Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren so multipliziert, dass sich ein Skalar (eine Zahl)
ergibt. Die Berechnung des Skalarproduktes ist ziemlich einfach, aber die weiteren Eigenschaften machen
das Skalarprodukt erst interessant.
Berechnung des Skalarproduktes:
⃗
(
⃗ ⃗⃗
), ⃗⃗
(
Anders als beim Vektorprodukt ergibt sich hier eine
Zahl. Bei der Anwendung des Skalarproduktes muss
das Ergebnis und auch jede Zwischenrechnung gleich
als Zeile oder Zahl notiert werden. Alles andere ist
falsch!
( ).
) ( )
Zwei Beispiele zur Berechnung:
In
(in 2D):
(
) ( )
In
(in 3D):
(
) ( )
Das Rechenzeichen für das Skalarprodukt kann ein Stern *, ein etwas dickerer Malpunkt oder ein normaler
Malpunkt sein. Ich benutze den normalen Malpunkt, da man ihn gut vom Kreuz x des Vektorproduktes
unterscheiden kann.
Die Definition des Skalarproduktes:
Die Definition zur Berechnung des Skalarproduktes ist eine etwas andere als die Methode der eigentlichen
Berechnung. Unter bestimmten Umständen kann man auch mit der Definition das Skalarprodukt berechnen,
für gewöhnlich dient die Definition aber zur Bestimmung von Winkeln und dem Nachweis der
Orthogonalität. Doch zunächst die Definition:
⃗ ⃗⃗
| ⃗| | ⃗⃗|
, wobei α der Winkel zwischen den Vektoren ist.
Anwendungen der Definition:
 Winkel zwischen Vektoren berechnen
 Winkel zwischen Geraden berechnen
 Winkel zwischen Ebenen berechnen
 Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene berechnen
 Orthogonalitätsbedingung (Überprüfung bzw. Nachweis ob zwei Vektoren einen rechten Winkel
besitzen)
 Normalenvektor, also einen zu zwei gegebenen Vektoren senkrechten Vektor, bestimmen
 Senkrechte Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor
Zu jeder Anwendung Erklärungen, wenn nötig Herleitungen und komplett gelöste Beispiele:
Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen:
Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, muss die Definition des Skalarproduktes einfach nur
als Gleichung betrachtet und umgestellt werden:
⃗ ⃗⃗ | ⃗| | ⃗⃗|
| (| ⃗| | ⃗⃗|)
⃗⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗| | ⃗⃗|
|
Es ergibt sich als Formel zur Winkelberechnung:
By Don 2013
http://mathehoncho.de
⃗⃗ ⃗⃗
(| ⃗⃗| | ⃗⃗|).
Seite 1
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Hinweise zur Nutzung:
arccos ist auf dem Taschenrechner für gewöhnlich als
(shift und dann cos) einzugeben. Der
Taschenrechner muss auf Deg (D) gestellt sein, da ein Winkel berechnet werden soll.
Zwei Beispiele der Berechnung:
In
(in 2D):
In
Bestimme den Winkel zwischen ⃗
⃗⃗
(
( ) und
(in 3D):
Bestimme den Winkel zwischen ⃗
(
) und
).
⃗⃗
(
).
Lösung:
( )(
(
)
|( )| |(
(
√
√
)|
)
Lösung:
(
)
)(
)
(
)
|(
(
√
)| |(
)|
)
Wichtige Anmerkung zu Winkelsummen von Flächen in :
Als Anwendung werden zum Beispiel die Innenwinkel von Dreiecken, Vierecken oder anderen Figuren
berechnet. Dreiecke haben auch in
immer eine Winkelsumme von
, Vierecke oder Figuren mit noch
mehr Ecken besitzen nicht unbedingt die aus der Geometrie der Mittelstufe bekannten Winkelsummen. Nur
wenn alle Punkte der Figur in einer Ebene liegen, ist die Winkelsumme bei Vierecken dann auch
.
Winkel zwischen zwei Geraden berechnen:
Da die Richtungsvektoren eben genau für die Richtung der Geraden verantwortlich sind, wird der Winkel
wie im obigen Abschnitt beschrieben zwischen den beiden Richtungsvektoren berechnet. Es gibt hier nur
einen kleinen Unterschied: Da es zwischen Geraden immer zwei Winkel gibt, die addiert immer
ergeben, hat man sich darauf geeinigt, dass man nur den kleineren der beiden Winkel berechnet (es sei denn,
die Aufgabe verlangt anderes). Das erreicht man, indem man den Zähler positiv macht, also Betragsstriche
setzt. Nur wenn die Geraden sich auch schneiden, handelt es sich bei dem berechneten Winkel um einen
Schnittwinkel.
Ein Beispiel:
Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden sich schneidenden Geraden
⃗
( )
(
⃗
(
)
(
) und
).
Lösung:
Den Schnittwinkel der Geraden erhält man, indem man den Winkel zwischen den Richtungsvektoren
berechnet, wobei der Zähler positiv sein muss.
)(
|(
)|
(
|(
(
√
By Don 2013
)
)| |(
| |
√
)|
)
http://mathehoncho.de
Seite 2
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen:
Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen wird berechnet, indem der Winkel zwischen den
Normalenvektoren der Ebenen berechnet wird. Auch hier wird durch den Betrag des Zählers immer der
kleinere der beiden Schnittwinkel berechnet.
Ein Beispiel:
Berechne den Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen
[⃗
(
)] (
)
und
Querschnittsansicht:
.
Lösung:
⃗⃗⃗⃗⃗
)(
|(
)|
(
)
)| |(
|(
| |
(
)|
⃗⃗⃗⃗⃗
)
√
Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen:
Um den Schnittwinkel zwischen einer Gerade und einer Ebene
zu berechnen, wird der Winkel zwischen dem Normalenvektor
⃗⃗ der Ebene und dem Richtungsvektor ⃗ der Geraden
berechnet. Auch hier wird mit dem Betrag des Zählers
gerechnet.
Als Besonderheit muss hier das Winkelverhältnis
genutzt werden, da mit cos der falsche Winkel β
berechnet wird.
Für den Schnittwinkel α ergibt sich somit:
Querschnittsansicht:
⃗⃗
⃗
| ⃗⃗ ⃗|
(| ⃗⃗| | ⃗|)
Auch hier eine Beispielaufgabe:
Bestimme den Schnittwinkel α zwischen der Ebene E und der
Geraden g mit
und
⃗
(
)
(
).
Lösung:
)(
|(
)|
(
)
|(
(
√
By Don 2013
|
)| |(
|
√
)|
)
http://mathehoncho.de
Seite 3
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Orthogonalitätsbedingung:
Da
gilt, ergibt sich für das Überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht liegen eine einfache
Bedingung:
⃗ ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
Diese Bedingung wird in sehr vielen Beweisen benutzt, da in vielen Formeln gefordert wird, dass Strecken
senkrecht zueinander stehen.
Soll zum Beispiel gezeigt werden, dass ein Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel besitzt, so muss
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
gelten.
Normalenvektor bestimmen:
Normalenvektor ist die Bezeichnung für einen Vektor ⃗⃗, der gleichzeitig senkrecht zu zwei anderen
Vektoren liegt.
Es soll der Vektor ⃗⃗ berechnet werden, der zu den Vektoren ⃗ und ⃗⃗ senkrecht verläuft.
⃗⃗ ⃗ und ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗
und ⃗⃗ ⃗⃗
.
Ein Zahlenbeispiel:
⃗
) ⃗⃗
(
(
)
Einsetzen in die Orthogonalitätsbedingung:
⃗⃗ ⃗
(
) (
und ⃗⃗ ⃗⃗
)
(
) (
)
Es ergibt sich das unterbesetzte lineare Gleichungssystem:
Da das LGS unterbestimmt ist, kann eine Variable in diesem Fall frei gewählt werden.
Setze:
.
|
|
|
in II einsetzen liefert:
|
|
Für den Normalenvektor ergibt sich somit: ⃗⃗
( ).
Der Normalenvektor wird unter anderem für die Umwandlung von Ebenen benötigt.
By Don 2013
http://mathehoncho.de
Seite 4
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Senkrechte Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor:
Mit Hilfe des Skalarproduktes kann ein Vektor senkrecht auf
einen anderen Vektor projiziert werden. Soll zum Beispiel der
Vektor ⃗ auf den Vektor ⃗⃗ projiziert werden, so ergibt sich
der Vektor ⃗⃗⃗⃗⃗. Die Formel zur Berechnung lautet:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗|
⃗
⃗⃗
⃗⃗
Ein Beispiel:
Bestimme die Projektion des Vektors ⃗
⃗⃗
( ) auf den Vektor
⃗⃗⃗⃗⃗
(Alle Vektoren beginnen im selben Punkt)
( ).
Lösung:
⃗⃗⃗⃗⃗
( )( )
( )
|( )|
( )
( )
Herleitung der Formel der senkrechten Projektion:
|⃗⃗⃗⃗⃗|
, wobei α der Winkel zwischen ⃗ und ⃗⃗ ist. (
| ⃗|
⃗⃗ ⃗⃗
Mit
|⃗⃗⃗⃗⃗|
|⃗⃗⃗⃗⃗|
| ⃗|
| ⃗⃗| | ⃗⃗|
⃗⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗| | ⃗⃗|
)
ergibt sich:
|
⃗⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗|
Somit ergibt sich für ⃗⃗⃗⃗⃗:
⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗, da ⃗⃗⃗⃗⃗ nur den Anteil |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| von ⃗⃗ besitzt.
⃗⃗⃗⃗⃗
| ⃗⃗|
| ⃗⃗|
By Don 2013
http://mathehoncho.de
Seite 5