Stochastik 1 Wdh

Mathe K2
Stochastik Sj. 16/17
Wiederholungen
Grundlagen
1
GZG 16/17 W.Seyboldt
Daten und Zufall - Wdh

Können bei einem Experiment mehrere Ausgänge
auftreten, spricht man von einem Zufallsexperiment
–
–
Beispiel: Würfeln Ergebnismenge S={1,2,3,4,5,6}
Laplace-Experiment: Ein ZE bei dem alle Ausgänge
gleichwahrscheinlich sind.
1
Die Wahrscheinlichkeit ist dann 𝑝 =
|𝑆|
(|S| = Anzahl der Elemente)
–
Beispiel: Würfeln ist ein Laplace-Experiment
–
Gegenbeispiel: Reißzweck werfen und überprüfen ob Nagel oben liegt.
Gegenbeispiel: „Zwei Würfel werfen und die Augensumme bestimmen“ ist kein
Zufallsexperiment.
Etwa: Die drei kommt zweimal so häufig vor wie die zwei.
a) roter Würfel 1, blauer 2 oder roter 2 und blauer 1 p(3)=2/36
b) roter Würfel 1, blauer 1 p(2)=1/36
p(7)=6/36
–
2
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Ereignis A – p(A)



Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von S, der Menge
der Ergebnisse oder Ausgänge des ZE.
Beim Würfeln kann A z.B. die Menge aller geraden
Augenzahlen sein, also A = {2,4,6}
P(A) = Wahrscheinlichkeit, dass ein Ausgang von A eintritt.
= Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elemente von A

3
Beispiel: „Roten und blauen Würfel werfen und Augenzahl
bestimmen“
A = Augensumme ist kleiner als 4
A = {2,3} p(A) = p(2) + p(3) = 1/36 + 2/36 = 1/12
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Gegenereignis als Hilfe



Wenn A ein Ereignis ist, dann ist das Gegenereignis
𝐴ҧ das Ereignis, das eintritt, wenn A nicht eintritt.
WICHTIG: 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴) .
Anwendung: Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim
„Würfeln mit zwei Würfeln und Augensumme
bestimmen“ eine Augensumme größer als 3 erzielt
1
11
ist 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − =
12

4
12
Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig,
wenn 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃(𝐵) gilt.
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Bäume – mehrstufige ZE

Aus einer Urne mit 6, gelben 3 roten und
1 blauen Kugel wird genau 2 mal gezogen.
Wie groß ist die W, bei genau 2mal
Ziehen eine gelb zu ziehen?
1.Pfadregel: P(Weg)=Produkt der
Pfadwahrscheinlichkeiten.
2.Pfadregel: P(Ereignis)= Summe der
Wahrscheinlichkeiten der Pfade
3 2 3 1 3 1 1 2 1 1 1 1 8
P(genau 1 mal Gelb) = 10
∗ + ∗ + ∗ + ∗ = + + + =
3 5 3 5 9 10 3 5 5 15 15 15

P(Gelb tritt nicht auf) = 1-P(mindestens 1 mal Gelb) =




3 2 3
10 3 5
1 2
10 3
1 3 1
5 5 15
9 2
15 5
1− ∗ + ∗1+ ∗ =1− + + =1− =
5
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Zufallsvariable ZV

Zufallsvariable X: Jedem Element der
Ergebnismenge wird eine Zahl zugeordnet.
𝑋: 𝑆 → ℝ

Beispiel: Einen roten und blauen Würfel werfen und
die Augensumme bestimmen.
S = {(1,1), (1,2), … (2,1), … (6,1), … (6,6)}
𝑋: 𝑆 → ℝ
𝑎, 𝑏 ↦ 𝑎 + 𝑏
|S|=36
X = Bestimme die Augensumme
etwa X(3,4)=7 oder X(5,1)=6
6
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Zufallsverteilung V



Die Wahrscheinlichkeit für einen Wert einer ZV ist
P(X=3) = P({Ergebnisse, die X auf 3 abgebildet}
Die Zufallsverteilung ist die Abbildung V, die jedem
Wert einer Zufallsvariable, die Wahrscheinlichkeit
zuordnet, mit der dieser Wert auftritt.
𝑉: 𝑋 𝑆 → ℝ
𝑎 ↦ 𝑃(𝑋 = 𝑎)
Beispiel: Verteilung des der ZV „Einen roten und
blauen Würfel werfen und die Augensumme
bestimmen“.
𝑉(2) =

7
1
36
, 𝑉(3) =
2
36
, …,𝑉 7 =
6
36
1
6
= , . . , 𝑉 12 =
1
36
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