Zusammenfassung: Kinematik geradliniger Bewegungen

LGÖ Ks
Ph 10
Schuljahr 2016/2017
Zusammenfassung: Kinematik geradliniger Bewegungen
Gleichförmige Bewegungen
Definition: Ein Körper bewegt sich gleichförmig, wenn er in gleich langen Zeiträumen t gleich
lange Wegstrecken s zurücklegt.
Anschaulich bedeutet das, dass sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
Definition: Die Geschwindigkeit v einer gleichförmigen Bewegung ist der Quotient aus der
zurückgelegten Wegstrecke s und der benötigten Zeit t :
s
v
.
t
Merke: Geschwindigkeit ist Wegstrecke pro Zeiteinheit.
m
km
Einheit: 1
oder 1
s
h
Ist zum Zeitpunkt t  0 die Strecke s  0 („Start bei Null“), dann kann man in der Definition der
Geschwindigkeit die Deltas weglassen, und es gilt
s
v .
t
Auflösen dieser Gleichung nach s ergibt das Weg-Zeit-Gesetz einer gleichförmigen Bewegung mit
Start bei Null:
s  v t .
Die zurückgelegte Wegstrecke s ist proportional zur Zeit t.
Für Experten: Hat der Körper zum Zeitpunkt t  0 bereits die Anfangsstrecke s0 zurückgelegt,
dann ist s  v  t  s0 .
Das s  t  -Diagramm einer gleichförmigen
Das v  t  -Diagramm einer gleichförmigen
Bewegung mit Start bei Null ist eine
Ursprungsgerade mit der Steigung v:
Bewegung ist eine waagrechte Gerade:
v
s
v
v
1
t
t
Die Einheiten der Geschwindigkeit rechnet man folgendermaßen um:
m
1
bedeutet 1 Meter pro Sekunde, also 3600 Meter in 3600 Sekunden, also 3,6 Kilometer in
s
1 Stunde. Also gilt
m
km
 3, 6
1
.
s
h
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m
km
m
km
 x  3, 6
.
in
: Multipliziere mit 3,6, also x
s
h
s
h
km
m
km
x m
Umrechnung von

.
in
: Dividiere durch 3,6, also x
h
s
h
3, 6 s
Merke: Umrechnung von
Gleichmäßig beschleunigte Bewegungen
Bei einer Bewegung, die nicht gleichförmig ist, muss man bei dem Begriff „Geschwindigkeit“
unterscheiden:
1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der Strecke s bzw. im Zeitraum t ist
s
.
v
t
s
2. Bei einer kleinen Wegstrecke s bzw. einem kurzen Zeitraum t ist
eine Näherung für
t
die Momentangeschwindigkeit v am Ort s bzw. zum Zeitpunkt t.
Vereinbarung: Mit „Geschwindigkeit“ ist immer die Momentangeschwindigkeit gemeint.
Definition: Die Beschleunigung a ist der Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung v und der
benötigten Zeit t :
v
a
.
t
Merke: Beschleunigung ist Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit.
m
m
Einheit: 1 s  1 2
s
s
Ist zum Zeitpunkt t  0 die Geschwindigkeit v  0 („Start aus der Ruhe“), dann kann man in der
Definition der Beschleunigung die Deltas weglassen, und es gilt
v
a .
t
Auflösen dieser Gleichung nach v ergibt das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz einer gleichmäßig
beschleunigten Bewegung mit Start aus der Ruhe:
v  a t .
Die Geschwindigkeit v ist proportional zur Zeit t.
Für Experten: Hat der Körper zum Zeitpunkt t  0 die Anfangsgeschwindigkeit v0 , dann ist
v  a  t  v0 .
v
Das v  t  -Diagramm einer gleichmäßig
beschleunigten Bewegung mit Start aus der Ruhe
ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung a.
a
1
t
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Berechnung der zurückgelegten Wegstrecke bei einer beliebigen Bewegung: Bewegt sich ein
Körper während der Zeit t mit der Geschwindigkeit v  t  , dann ist die zurückgelegte Wegstrecke
die Fläche zwischen dem v  t  -Diagramm und der t-Achse.
Daraus ergibt sich das Weg-Zeit-Gesetz einer gleichmäßig
beschleunigten Bewegung mit der Beschleunigung a, der
Anfangsgeschwindigkeit v0  0 und der Anfangsstrecke s0  0 :
v
v
Das v  t  -Diagramm ist eine Ursprungsgerade, und die
Geschwindigkeit v nach der Zeit t ist v  at . Die zurückgelegte
Wegstrecke ist die Dreiecksfläche
1
1
1
s  ADreieck  t  v  t  at  at 2
2
2
2
1
s  at 2
2
t
t
Die zurückgelegte Wegstrecke s hängt also quadratisch von der Zeit t ab.
1
1
1
2
Für t   2t ist s   a   2t   a  4t 2  4  at 2  4 s , d. h. in der doppelten Zeit wird die
2
2
2
vierfache Wegstrecke zurückgelegt.
s
Das s  t  -Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten
Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit v0  0 und
der Anfangsstrecke s0  0 ist eine Parabel.
t
Standardaufgabe: Ein Körper A bewegt sich gleichförmig. In dem Moment, in dem der Körper A an
einem bis dahin ruhenden Körper B vorbeikommt, setzt sich der Körper B in die gleiche Richtung
in Bewegung, in die sich der Körper A bewegt. Der Körper B beschleunigt gleichmäßig mit der
Beschleunigung a.
Wann und wo überholt der Körper B den Körper A?
Lösung: Der Körper B überholt den Körper A, wenn er den gleichen Weg zurückgelegt hat. Das
Weg-Zeit-Gesetz für den Körper A ist sA  v t , und das Weg-Zeit-Gesetz für den Körper B ist
1
sB  at 2 .
2
Berechne die Zeit t mithilfe der Gleichung
sB  sA
1 2
at  v t .
2
Einsetzen des Werts von t in eines der Weg-Zeit-Gesetze ergibt die zurückgelegte Wegstrecke s.
Standardaufgabe: Ein Körper beschleunigt aus der Ruhe mit der Beschleunigung a innerhalb der
Zeit t auf die Endgeschwindigkeit v und legt dabei die Strecke s zurück.
Zwei der Größen a, t, v und s sind gegeben. Berechne die beiden anderen Größen.
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Lösung: Verwende die Definition der Beschleunigung bzw. das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
v
bzw. v  at (1)
a
t
und das Weg-Zeit-Gesetz
1
s  at 2 (2).
2
Ist weder a noch t gegeben, dann benötigt man eine dritte Formel:
v
Auflösen von (1) nach t ergibt t  , und Einsetzen in (2) ergibt
a
1 v
1 v2 a  v2 v2
s  a    a  2 

,
2 a
2 a
2a
2a 2
also die sogenannte Formel für den Bremsweg
v2
s
.
2a
2
Achtung: Weil der Körper beschleunigt, gilt nicht v 
s
und nicht s  vt !
t
Hinweis: Überlege bei allen Bewegungsaufgaben zuerst, ob es sich um eine gleichförmige
Bewegung oder um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt!
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