,611
0,625
Leitidee Zufall – Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Das Experiment mit dem Reißnagel legt für die Definition der
Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses folgende Definition nahe:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
=
relative Häufigkeit des Ergebnisses (bei „unendlich“ vielen Versuchen)
-----------------------------------------------------------------------------------------------Die Definition
Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle
führt mit der Annahme der Gleichwahrscheinlichkeiten zum gleichen Ergebnis.
Das Wetter in Phantasia verhält sich während eines Monats (30 Tage) folgend:
schön
leicht bewölkt stark bewölkt bedeckt
7 Tage 2 Tage
8 Tage
9 Tage
Regen
4 Tage
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem zufällig
ausgewählten Tag
a) regnet?
b) bedeckt oder bewölkt ist?
c) im ungünstigsten Fall stark bewölkt ist?
d) möglich ist, zu baden?
a) P(es regnet) = 4/ 30 = 2/15 = 0,133
b) P(bedeckt oder bewölkt) = 19/30 = 0,633
c)P(schlechtestens stark bewölkt) =
P(schön) + P(leicht bewölkt) + P(stark bewölkt) = 17/30 = 0,566
d) P(man kann baden) : keine eindeutige Antwort möglich (subjektiv!!)
Wenn ein New Yorker wegen einer Bissverletzung behandelt wird, stammt
diese in 9/10 aller Fälle von einem Hund, in 1/20 von einer Katze, in 1/25 von
einem Menschen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bissverletzung
a) weder von einem Hund noch von einer Katze stammt?
b) von keinem Hund stammt?
c) von keinem Tier stammt?
Annahme: Ereignisse schließen einander aus (disjunkt):
a) P(weder von einem Hund noch von einer Katze) = 1 – 19 / 20 = 1 / 20
b) P(von keinem Hund stammt) = 1 / 10
c) P(von keinem Tier stammt) = problematisch, da vorgegebene Kategorien
nur 99% der Fälle abdecken!
Wenn die Ereigniskategorien einander ausschließend (disjunkt) sind, ist die
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stark vereinfacht.
Wie soll man aber vorgehen, wenn dies nicht der Fall ist?
Jede dritte Familie aus Deutschland verbrachte ihren letzten Sommerurlaub in
Österreich, jede zehnte in der Schweiz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
eine zufällig ausgewählte deutsche Familie ihren Sommerurlaub entweder in
Österreich oder in der Schweiz (oder in beiden Ländern) verbracht hat?
Unter der Annahme, dass Mehrfachantworten möglich sind, lässt sich diese
Frage nicht genau beantworten.
Es gilt jedenfalls: P(Urlaub in Österreich) = 1/3, P(Urlaub in der Schweiz) = 0,1.
Kennt man den Anteil jener Personen, die ihren Sommerurlaub sowohl in
Österreich als auch in der Schweiz verbracht haben (z. B. 3%), so gilt:
P(Urlaub in Österreich  Urlaub in der Schweiz) =
P(Urlaub in Österreich) + P(Urlaub in der Schweiz) - P(Urlaub in Österreich 
Urlaub in der Schweiz) = 1/3 + 0,1 - 0,03 = 0,403.
Zusammenfassend kann man folgende Regel für einander nicht
ausschließende Ereignisse E1 und E2 formulieren:
P(E1  E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1  E2).
Haus
Auto
kein Haus Summe
0,1
0,5
0,6
kein Auto
Summe
0,1
0,2
0,3
0,8
0,4
1
Mehrstufige Zufallsauswahl:
Unter den 10 Kandidaten für eine Fernsehshow (darunter 7 Frauen) sollen
zwei Einkaufsgutscheine zu je 1000.-€ verlost werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) beide Gutscheine an Frauen gehen?
b) beide Gutscheine an Männer gehen?
c) wenigstens ein Gutschein an einen Mann geht?
Wir beginnen mit der Auswahl der ersten Person. Die Wahrscheinlichkeit, dass
es sich dabei um eine Frau handelt, ist P(E1) = 7/10. bei der Auswahl der weiten
Person kann man nun von unterschiedlichen Annahmen ausgehen. Scheidet die
Gewinnerin des ersten Gutscheins für die zweite Ziehung aus, beträgt die
Wahrscheinlichkeit, bei der zweiten Ziehung ebenfalls eine Frau zu erhalten,
nur noch P(E2E1) = 6/9, da eine veränderte Grundgesamtheit vorliegt. P(E2E1)
bedeutet dabei die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E2 unter der
Bedingung von E1. Das Ergebnis der zweiten Ziehung ist abhängig vom
Ergebnis der ersten Ziehung.
Lösung zu b) P(M1 M2) = P(M1)  P(M2M1) =3/10  2/9 = 1/15.
Lösung zu c) P(1 Gutschein  2 Gutscheine an Männer) = P(1
Gutschein) + P(2 Gutscheine)=
P(M, F) + P(F, M) + P(M, M) = 3/10  7/9 + 3/10  7/9 + 3/10  2/9 = 8/15.
Bankräuber auf der Flucht mit
P(Flucht) = 0,2
Leitidee Zufall
Zweistufige Zufallsversuche
Zweistufige Zufallsversuche,
Baumdiagramm, Pfadregel
Gesucht sind die
Wahrscheinlichkeiten, gefaßt zu
werden.
g=gefaßt
0,8
f=Flucht geglückt
0,2
f
g
P(gg) = 0,8 * 0,8 = 0,64
P(gf) = 0,8 * 0,2 = 0,16
0,8
0,2
0,8
0,2
P(fg) = 0,8 * 0,2 = 0,16
P(ff) = 0,2 * 0,2 = 0,04
gg
gf
fg
ff
Leitidee Zufall
Produktregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm erhält man,
indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.
Leitidee Zufall
Ein Auto ist durch (Z)ündschloss, (W)egfahrsperre
und (A)larmanlage gesichert. Diese versagen mit
folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P(Z versagt) = 0,01
P(W versagt) = 0,003
P(A versagt) = 0,008
Zv
Z
Wv
Wv
W
A
Av
A
W
Av
A
Av
A
Av
P(Z,W,Av) = 0,99*0,997*0,008 = 0,007896
P(Z,Wv,A) = 0,99*0,003*0,992 = 0,002946
P(Zv,W,A) = 0,01*0,997*0,992 = 0,00989
P(genau 1 Anlage versagt) = 0,007896+0,002946+0,00989 = 0,02073
P(mindestens 1 Anlage versagt) = 1-P(keine versagt) = 1 - 0,99*0,997*0,992=0,02087
Die Tabelle zeigt die einzelnen Ereignisse und ihre
Wahrscheinlichkeiten:
P(Z,W,A)=
0,97913376
P(Z,W,Av)=
0,00789624
P(Z,Wv,A)=
0,00294624
P(Z,Wv,Av)=
0,00002376
P(Zv,W,A)=
0,00989024
P(Zv,W,Av)=
0,00007976
P(Zv,Wv,A)=
0,00002976
P(Zv,Wv,Av)=
0,00000024
Summe
1
Beachte, dass es egal ist, mit welcher „Anlage“
man die Tabelle (das Baumdiagramm) beginnt!
In einer Stadt befinden sich 3 Verkehrsampeln mit
unterschiedlich langen Grünphasen.
(Angaben in Sekunden)
Ein Fahrzeug trifft zufällig bei der Kreuzung A ein und will in
Richtung B und C weiterfahren. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass
rot
grün
A 20
40
B 30
30
C 40
30
a) alle Ampeln grün sind? [ 1/7 ]
b) die erste Ampel rot, die zweite grün, die
dritte rot ist? [ 2/21]
c) überall rot ist? [ 2/21]
d) Sind die Ereignisse unabhängig bzw.
welche Annahmen müsste man dafür treffen?
Das Wetter in Statistic City verhält sich etwas eigenartig:
Ist es heute schön, so ist es auch am darauffolgenden Tag mit p=1/3 schön.
Ist es heute schlecht, so ist es auch am darauffolgenden Tag mit p=3/4 schlecht.
Es ist offensichtlich, dass die Wetterlage „morgen“ von jener „heute“ abhängt,
die Ereignisse „schön“ und „schlecht“ daher nicht unabhängig sind.
Beispielsweise ist P(morgen schön | heute schlecht) = 1 / 4 und
P(morgen schlecht | heute schön) = 2 / 3.
Aufgabenstellung:
Man weiß, dass es heute in Statistic City schön ist. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass es
a) übermorgen schön ist?
b) übermorgen schlecht ist?
c) an den folgenden 3 Tagen schön ist?
Lösung zu a)
P(übermorgen schön | heute schön) =
P(morgen schön und übermorgen schön | heute schön) +
P(morgen schlecht und übermorgen schön | heute schön) =
1 /3 * 1 / 3 + 2 / 3 * 1 / 4 = 1 / 9 + 1 / 6 = 5 / 18 = 0,28
Lösung zu b)
P(übermorgen schlecht | heute schön) =
P(morgen schön und übermorgen schlecht | heute schön) +
P(morgen schlecht und übermorgen schlecht | heute schön) =
1 /3 * 2 / 3 + 2 / 3 * 3 / 4 = 2 / 9 + 1 / 2 = 13 / 18 = 0,72
Es gilt natürlich: P bei a) ist die Gegenwahrscheinlichkeit von P bei b)
Experiment
Versucht, aus dem Gedächtnis einen 120 fachen Münzwurf zu simulieren:
Das heißt: Schreibt (ohne Nachzudenken!) 120 mögliche Ergebnisse (K)opf
bzw. (Z)ahl in einer Reihe an!
Wertet das Ergebnis nach der Häufigkeit von „Kopf“ bzw. „Zahl“ aus!
Was fällt dabei auf?
Zählt ab, wie oft die Wurffolge „KKK“ vorkommt!
Zählt ab, wie oft die Wurffolge „ZZZ“ vorkommt!
Gibt es dafür eine Erklärung?!
Was sagt ihr zu:
KKZZKZKZZZKKZZK
KZZKZZKZZKZKZZK
KKZKKKKKZKZZKKZ
KKZZKZZKKZKZZKK
Leitidee Zufall
Die Todesstrafe in
Zelophanien
Wer in Zelophanien zum Tode
verurteilt wird, erhält eine letzte
Chance.
Mit verbundenen Augen darf er
einen der drei Behälter wählen und
aus diesem Behälter eine Kugel
ziehen.
Eine weiße Kugel rettet sein Leben.
Wie groß sind die
Überlebenschancen?
P(L) = 1/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*1/2 = 2/3
= 67%
Leitidee Zufall
Hölzchen
ziehen
Leitidee Zufall
Hölzchen
Ziehen
Lösung
Ergebnisse und Ereignisse
Jemand bietet dir ein Würfelspiel an.
Dazu sollen zwei Würfel gleichzeitig geworfen
und die Augensumme gezählt werden.
Du darfst dir vorher aussuchen, ob du mit der
Augensumme 5, 6, 7, 8 oder
mit allen anderen Augensummen
gewinnen möchtest.
Begründe deine Wahl.
1, 1
2, 1
3, 1
4, 1
5, 1
6, 1
1, 2
2, 2
3, 2
4, 2
5, 2
6, 2
1, 3
2, 3
3, 3
4, 3
5, 3
6, 3
1, 4
2, 4
3, 4
4, 4
5, 4
6, 4
1, 5
2, 5
3, 5
4, 5
5, 5
6, 5
1, 6
2, 6
3, 6
4, 6
5, 6
6, 6
1, 1
2, 1
3, 1
4, 1
5, 1
6, 1
1, 2
2, 2
3, 2
4, 2
5, 2
6, 2
1, 3
2, 3
3, 3
4, 3
5, 3
6, 3
1, 4
2, 4
3, 4
4, 4
5, 4
6, 4
1, 5
2, 5
3, 5
4, 5
5, 5
6, 5
1, 6
2, 6
3, 6
4, 6
5, 6
6, 6
Augensumme 2:
1,1
Augensumme 3
1,2
2,1
Augensumme 4
1,3
2,2
3,1
Augensumme 5
1,4
2,3
3,2
4,1
Augensumme 6
1,5
2,4
3,3
4,2
5,1
Augensumme 7
1,6
2,5
3,4
4,3
5,2
Augensumme 8
2,6 3,5
4,4
5,3
6,2
Augensumme 9
3,6
4,5
5,4
6,3
Augensumme 10
4,6
5,5
6,4
Augensumme 11
5,6
6,5
Augensumme 12
6,6
6,1
Leitidee Zufall
Aufgabe 1
Leitidee Zufall
Aufgabe 1
Lösung
Leitidee Zufall
Aufgabe 2
Leitidee Zufall
Aufgabe 2
Lösung
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät
In einer Schale befinden sich vier
verschiedenfarbige Kugeln.
Sie werden zu einer Kette aufgezogen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
(Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen)
4*3*2*1 = 4! = 24
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät
Wie viele verschiedene
Zahlen lassen sich aus den
Ziffern 1, 2, 4, 6, 8 bilden?
5! = 5*4*3*2*1 = 120
Werden n Objekte der Reihe nach angeordnet,
so hat man n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 Möglichkeiten
dies zu tun.
Es gibt n! Permutationen.
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät,
Permutationen
Aufgabe 8
Leitidee Zufall
Kombinatorik
Produktregel, Fakultät,
Permutationen
Aufgabe 8
Lösung
Stichwort Vokabeltest (vielleicht Latein??)
Ein „eifriger“ Schüler lernt etwa 30% aller Vokabel.
Beim Test werden 10 Vokabel zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten:
P(er kann alle) =
0,3^10=0,0000059
P(er kann höchstens 1 nicht) =
0,3^10 + 10*0,7*0,3^9=0,0001437
P(er kann nur genau 2) =
45*0,3^2*0,7^8=0,2335
P(er kann überhaupt keines)=
0,7^10=0,02825
P(er kann mehr als die Hälfte)= P(kann 6) + P(kann 7) + … +P(kann alle)=
0,03675 + 0,009 + 0,0014 + 0,00014 +
0,0000059 = 0,04735
Erfahrungsgemäß ist nach 22 Uhr ein Drittel aller Autofahrer
alkoholisiert unterwegs, 10% von ihnen haben obendrein keinen
Führerschein. Insgesamt liegt der Anteil der Autofahrer ohne
Führerschein bei etwa 5%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
ein zufällig ausgewählter Autofahrer
a) alkoholisiert und ohne Führerschein unterwegs ist? [0,03]
b) nüchtern, aber ohne Führerschein fährt? [0,0166]
c) korrekt (d.h. mit Führerschein und nüchtern) unterwegs ist? [0,65]
mit Führerschein
ohne Führerschein
Summe
alkoholisiert
0,3000
0,0333
0,3333
Nicht alkoholisiert
0,6500
0,0167
0,6667
Summe
0,9500
0,0500
1,0000
Fortsetzung:
Ein Polizist hält zwischen 23.30 Uhr und 0.00 Uhr willkürlich 6
Fahrzeuge auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) alle Lenker betrunken sind? [0,00137]
b) wenigstens ein Lenker nüchtern ist? [0,9122]
c) gleich viel nüchterne wie betrunkene Lenker kontrolliert werden?
[0,219478]
d) mehr als ein Drittel der kontrollierten Lenker betrunken sind?
[0,3196]
Anzahl
betrunken
P(Anzahl
betrunken)
0
0,01734153
1
0,08670765
2
Anzahl nüchtern
P(Anzahl
nüchtern)
0
1,69351E-05
1
0,000338702
0,195092212
2
0,003048316
3
0,260122949
3
0,016257684
4
0,22760758
4
0,056901895
5
0,136564548
5
0,136564548
6
0,056901895
6
0,22760758
P(Anzahl betrunken)
0,3000
0,2601
0,2500
0,2276
0,1951
0,2000
0,1366
0,1500
0,0867
0,1000
0,0500
0,0569
0,0173
0,0000
0
1
2
3
4
5
6
P(Anzahl nüchtern)
0,2500
0,2276
0,2000
0,1366
0,1500
0,1000
0,0569
0,0500
0,0000
0,0003
0,0030
0
1
2
0,0163
0,0000
3
4
5
6
Herunterladen

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung (Powerpoint)