Ein Signalmast steht auf der horizontalen x x -Ebene

Vorschläge für die Klausur (Blanke)
Aufgabe 1
Ein Signalmast steht auf der horizontalen x 1 x 2 -Ebene. Er hat die Form einer senkrechten quadratischen
Pyramide mit einem aufgesetzten verspiegelten Signalquadrat, das um seine vertikale Diagonale ST
gedreht werden kann. Dieser Mast steht in einem schrägen Hang, dessen Oberfläche die Ebene ist, die
durch B, C und A 1 geht. (Siehe Skizze 1) Ein Teil der Pyramide befindet sich also unter der
Hangoberfläche. Gegeben sind die Punkte A(6 | 0 | 0 ), B(8 | 4 | 0 ), C(4| 6 | 0 ), D(2 | 2 | 0 ),
S(5 | 3 | 10 ), T(5 | 3 |15 ), A 1 (5,8 | 0,6 | 2), P 1 ( 3,5 | 5| 12,5 ) und M'( O | 8| 5).
a) Zeichnen Sie die Pyramide in ein kartesisches Koordinatensystem.
Bestimmen Sie den Neigungswinkel des Hanges gegenüber der
Horizontalebene. Berechnen Sie, in welchem Punkt die Pyramidenkante
DS aus der Hangoberfläche heraustritt.
b) Die Hangoberfläche schneidet den Signalmast in einem Trapez.
Berechnen Sie den Inhalt dieses Trapezes.
c) Die Lage des Signalquadrats ist festgelegt durch den Punkt P1. Es
reflektiert parallel einfallendes Sonnenlicht auf eine in der x 2 x 3 -Ebene
stehende Wand. Dabei wird der Mittelpunkt M des Signalquadrats auf den
Punkt M' auf der Wand abgebildet. Auf der Wand leuchtet das Viereck
' ' ' '
PSQ
1
1T als Bild des Signalquadrats auf.
Berechnen Sie die Koordinaten von S' und von P1' .
 4 
d) Bei einem böigen Wind, dessen Richtung durch den Vektor w =  3 
 0
 
festgelegt ist, wird das Signalquadrat aus Sicherheitsgründen so gedreht, dass es parallel zur
Windrichtung ist.
Berechnen Sie für diese Lage die Koordinaten der Eckpunkte P2, Q2 und zeichnen Sie das Quadrat
P2S Q2T in das vorhandene Koordinatensystem ein.
Aufgabe 2
In einem kartesischen Koordinatensystern sind die Punkte A (4 | -1| | 1 ). B (7 | 1 | 0 ), C (4 | 7 | -3),
D (1 | 1 | 0) und F (3 | 0 | 6 ) gegeben.
a) Zeigen Sie, dass das die Punkte A, B, C und D in einer Ebene E liegen.
Zeigen Sie, dass ABCD ein symmetrisches Drachenviereck ist.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Drachenvierecks.
Ermitteln Sie den Winkel, den die Ebene E mit der x1x2-Ebene bildet.
 Ergebnis zur Kontrolle: Flächenmaßzahl des Drachenvierecks 12
5
b) Das Viereck ABCD ist die Grundfläche eines schiefen Prismas, F ist ein Eckpunkt der Deckfläche, und
FA ist eine Seitenkante des Prismas.
Geben Sie die Koordinaten der weiteren Eckpunkte G, H, I der Deckfläche dieses Prismas an, und
zeichnen Sie dieses Prismas in ein kartesisches Koordinatensystem.
Berechnen Sie den Neigungswinkel der Kante FA zur die Grundfläche ABCD.
Berechnen Sie das Volumen des Prismas.
Es gibt Ebenen, die das Prisma in zwei volumengleiche Teile zerlegen.
Bestimmen Sie eine Gleichung von einer dieser Ebenen. Keine dieser Ebenen ist Symmetrieebene
des schiefen Prismas.
Überprüfen Sie diese Aussage am Beispiel der von Ihnen gewählten Ebene.
c) Begründen Sie, dass dem Prisma aus Teilaufgabe b ein schiefer Kreiszylinder einbeschrieben werden
kann. (Der Zylindermantel berührt dann die vier Seitenflächen des Prismas.)