Formelblatt zur TC1/PC2a im WS 2016/2017

Lehrstuhl für Theoretische Chemie
Prof. Dr. C. Ochsenfeld
Prof. Dr. R. de Vivie-Riedle
Formelblatt zur TC1/PC2a im WS 2016/2017
1 Mathematische Grundlagen
• Polarkoordinaten/ sphärische Koordinaten mit dem Radius r ∈ [0; ∞[ und den
Winkeln ϑ ∈ [0; π] und ϕ ∈ [0; 2π[:
z = r cos(ϑ)
y = r sin(ϑ) sin(ϕ)
x = r sin(ϑ) cos(ϕ)
• Volumenelement in kartesischen und in sphärischen Koordinaten:
dV = dxdydz = r2 sin ϑdrdϑdϕ.
• Laplace-Operator in drei Dimensionen:
∆x,y,z =
∆r,ϑ,ϕ
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
1 ∂2
1
=
r+ 2
2
r ∂r
r
• Partielle Integration:
Rb
a
∂2
1
∂
∂
1
+
sin(ϑ)
2
2
sin(ϑ) ∂ϑ
∂ϑ
sin (ϑ) ∂ϕ
g(x)f 0 (x)dx = [g(x)f (x)]ba −
!
Rb 0
a g (x)f (x)dx
2 Grundlagen der klassischen Mechanik
• Klassische Wechselwirkung zweier geladener Teilchen (i, j) mit den Ladungen qi
und qj :
Epot =
1
qi qj
4π0 |~
ri − r~j |
• Klassischer Ausdruck für die potentielle Energie des harmonischen Oszillators
(HOs):
1
Epot = kx2
2
• Klassischer Drehimpuls in kartesischen Koordinaten: ~l = ~r × p~
1
3 Quantenmechanik
• Impulsoperator: p̂x =
~ ∂
i ∂x
• Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen Kasten der Länge L:
r
2
nπ
sin
x
L
L
h2 2
n
En =
8mL2
Φn (x) =
• Eigenfunktionen des Hamiltonoperators des HOs mit den Hermite-Polynomen Hv :
1
Ψv (x) = Nv Hv ( βx)e− 2 βx
p

Nv = 
1
2v v!
2
s  12
β
π
µω
~
mit β =
• Energieeigenwerte des HOs der reduzierten Masse µ und der Kraftkonstante k:
1
Ev = ~ω v +
2
1
k
µ
mit ω =
2
und µ =
m1 m2
,
m1 + m2
• Trägheitsmoment: I = µr2
• Drehimpulsoperatoren in sphärischen Koordinaten:
ˆlz = ~
i
ˆl2 = −~2
∂
∂ϕ
∂2
1
1
∂
∂
+
sin(ϑ)
2
2
sin(ϑ) ∂ϑ
∂ϑ
sin (ϑ) ∂ϕ
!
2
• Legendre-Operator: Λ2 = − ~l̂ 2
• Teilchen auf dem Ring:
Ĥ =
2
lˆz
2I
r
1 imϕ
e
2π
m2 ~2
.
=
2I
Ψm (ϕ) =
Em
• Starrer Rotator mit raumfreier Achse:
ˆl2
Yl,ml (ϑ, ϕ)
2I
~2
El =
(l(l + 1)).
2I
ĤYl,ml (ϑ, ϕ) =
• Wasserstoffatom in SI-Einheiten:
~2
Ĥ = −
2me
1 ∂2
Λ2
r
+
r ∂r2
r2
!
−
e2
4π0 r
Ψn,l,ml (r, ϑ, ϕ) = Rn,l (r)Yl,ml (ϑ, ϕ)
En = −
e2
1
e4 me 1
=
−
.
2
2
2
8π0 a0 n2
80 h n
2