Skalarprodukt - Winkel zwischen zwei Vektoren

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Skalarprodukt - Winkel zwischen zwei Vektoren - Grundwissen
Definition: Winkel zwischen zwei Vektoren
r
r
r
Seien u und v zwei vom Nullvektor o verschiedene Vektoren.
r r
r
r
Unter dem Winkel (u ; v ) zwischen den Vektoren u und v (gelesen "Winkel
u v" oder "Winkel zwischen den Vektoren u und v") versteht man den nicht überstumpfen Winkel zwischen den beiden die Vektoren repräsentierenden Pfeile.
Die Weite dieses Winkels bezeichnet man meistens mit dem griechischen Buchstaben ϕ , (gelesen "Phi"). Die Weite des Winkels ist eine aus Maßzahl und Maßeinheit ( 1° ) zusammengesetzte Größe.
Satz: Berechnung der Weite des Winkels zwischen zwei Vektoren mit dem
Skalarprodukt
r
r
r
Seien u und v zwei vom Nullvektor o verschiedene Vektoren und sei ϕ die
r
r
Weite des Winkels zwischen den Vektoren u und v .
Dann gilt (nach dem Kosinussatz der elementaren Geometrie)
r r
r r
u∗v
u∗v
cos(ϕ) = r r , also ϕ = arccos( r r ) .
| u |⋅| v |
| u |⋅| v|
Weiter gilt
sowie
r r
r r
u ⊥ v ⇔ u ∗ v = 0 (Orthogonalitätskriterium)
r r
r r r r
u || v ⇔ u ∗ v =| u | ⋅ | v | (Parallelitätskriterium, unhandlich)
 1 
 − 1
r  
r  
Beispiel: Berechne den Winkel zwischen den Vektoren u =  3  und v =  4  .
− 2 
3
 
 
Lösung:
 1   − 1
   
 3 ∗ 4 
r r
− 2  3 
u ∗v
− 1 + 12 − 6
5
   
cos( ϕ) = r
=
=
=
≈ 0,262
r
| u | ⋅| v |
14 ⋅ 26
364
12 + 32 + ( −2) 2 ⋅ ( −1) 2 + 4 2 + 32
⇒ ϕ ≈ 74,8°
2010 Thomas Unkelbach
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