Ideales Gasgesetz

Unwuchtiges Rad
An einem Zylindermantel der Masse von M=2kg und einem Durchmesser von 30cm ist ein
punktförmiges Massestück der Masse m=0,2kg im Innenmantel angebracht.
Nun wird die Anordnung ausgelenkt, sodass die Kugel nicht mehr ihre tiefstmögliche Lage
besitzt. Das Ergebnis ist eine Hin- und Herschwingung.
a) α=90°: Berechne die Geschwindigkeit des Rades, wenn sich die Kugel im untersten Punkt
befindet!
b) α=175°: Berechne die Geschwindigkeit des Rades im untersten Punkt!
c) α=145°: Berechne die Geschwindigkeit des Rades im Punkt α=45°!
d) Berechne die Schwingungsdauer der Anordnung für kleine Auslenkungswinkel!
(Hinweis: Versuche eine analoge Differenzialgleichung zum 2. Newtonschen Gesetz
aufzustellen. Die relevanten Größen sind dabei der Auslenkungswinkel und das rücktreibende
Drehmoment!)
α
Lösungsvorschlag „unwuchtiges Rad“
Aufgaben a) bis c)
Den Nullpunkt der potenziellen Energie legen wir so fest, dass sich die Kugel ganz unten
befindet.
Kompliziert wird dann die Darstellung der Gesamtenergie in diesem Ort.
Ausgangspunkt ist, dass sich die gesamte Bewegungsenergie eines Körpers der Masse
und der Schwerpunktsgeschwindigkeit vs in einem System darstellen lässt
Translationsenergie des Massenmittelpunktes mit der Geschwindigkeit vs plus
Bewegungsenergie des Körpers in diesem Schwerpunktsystem. Mit letzterer ist
Rotationsenergie des Körpers um seinen Massenmittelpunkt gemeint.
Also: EK 
MG
als
der
die
MG
vs 2  1 I 2 (Gleichung 1)
2
2
Nun zu unserem Fall!
1.) Zuerst bestimmen wir die Lage des Schwerpunkts xS.
Mit M G xs   mi xi und dem Koordinatennullpunkt im Zentrum des Kreises bedeutet
i
dies: (M+m)xs=mR und daher
xS 
m
R.
mM
1
2.) Habe nun der Schwerpunkt die Geschwindigkeit vs, dann stellt sich die Situation mit
EP=0 folgend dar!
2v
v
vs xs
Das punktförmige Massestück ist von unserem System (Tisch) aus in Ruhe, der
Kreismittelpunkt bewege sich mit v, daher der äußerste Rand mit 2v (Er ist vom Berührpunkt
ja doppelt so weit entfernt wie der Kreismittelpunkt1) und der Massenmittelpunkt mit vs.
Entsprechend dem Teilungsverhältnis gilt vs 
R  xs
R
v und v 
vs  1,1vs
R
R  xs
Der Mittelpunkt des Ringes bewegt sich mit der Geschwindigkeit v
3.) Bestimmung des Trägheitsmomentes um den Schwerpunkt
Nach dem Satz von Steiner gilt:
I M  M G xs  M G R 2  (m  M )( R 2  xs ).
2

2
I M  (m  M )( R 2  xs )  (M  m) R 2  (m  M ) xs
2
2
4.) Bestimmung der Winkelgeschwindigkeit ω um den Schwerpunkt
Vom Standpunkt des Schwerpunktes aus rotiert der Berührpunkt mit der Geschwindigkeit vs,
der (Rxs) vom Schwerpunkt entfernt ist.
Daher ergibt sich

vs
m  M vs

R  xs
M R
5.) Ermittlung von EK
Setzen wir nun in Gleichung 1 ein!
2
EK 
M m
vs 2  1 [(m  M )( R 2  xs 2 )]( m  M vs ) 2
2
2
M R
Um Umformfehlern und mühseligsten Formeleditierungen zu entgehen, hab ich nun
eingesetzt.
Dieser Ausdruck ergibt:
EK=2,42vs2.
6.) Ermittlung der Geschwindigkeiten in den Beispielen a) bis c) unter Anwendung der
Energieerhaltung und der Darstellung für v (siehe Punkt 2.))
Für Beispiel a) ergibt sich:
0,15mg=0,3=2,42vs2  vs=0,352m/s  v=1,1vs=0,387m/s.
Für Beispiel b) ergibt sich:
0,299mg=0,599=2,42vs2  vs=0,497m/s  v=1,1vs=0,547m/s.
Für Beispiel c) ergibt sich:
0,256mg=0,512=2,42vs2  vs=0,46m/s  v=1,1vs=0,506m/s.
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