Dreieckskonstruktionen d K ät und Kongruenzsätze
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Dreieckskonstruktionen und d Kongruenzsätze K ät 27. Oktober 2009 Vertr. Prof. Dr. Katja Krüger Universität Paderborn Didaktik der Geometrie II (Klasse 7-10) 1 Inhalt ¾ Was sollen ll eigentlich l h Figuren F sein? g Figuren g ¾ Kongruente ¾ Kongruenzsätze ¾ Beweisen mit Kongruenzsätzen ¾ Niveaustufen Ni f des d B Beweisens i 2 Inhalte des Geometrieunterrichts Klasse 7-8 7 8 1. 2. Figurenlehre • • • • • Dreiecke, Schnittpunktsätze Spezielle Vierecke Kreis und Kreistangente Winkelsätze Prismen Kongruenzgeometrie • • • • Kongruente Figuren Kongruenzsätze für Dreiecke Beweisen mit Kongruenzsätzen Kongruenzabbildungen Klasse 9-10 9 10 1. • • • • • Ähnliche Figuren Strahlensätze Zentrische Streckung Ähnlichkeitssätze Ähnlichkeitsabbildungen 2. Satzgruppe des Pythagoras 3 3. Darstellende Geometrie 4. nach Holland: Geometrie in der Sekundarstufe 2007, S. 26)) Gymnasium Ähnlichkeitsgeometrie 5. • Schrägbild und Mehrtafelprojektionen Messen und Berechnen • • Kreisumfang und -fläche Oberfläche und Volumen von Pyramide Zylinder, Pyramide, Zylinder Kegel und Kugel Trigonometrie 3 Was sollen eigentlich ebene (und räumliche) Figuren sein? 4 Punktmengenauffassung Ebene und Raum werden als Menge von Punkten aufgefasst. Figuren werden dann als Teilmengen aufgefasst und sind ortsfest. - Vorteil: Anwendbarkeit der Mengensprache (z.B. ∩ und ∪) und somit präzise Bedeutungen der Operationen mit Figuren (z.B. Inzidenz, Abbilden) – Nachteil: Probleme beim Anwenden von Geometrie im Alltag Allt 5 Körperauffassung Ebene und Raum enthalten idealisierte Figuren und K Körper. Sonst S t sind i d sie i lleer. Diese Di Obj kt Objekte betrachtet man oft nicht als ortsfest, sondern als beweglich (allgemeiner als verformbar). verformbar) − Vorteil: Natürlicher als die Punktmengenauffassung. Punktmengenauffassung – Nachteil: Schwierigkeiten beim Lernen des geometrischen Abbildungsbegriffs. 6 Für den Geometrieunterricht bis Klasse 10 genügt die Körperauffassung. – Di Diese herrscht h h in i der d Raumgeometrie R i schon h immer i vor (Prinzip der Bewegung). – Im I Lernprozess L ss tritt t itt die di Kö Körperauffassung ff ss vor d der Punktmengenauffassung auf. – Die bei der Punktmengenauffassung mögliche Präzisierung zahlt sich in der Sek I nicht aus. Geometrisches G m r D Denken n n kann nn m man n auch u bei derr Körperauffassung lernen. 7 Kongruente g Figuren g Leitidee „Raum und Form“: Die Schülerinnen und Schüler beschreiben und begründen Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) und d nutzen t di diese iim R Rahmen h d des P Problemlösens bl lö zur A Analyse l von Sachzusammenhängen. 8 Kongruente Figuren - gleiche Form und Größe Aus Mathematik heute 7, Ausgabe Hessen, Schroedel 1995, S.98 9 Kongruente Figuren und Kongruenzabbildungen Für zwei ebene Figuren f und g gilt: f heißt kongruent zu g, wenn es eine ebene Kongruenzabbildung gibt, die f auf g abbildet. Schreibweise f≅ g. Lambacher Schweizer 6, Mathematik für Gymnasien. Hessenausgabe. Stuttgart: Klett 2006, S. 62 10 Kongruente g Figuren g – Gleichheit entsprechender Streckenlängen und Winkel Anmerkung: A k Dieser Di Satz S folgt f l aus d der I Invarianz i von L Längen und d Wi Winkeln k l bei Kongruenzabbildungen. Zur Überprüfung von Kongruenz (s.o.) benötigt man die Umkehrung dieses Satzes. 11 Bedeutung des Kongruenzbegriffes Fundamentaler F d l B Begriff iff der d ebenen b und d räumlichen li h Geometrie: • Die Kongruenzrelation spielt bei der Berechnung von FlächenFlächen und Rauminhalten eine grundlegende Rolle (Zerlegungs- und Ergänzungsgleichheit) • Die Kongruenzmethode dient als Mittel zum Beweisen. 12 Zerlegungsgleichheit • Z Zweii Vi Vielecke l k h heißen iß zerlegungsgleich, l l i h wenn man sie i in kongruente Teilvierecke zerlegen kann. • Zerlegungsgleiche Z l s l i h Flä Flächeninhalte h i h lt haben h b denselben d s lb Flächeninhalt. 13 Flächeninhalt des Parallelogramms Zerlegungsgleiche Vielecke Ergänzungsgleiche Vielecke 14 Grundkonstruktionen eines Dreiecks Welche Daten eines Dreiecks müssen bekannt sein, damit alle Schüler dasselbe Dreieck konstruieren? 15 Alle Maße brauchen wir doch gar nicht Aus Maßstab 7, Hauptschule Nord, Schroedel 2000, S. 29 16 Kongruenzsätze entdecken • A Ausganspunkt kt einer i L Lernsequenz: Gegeben G b seien i di die Seiten S it a und d c eines Dreiecks. Zwei Seiten eines Dreiecks genügen nicht. Wähle eine dritte Größe: Sind dann die übrigen Dreiecksgrößen schon eindeutig festgelegt? • Alternativ: Experimentieren mit Winkelfeldern und Streckenlängen aus Pappe (vgl. Rinkens-Skript S 75f.) 17 Grundkonstruktionen von Dreiecken Mathe live 7 (Gesamtschulen) Klett (Gesamtschulen), 2000, S. 81. Warum fehlt auf dieser Schulbuchseite der Ssw? 18 Sachaufgaben zu Dreieckskonstruktionen 19 Beweisen mit Kongruenzsätzen g 20 Kongruenzsätze: g Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie .. 11. iin allen ll drei d i Seiten i übereinstimmen b i i ((sss). ) 2. in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel üb übereinstimmen i sti (s (sws). s) 3. in einer Seite und den anliegenden Winkeln übereinstimmen (wsw). (wsw) 4. in zwei Seiten und dem Winkel, der der längeren Seite gegenüber liegt, liegt übereinstimmen (Ssw). (Ssw) usw. 21 In jjedem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. 22 Die Mittellinie in einem Dreieck ist halb so lang wie die Grundlinie und parallel zu dieser. 23 Kongruenzmethode Beii vielen B i l B Beweisen i iin d der G Geometrie i muss man auf f die Gleichheit von Längen (oder Winkeln) schließen. Dazu sucht man in der Beweisfigur nach Paaren kongruenter Dreiecke, deren Kongruenz über die Kongruenzsätze g bewiesen wird. 24 Niveaustufen des Beweisens „Wie ausführlich und formal soll eine Beweis sein? sein?“ (nach Holland 2007, Kap. 6.4) 25 „Stufe Stufe des Argumentierens Argumentierens“ „Geometrie G i als l Lehre L h vom Anschauungsraum h zielt i l auff das einsichtige und beziehungsreiche Lernen geometrischer Sätze und Verfahren. Verfahren Für Aussagen, Aussagen deren Allgemeingültigkeit nicht unmittelbar einsichtig ist,, bedarf es dazu eines Beweises“. • Ziel: „„Aha-Erlebnis“ Er n vermitteln rm n durch ur g geeignete gn Veranschaulichungen (Folien, Modelle,…) • Kein schriftlicher Beweis, sondern mündliche Argumentation • Bezugnahme auf Beweisfigur (diese variabel sehen, DGS) 26 „Stufe Stufe des Argumentierens Argumentierens“ Aus Mathematik heute 7, Ausgabe Hessen, Schroedel 1995, S.108 27 Erste Beweisaktivitäten am Beispiel p des Winkelsummensatzes 1 E 1. Entdeckung d k und d Formulierung F li des d Winkelsummensatzes an einer (vorgefertigten) Parkettierung mit kongruenten Dreiecken. Dreiecken 2. Argument: Der Winkelsummensatz gilt für alle Dreiecke weil man die Ebene mit beliebigen Dreiecke, kongruenten Dreiecken parkettieren kann. Vertiefung r fung auf uf derr N Niveaustufe u uf des inhaltlichen n n 3.. V Schließens: Folgerung des Winkelsummensatzes aus dem Wechselwinkelsatz. 28 Stufe des inhaltlichen Schließens • Zi Ziel: l Sicherung i h d der Allgemeingültigkeit ll i l i k i d der zu beweisenden Aussage. • Notation N t ti d dess B Beweises is s als ls S Sequenz von Beweisschritten. • Übertriebene Ausführlichkeit wird vermieden. vermieden • Weitgehend umgangssprachliche Darstellung. 29 Satz von Pythagoras: Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat yp q so g groß wie die beiden Kathetenquadrate zusammen. • Argumentation durch Umlegen materieller kongruenter Dreiecke in einem Quadrat • Inhaltliche Schlussfolgerung mittels Nachweis kongruenter D Dreiecke k mit Bezug B auf f Abbildung bb ld 30 „Stufe Stufe des formales Schließens Schließens“ „Auff dieser di Stufe f d des B Beweisens i wird i dd der B Beweis i vorrangig … unter dem Aspekt der Geometrie als deduktiver Theorie gesehen. gesehen Der Beweis soll aufdecken, aus welchen anderen Sätzen der Beweis gefolgert g g werden kann,, die somit Gründe seiner Gültigkeit sind.“ • Sequenz von Beweiszeilen • Die verwendeten Sätze werden angegeben • Lückenlose Darstellung g 31 In jjedem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. (aus Holland 2007, S. 129) 32 Kompetenz: Mathematisch argumentieren D Dazu gehört: h • Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch h k h sind d („Gibt ( G b es …?“, “ „Wie verändert d sich…?“, „Ist das immer so …?“) und Vermutungen begründet äußern, äußern • mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen Begründungen, Erläuterungen, Begründungen Beweise), Beweise) • Lösungswege beschreiben und begründen. Quelle: KMK-Bildungsstandards für den mittleren Bildungsabschluss 2003 33
