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04.03.2014
Übung 96a
Analysis, Abschnitt 15.4, Folie 18
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments
ein Ereignis A
( mit Wahrscheinlichkeit p = p ( A ) )
für eine beliebige Anzahl k
n
. pk . ( 1 - p ) n - k .
p(k) =
k
()
zwischen 0 und n genau k - mal eintritt, beträgt
Beispiel
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 60 - maligem Würfeln genau 10 - mal die Zahl „6“ gewürfelt wird, beträgt
p ( 10 ) =
( 6010 ) .
1
6
10
. 1- 1
60 - 10
= 0,137 = 13,7 %
6
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei 6 - maligem Würfeln genau 1 - mal die Zahl „6“ gewürfelt wird, beträgt p ( 1 ) =
1 1.
1 6-1
1=
6
6
( 61) .
5 5
= 0,402 = 40,2 %
6
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 1
Übung 96b
Die Wahrscheinlichkeit, bei 6 - maligem Würfeln je genau eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6 zu
entspricht der Wahrscheinlichkeit, bei keinem dieser 6 Würfe eine Zahl zu würfeln,
die bereits zuvor gewürfelt worden ist.
Diese Wahrscheinlichkeit kann man analog zur Geburtstagaufgabe (15.1, Beispiel 3)
folgendermaßen berechnen:
p(A)
=
1.
5
6
.
4
6
.
3
6
.
2
6
.
1
6
=
120
5
=
0,015
=
1,5 %
6
Übung 96c
Bei dieser Aufgabe ist nur von Bedeutung, wie oft die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 gewürfelt werden, und nicht, in welcher Reihenfolge dies geschieht.
Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, ist es aber hilfreich, auch die
Reihenfolge zu berücksichtigen, da man dadurch ein Laplace - Experiment erhält
und somit in der Lage ist, Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln.
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 2
1
04.03.2014
Übung 96c
Analysis, Abschnitt 15.2, Folie 9
Anzahl Möglichkeiten, k Dinge aus n Dingen auszuwählen
alle k Dinge müssen
verschieden sein
Variationen
( mit Berücksichtigung
der Reihenfolge )
n!
(n-k)!
Kombinationen
( ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge )
( nk )
Bei Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es 6
60 - mal zu würfeln. Diese 6
60
die k Dinge müssen
nicht verschieden sein
nk
( n + kk - 1 )
60
verschiedene Möglichkeiten,
Möglichkeiten sind alle gleich wahrscheinlich.
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 3
Übung 96c
Bei Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es 6
60 - mal zu würfeln. Diese 6
60
60
verschiedene Möglichkeiten,
Möglichkeiten sind alle gleich wahrscheinlich.
Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6 , so beträgt die Anzahl
der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann,
60 !
10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 !
.
Analysis, Abschnitt 15.2, Folie 9
Permutationen ( Reihenfolgen von n Dingen )
alle verschieden
nicht alle verschieden
n!
n!
n1 ! . n2 ! . . . . . nk !
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 4
2
04.03.2014
Übung 96c
Bei Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es 6
60 - mal zu würfeln. Diese 6
60
60
verschiedene Möglichkeiten,
Möglichkeiten sind alle gleich wahrscheinlich.
Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6 , so beträgt die Anzahl
der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann,
60 !
.
10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 !
Die Wahrscheinlichkeit, bei 60 - maligem Würfeln jede der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6
genau 10 - mal zu würfeln, beträgt daher
Analysis,
Abschnitt 15.1,
Folie 8
60 !
p(A)
=
10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 !
6
=
p(A) =
60
60 !
10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 ! . 10 ! . 6
=
60
0,000075
=
#A
n
0,0075 %
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 5
Übung 96d
Analysis, Abschnitt 15.4, Folie 13
Beispiel 5: Würfeln, bis eine „6“ gewürfelt wird
Dies ist eine diskrete Zufallsvariable mit der Ergebnismenge M = N+ .
m-1
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet p ( m ) =
5
6
m
.1
6
1 .
5
=
5
6
.
Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 3 - mal zu würfeln, wenn man so lange würfelt,
bis eine 6 erscheint, entspricht der Wahrscheinlichkeit, genau 1 - mal , 2 - mal oder
3 - mal zu würfeln.
Sie beträgt daher
p(A)
=
p(1) + p(2) + p(3)
=
=
1
6
91
+
5 . 1
6
6
=
+
5
6
0,421
=
2
. 1
6
42,1 %
216
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 6
3
04.03.2014
Übung 96e
Analysis, Abschnitt 15.4, Folie 13
Beispiel 5: Würfeln, bis eine „6“ gewürfelt wird
Dies ist eine diskrete Zufallsvariable mit der Ergebnismenge M = N+ .
m-1
5
6
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet p ( m ) =
m
.1
6
=
1 .
5
5
6
.
Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 3 - mal zu würfeln, wenn man so lange würfelt,
bis eine 6 erscheint, entspricht nach analogen Überlegungen wie in Aufgabe d)
8
8
p(A)
m
1. 5
6
5
=
m=3
=
1 .
5
m
1 . 5
5
6
=
2
-
1
1 . 5
1. 5
5
6
5 6
5
m=0
1
1 - 5
6
91
-
180
=
125
=
216
25
=
0,694
=
69,4 %
36
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 7
Übung 96e
Bemerkung:
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit kann auch bestimmt werden, ohne den Grenzwert
einer unendlichen Reihe zu berechnen.
Man würfelt nämlich genau dann mindestens 3 - mal , wenn man bei den beiden
ersten Würfen keine 6 würfelt.
Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt
p(A)
=
5 .5
6 6
=
25
=
0,694
=
69,4 %
36
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 8
4
04.03.2014
Übung 96f
Analysis, Abschnitt 15.1, Folie 9
Betrachtet man die beiden Würfel als unterscheidbar ( z.B ein roter und ein blauer
Würfel) , so erhält man als mögliche Grundmenge
M =
( 1/ 1 ) ; ( 1/ 2 ) ; ( 1/ 3 ) ; ( 1/ 4 ) ; ( 1/ 5 ) ; ( 1/ 6 ) ;
( 2/ 1 ) ; ( 2/ 2 ) ; ( 2/ 3 ) ; ( 2/ 4 ) ; ( 2/ 5 ) ; ( 2/ 6 ) ;
( 3/ 1 ) ; ( 3/ 2 ) ; ( 3/ 3 ) ; ( 3/ 4 ) ; ( 3/ 5 ) ; ( 3/ 6 ) ;
( 4/ 1 ) ; ( 4/ 2 ) ; ( 4/ 3 ) ; ( 4/ 4 ) ; ( 4/ 5 ) ; ( 4/ 6 ) ;
( 5/ 1 ) ; ( 5/ 2 ) ; ( 5/ 3 ) ; ( 5/ 4 ) ; ( 5/ 5 ) ; ( 5/ 6 ) ;
( 6/ 1 ) ; ( 6/ 2 ) ; ( 6/ 3 ) ; ( 6/ 4 ) ; ( 6/ 5 ) ; ( 6/ 6 )
Das Ereignis A = „Augensumme 10“ =
scheinlichkeit
3
1
p(A) =
=
.
36
12
Das Ereignis A = „Augenquotient 2“ =
hat die Wahrscheinlichkeit
p(A) =
Diese 36 Ergebnisse sind
alle gleich wahrscheinlich;
es liegt daher ein Laplace Experiment vor, mit dem die
gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann.
( 4/ 6 ) ; ( 5/ 5 ) ; ( 6/ 4 ) hat also die Wahr#A
p(A) =
für jedes Ereignis A M
n
( 1/ 2 ) ; ( 2/ 4 ) ; ( 3/ 6 ) ; ( 2/ 1 ) ; ( 4/ 2 ) ; ( 6/ 3 )
6
36
=
1
6
=
0,167
=
16,7 %
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 9
Übung 96g
Analysis, Abschnitt 15.1, Folie 9
Betrachtet man die beiden Würfel als unterscheidbar ( z.B ein roter und ein blauer
Würfel) , so erhält man als mögliche Grundmenge
M =
( 1/ 1 ) ; ( 1/ 2 ) ; ( 1/ 3 ) ; ( 1/ 4 ) ; ( 1/ 5 ) ; ( 1/ 6 ) ;
( 2/ 1 ) ; ( 2/ 2 ) ; ( 2/ 3 ) ; ( 2/ 4 ) ; ( 2/ 5 ) ; ( 2/ 6 ) ;
( 3/ 1 ) ; ( 3/ 2 ) ; ( 3/ 3 ) ; ( 3/ 4 ) ; ( 3/ 5 ) ; ( 3/ 6 ) ;
( 4/ 1 ) ; ( 4/ 2 ) ; ( 4/ 3 ) ; ( 4/ 4 ) ; ( 4/ 5 ) ; ( 4/ 6 ) ;
( 5/ 1 ) ; ( 5/ 2 ) ; ( 5/ 3 ) ; ( 5/ 4 ) ; ( 5/ 5 ) ; ( 5/ 6 ) ;
( 6/ 1 ) ; ( 6/ 2 ) ; ( 6/ 3 ) ; ( 6/ 4 ) ; ( 6/ 5 ) ; ( 6/ 6 )
Das Ereignis A = „Augensumme 10“ =
scheinlichkeit
3
1
p(A) =
=
.
36
12
( 4/ 6 ) ; ( 5/ 5 ) ; ( 6/ 4 ) hat also die Wahr#A
p(A) =
für jedes Ereignis A M
n
Das Ereignis A = „Augenprodukt 6“ =
hat die Wahrscheinlichkeit
p(A) =
Diese 36 Ergebnisse sind
alle gleich wahrscheinlich;
es liegt daher ein Laplace Experiment vor, mit dem die
gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann.
4
36
( 1/ 6 ) ; ( 2/ 3) ; ( 3/ 2) ; ( 6/ 1 )
=
1
9
=
0,111
=
11,1 %
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis Übung 96 Folie 10
5