Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)
Gegeben
I Menge
Ω (Wahscheinlichkeitsraum,
Menge aller
möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments),
I Abbildung
P : P(Ω) → [0, 1] (Wahrscheinlichkeit):
A ⊂ Ω (Ereignis) wird eine Zahl P (A)
Jeder Teilmenge
zwischen 0 und 1 zugeordnet (Wahrscheinlichkeit, dass
das Ereignis eintritt).
mit folgenden Eigenschaften (KolmogorovAxiome):
1.
2.
P (Ω) = 1 (sicheres Ereignis),
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ), falls A ∩ B = ∅
(Additionsregel für unvereinbare Ereignisse).
Beispiel fairer Würfel
Ω = {1, ..., 6} mit P ({i }) = P (i ) =
Augenzahlen i = 1, 2, ..., 6.
bzw. allgemeiner
P (A) =
1
6
· #A
1
6 für jede der möglichen
für jede Teilmenge
(#A bezeichnet die Anzahl der Elemente von
A).
A⊂Ω
Z. B. entspricht das Ereignis
Augenzahl
ist nicht durch 3 teilbar
A = {1, 2, 4, 5} mit P (A) = 64 = 23 .
der Menge
B : Augenzahl durch 3 teilbar
C : Augenzahl durch 5 teilbar gilt
Für die Ereignisse
P (B ∪ C ) = P (B ) + P (C ) =
1
3
+
1
6
=
1
2
= 50%.
und
Folgerungen aus den KolmogorovAxiomen
I
I
I
I
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) für beliebige A, B ,
P (A) ≤ P (B ), falls A ⊂ B (Monotonie),
P (A) = 1 − P (A),
c
wobei A = A das Komplementärereignis zu A bezeichnet.
P (∅) = 0 (unmögliches Ereignis)
Beispiel
P (Augenzahl
durch 2 oder 3 teilbar )
= P ({2, 4, 6}) + P ({3, 6}) − P ({6}) =
1
2
+ 31 −
1
6
=
2
3.
Laplace-Experiment
Ω
endliche Menge mit
P ({x }) =
P (A) =
=
1
n
1
n
für alle
n
Elementen und
x ∈A
(Gleichverteilung),
mal Zahl der Elemente von
A
Zahl der güstigen durch Zahl der möglichen Fälle.
Beispiele
I fairer Würfel
I Münzwurf:
P (Wappen) = P (Zahl) =
1
2
= 50%
I Ziehen einer Spielkarte aus 32:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ass gezohen wird, ist
4/32
=
1
8
= 12, 5%.
Beispiel Lotto
49
6
Möglichkeiten, 6 aus 49 Zahlen zu ziehen:
Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahlenkombination ist
49
6
1/
= 1/13.983.816 < 0, 00001%
(Ziehen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge)
Andere Urnenmodelle
Mit Berücksichtung der Reihenfolge gibt es beim Ziehen von 6
aus 49 Zahlen
49
49!
43! Möglichkeiten
· 48 · ... · 44 =
⇒ P ({x }) =
43!
49!
= 1/10.068.347.520
Mit Zurücklegen (d. h. Zahlen können mehrfach gezogen
werden) und Berücksichtigung der Reihenfolge gibt es
49
6
Möglichkeiten
⇒ P ({x }) = 49−6 = 1/13.841.287.201
Zwei Würfel
6
· 6 = 36
Möglichkeiten, jede hat Wahrscheinlichkeit 1/36.
Ω = {(i , j ) : 1 ≤ i , j ≤ 6}
mit
P (i , j ) =
1
36 .
A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} (erster Würfel 2)
und B = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} (zweiter Würfel 3)
Mit
ist
1
6 und
1
P (2, 3) = 36
=
P (A) = P (B ) =
P (A ∩ B ) =
P (A) · P (B )
Unabhängigkeit
A
und
B
heiÿen
unabhängig,
wenn
P (A ∩ B ) = P (A) · P (B )
Interpretation:
Das Eintreten von Ereignis
Einuss auf die Wahrscheinlichkeit von
B
A
hat keinen
und umgekehrt.
Beispiele
A = Augenzahl des ersten Würfels
B = Augensumme gerade ist
P (A) = P (B ) = 12 und P (A ∩ B ) = 41 ,
I Mit
gerade und
also sind die beiden Ereignisse unabhängig.
A = erster Würfel 4 und B = Augensumme
1
1
ist P (A) = , P (B ) =
6
12 und
1
1
P (A ∩ B ) = P (4, 6) = 36
6= 16 · 12
,
also sind A und B nicht unabhängig.
Mit A = erste gezogene Spielkarte ist ein Ass
und B = zweite Karte ist ein Bube ist
P (A) = P (B ) = 81 und
4
1
P (A ∩ B ) = 81 · 31
= 62
6= 81 · 18 ,
I Mit
I
d. h. die beiden Ereignisse sind nicht unabhängig.
10
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unabhängigkeit umformuliert:
P (A ∩ B ) = P (A) · P (B ) ⇔ P (A) = P (A ∩ B )/P (B ).
Allgemein deniert man die
unter B
bedingte Wahrscheinlichkeit von A
als
P (A|B ) =
P (A ∩ B )
.
P (B )
Interpretation: Wahrscheinlichkeit
dass B eingetreten ist.
für
A,
wenn bekannt ist,
Bemerkungen
I
I
P (A|B ) ist nur deniert, wenn P (B ) > 0.
Falls P (A), P (B ) > 0, so gilt
A und B unabhängig ⇔ P (A|B ) = P (A) ⇔ P (B |A) = P (B ).
Beispiele bei zwei Würfeln
I
A:
Augensumme 10,
Dann ist
P (A) =
⇒ P (A|B ) =
P (B |A) =
I
I
1/36
1/6
1/36
1/12
=
3
36
=
1
3
B : erster Würfel 4,
1
= 12
,
P (B ) = 61 , P (A ∩ B ) =
1
6
6= P (A) =
6= P (B ) =
1
12 sowie
1
6.
A: Augensumme 7, B : erster Würfel 6,
1
P (A|B ) = 11//36
6 = 6 = P (A) sowie
P (B |A) = 61 = P (B ),
d. h. A und B sind unabhängig.
A: 6 Richtige beim Lotto,
B : die ersten 5 gezogenen Zahlen stimmen,
1
P (A|B ) = 44
≈ 2, 27% > P (A) sowie
P (B |A) = 1 6= P (B ).
1
36
Totale Wahrscheinlichkeit
P (A) = P (A ∩ B ) + P (A ∩ B )
= P (B ) · P (A|B ) + P (B ) · P (A|B ).
Allgemeiner
P (A) =
wenn
Pn
k =1
P (Bk ) · P (A|Bk ),
Ω = B1 ∪ ... ∪ Bn
mit
Bi ∩ Bj = ∅
Wahrscheinlichkeitsraumes ist.
eine
Zerlegung
des
Beispiel
P (S )
Wahrscheinlichkeit, dass eine E-Mail Spam ist.
P (G )
Wahrscheinlichkeit, dass eine E-Mail das Wort Gewinn
enthält.
Bekannt:
P (S ) = 0, 25,
P (G |S ) = 0, 19
und
P (G |S ) = 0, 01,
d. h. jede 4. Mail ist Spam und 19% aller Spammails sowie 1%
aller NichtSpamMails enthalten das Wort Gewinn. Es folgt
P (G ) = P (S ) · P (G |S ) + P (S ) · P (G |S ) = 0, 055,
also enthalten 5, 5% aller Mails das Wort Gewinn.
Formel von Bayes
Aus
P (B ) · P (A|B ) = P (A ∩ B ) = P (A) · P (B |A)
P (B |A) =
folgt
P (B ) · P (A|B )
P (B ) · P (A|B )
,
=
P (A)
P (B ) · P (A|B ) + P (B ) · P (A|B )
bzw. bei einer Zerlegung
Ω = B1 ∪ ... ∪ Bn
P (Bk ) · P (A|Bk )
P (Bk |A) = Pn
.
i =1 P (Bi ) · P (A|Bi )
Anwendung: Bayes'scher Spamlter
Beispiel:
P (S ) = 0, 25
(25% SpamMails),
P (G |S ) = 0, 19
(19% davon enthalten das Wort Gewinn)
P (G |S ) = 0, 01
(1% der übrigen Mails enthalten das Wort Gewinn)
Dann folgt
P (S ) · P (G |S )
P (S ) · P (G |S ) + P (S ) · P (G |S )
0, 25 · 0, 19
=
≈ 0, 864,
0, 25 · 0, 19 + 0, 75 · 0, 01
P (S |G ) =
d. h. eine Mail mit dem Wort Gewinn ist zu 86, 4% Spam.
Binomialverteilung
n
unabhängige Wiederholungen eines Experiments mit zwei
möglichen Ausgängen (1 Erfolg, mit Wahrscheinlichkeit
und 0 kein Erfolg, mit Wahrscheinlichkeit 1
− p)
Beispiel
I
I
nfacher Münzwurf, p = 0, 5
nfaches würfeln, 6 = Erfolg (p =
1
6)
Modell
n
o
Ω = {0, 1}n = (ω1 , ..., ωn ) : ωi ∈ {0, 1} ,
P ({ω}) = p k · (1 − p )n−k ,
wobei
k
Anzahl der Einsen.
p
Gesamtwahrscheinlichkeit für k Erfolge
ω ∈ Ω mit k Einsen mal P ({ω})
n
p k · (1 − p )n−k = bn,p (k ).
k
Zahl der
gleich
Beispiel: Wahrscheinlichkeit für ...
b10;0,5 (6) ≈ 21%,
3 Sechsen bei 10 mal würfeln: b10;1/6 (3) ≈ 16%,
30 Sechsen bei 100 mal würfeln: b100;1/6 (30) ≈ 0, 038%,
I 6 mal Wappen bei 10 Münzwürfen:
I
I
I zwischen 25 und 34 Sechsen bei 100 Würfen:
P34
k =25
b100;1/6 (k ) ≈ 2, 2%,
I zwischen 11 und 20 Sechsen bei 100 Würfen:
≈ 80, 5%.
Beispiel
Binomialverteilung mit
n = 20
Form einer Glockenkurve hat.
und
p = 0, 6,
die die typische
Erwartungswert
einer Zufallsgröÿe
X,
die reelle Zahlen als Werte hat, ist
deniert als
EX =
X
ω · P (ω)
ω∈Ω
Beispiel Augenzahl beim Würfeln
EX =
1
6
· 1 + 16 · 2 + 16 · 3 + 61 · 4 + 16 · 5 + 61 · 6 = 3, 5
(mittlerer oder durchschnittlicher Gewinn)
Eigenschaften
I
I
E (X + Y ) = EX + EY ,
E (X · Y ) = (EX ) · (EY ),
falls
X
und
Y
unabhängig sind.
Beispiel: zwei Würfel
Die durchschnittliche Augensumme ist 3, 5
+ 3, 5 = 7.
Das Produkt der beiden Augenzahlen ergibt im Durchschnitt
3, 5
2
= 12, 25.
Erwartungswert der Binomialverteilung
Beim einmaligen Ausführen des Experiments ist der
Erwartungswert
EX1 = p .
Es folgt, dass der Erwartungswert für die Zahl der Erfolge
beim
n-maligen
Durchführen des Experiments
EXn = n · EX1 = np
ist.
Beispiel 100 mal Würfeln
Im Durchschnitt werden 100
·
1
6
= 16 23
Sechsen erwartet.
Varianz
Maÿ für die Streuung um den Erwartungswert:
Ist
EX = X ,
so setzt man
V (X ) = E (X − X )2 =
X
(ω − X )2 · P (ω)
ω∈Ω
Beispiel Würfel
V (X ) =
1
6
· (1 − 3, 5)2 + 16 · (2 − 3, 5)2 + 61 · (3 − 3, 5)2
+ 16 · (4 − 3, 5)2 + 61 · (5 − 3, 5)2 + 61 · (6 − 3, 5)2
=
35
12
Standardabweichung ist deniert
q
35
Beispiel ist σ =
12 ≈ 1, 7.
Die
Im
≈ 2, 9
als
σ=
p
V (X ).
Varianz einer Summe
Sind
X
und
Y
unabhängig, so ist
V (X + Y ) = V (X ) + V (Y )
Beispiele
I Die Varianz der Augensumme zweier Würfel ist
≈ 2 · 2, 9 = 5, 8,
die Standardabweichung etwa 2,4.
I Die Varianz einer binimialverteilten Zufallsgröÿe ist
n · p · (1 − p ).
Beim 100maligen Würfeln ist die Varianz für die Zahl
der Sechsen z. B.
100
· 16 ·
5
6
≈ 13, 9
und die Standardabweichung
≈ 3, 7.