Herbst06

Staatsexamensklausur für die Lehrämter L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5
Herbst 2006
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner
(ohne Lösemodule sowie sonstige Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
1
Geometrie
Es seien ABC ein Dreieck, wC die Winkelhalbierende des Winkels ACB und M der Schnittpunkt
von wC mit der Seite AB .
a) Fertigen Sie eine Skizze an.
Zeichnen Sie den Punkt D so auf der Geraden AC, dass
 C zwischen A und D liegt
 und der Abstand |DC| gleich dem Abstand |BC| ist.
b) Zeigen Sie:
Die Geraden MC und BD sind zueinander parallel.
c) Beweisen Sie:
wC teilt die Seite AB im Verhältnis der Längen der Seiten AC und BC , also:
|AM| : |MB| = |AC| : |BC|
d) In einem kartesischen Koordinatensystem gelte für die Ecken des Dreiecks:
A=(0|0), B=(11|4) und C=(3|4).
Berechnen Sie die Steigungen der beiden Geraden MC und BD.
2
Algebra
a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z über der
Menge aller reellen Zahlen in Abhängigkeit des Parameters k.
( 10-5k)x
+ 2kz = 72 - 30k
(-10+5k)x + 3y - kz = -60 + 30k
( 8-4k)x – 2y + kz = 50 - 24k
Geben Sie jeweils die Lösungsmenge an:
b) Berechnen Sie das inverse Element von [639] in 2006 (also modulo 2006) bezüglich der
Addition und bezüglich der Multiplikation.
c) Geben Sie alle multiplikativ invertierbaren Elemente in 11 (also modulo 11)
(ohne Beweis!).
1
3
Analysis
a) Quadratische Funktionen
Sei f eine quadratische Funktion.
(1) Zeigen Sie:
Zu jeder reellen Zahl m gibt es genau eine Tangente an den Graphen von f, welche
die Steigung m besitzt.
(2) Bestimmen Sie f aus den Bedingungen:
f(-2) = -4, f(0) = -2 und f(2) = 4
Skizzieren Sie den Graphen von f.
(3) Bestimmen Sie die sämtlichen Tangenten an den Graphen von f (aus (2)), die durch
den Punkt (0 | -2,5) gehen.
Fügen Sie diese Tangenten in die Skizze von (2) ein.
(4) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des beschränkten Gebiets, das zwischen den Kurven
mit den Gleichungen
y = f(x) (aus (2))
bzw.
y = 4  |x  2|
liegt.
b) Folgen
Betrachten Sie die Entwicklung (Kn)n0 eines bestimmten Kapitals K0 beim Geldinstitut A.:
 Das Startkapital K0 wird zu Beginn eines bestimmten Jahres der Bank anvertraut, der
Eigentümer greift dann in die weitere Entwicklung nicht mehr ein.

Die Bank A verzinst das vorhandene Kapital am 30.12. jedes Jahres mit 5% und zieht
anschließend (am 31.12. des Jahres) 1000 € für Gebühren ab.
(1) Geben Sie eine explizite Formel an für die Folge (Kn)n0 mit dem Startwert K0 = 50000 €.
(2) Wie hängt die jeweilige Kapitalentwicklung vom Startkapital ab?
2
4
Stochastik
a) Folgen
Amtsantritt an einer amerikanischen Elite-Universität. Kaltes Buffet
Auf einem Tablett werden Josef bunt durcheinander aufgereiht 40 verschiedene Häppchen
angeboten. Um auf die Essgewohnheiten der Gäste Rücksicht zu nehmen, sind jeweils die
zehn Häppchen, die Geflügelfleisch (bzw. Schweinefleisch, bzw. Fisch, bzw. Käse)
enthalten, mit einem gelben (bzw. roten, bzw. blauen, bzw. grünen) Spieß versehen.
(1) Josef nimmt sich fünf Häppchen.
Wie viele Möglichkeiten für seine Auswahl bestehen, wenn es nur darauf ankommt, wie
viele Spieße von welcher Farbe er hat?
(2) Josef nimmt sich fünf Häppchen.
Wie wahrscheinlich ist es, dass Josef
 genau vier grüne Spieße
 bzw. lauter Spieße von derselben Farbe nahm,
wenn seine Wahl rein zufällig geschah?
b) Pascal’sches Dreieck
Betrachten Sie einen nicht am Rand des Pascal’schen Dreiecks stehenden
Binomialkoeffizienten.
(1) Wie viele „Nachbarn“ im Pascal’schen Dreieck hat er?
(2) Zeigen Sie
Die Summe dieses Binomialkoeffizienten und aller seiner „Nachbarn“ ist eine
gerade Zahl.
c) Lotterie
Student A hat ein Jahreslos bei einer großen Lotteriegesellschaft geschenkt bekommen.
Mit diesem Jahreslos nimmt er automatisch an den 52 Wochenziehungen der Lotterie im
laufenden Jahr Teil. Bei jeder Ziehung hat A mit seinem Los laut Lotteriegesellschaft eine
2%-ige Gewinnchance.
(Die Ergebnisse der Ziehungen können als stochastisch unabhängig voneinander
angesehen werden)
(1) Wie wahrscheinlich ist es, dass A. im Laufe des Jahres genau zweimal gewinnt?
(2) Wie viele Gewinne erwarten Sie im Laufe des Jahres?
(3) Wie viele Jahre müsste A mit einem derartigen Jahreslos an der Lotterie teilnehmen,
damit er mit 90%-iger Sicherheit mindestens einmal einen Gewinn erzielen würde?
3
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Beide Aufgaben sind zu bearbeiten.
Hinweis: Alle Teile der Aufgaben 5 und 6 lassen sich unabhängig voneinander bearbeiten.
5
Geometrie und Wirklichkeit
a) Sind die folgenden Gegenstände Drehzylinder (= gerade Kreiszylinder)?
Konservendose, Litfaßsäule, Trinkhalm, Geldmünze, Papierschnipsel aus einem
Papierlocher, Wasserschlauch
Erläutern Sie an diesen Beispielen den Zusammenhang von Gegenständen des Alltags
und geometrischen Begriffen.
b) Beschreiben Sie stichwortartig eine Einführung des Begriffs Drehzylinder im
Mathematikunterricht.
 Nennen Sie Aktivitäten für Schüler, welche die Begriffsbildung fördern.
 Welche Rolle können Demonstrationsmodelle spielen?
 Geben Sie eine schülergerechte Erklärung des Begriffs Drehzylinder.
c) Beurteilen Sie die folgende Aussage:
„Man kann einen Winkel mit einem Winkelmesser nur näherungsweise halbieren. Um
einen Winkel exakt und genau zu halbieren, darf man nur ein Lineal (gerade Kante)
und einen Zirkel benutzen.“
Was unterscheidet das Zeichnen in der Praxis vom Konstruieren in der Geometrie?
d) Nennen Sie Gründe (Motive), weshalb man die Richtigkeit von Aussagen in der Geometrie
beweist.
 Erläutern Sie die Gründe an typischen Beispielen aus dem Geometrieunterricht.
6
Funktionen im Mathematikunterricht
a) Was versteht man in der Mathematik unter einer Funktion?
 Geben Sie drei Beispiele aus dem Mathematikunterricht an.
 Vergleichen Sie den Begriff der Funktion aus dem Algebraunterricht mit den Begriffen
geometrische Abbildung und Rechenoperation.
b) Welche Grundverständnisse (Grundvorstellungen) zum allgemeinen Funktionsbegriff sollte
der Schüler im Mathematikunterricht erwerben?
c) Nennen Sie (anhand von Beispielen aus dem Mathematikunterricht) wichtige
Darstellungsweisen für Funktionen, mit denen ein Schüler umgehen können soll.
d) Beschreiben Sie Dreisatz-Aufgaben für proportionale und antiproportionale Zuordnungen
durch typische Beispiele.
 Stellen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede heraus.
 Welche Eigenschaften proportionaler und antiproportionaler Zuordnungen benutzt man
beim Lösen von Dreisatz-Aufgaben.
4