Unterrichtsplanung:
Einfuhrung in
Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7. Klasse
Didaktische Hintergrundinformation:
Wichtige Begriffe: Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeit, Zufallsvariable,
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Anmerkungen: Es wurde bewusst ein kombinatorischer Zugang zur Einführung der Zufallsvariable
und Wahrscheinlichkeitsfunktion gewählt. Dieser erscheint dem Autor dieses Dokuments sehr
natürlich und intuitiv verständlich, denn:
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses werden einfach die Anzahl der Günstigen
Ausgänge durch die Anzahl der Möglichen Ausgänge dividiert. Es wird eben kein (unbewiesener)
Multiplikations- oder Additionssatz verwendet.
Dieser Einstieg berücksichtigt somit keine Zufallsereignisse mit nicht gleichwahrscheinlichen
Ausfällen (zB Werfen einer gezinkten Münze mit Wahrscheinlichkeit 70% für Wappen). Nicht
gleichwahrscheinliche Ausfälle können direkt nach dem Einstieg als Erweiterung des Konzeptes
eingeführt werden.
Zufallsexperiment:
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment bei dem der Ausgang vor der Durchführung ungewiss ist,
also nicht vorhergesagt werden kann. Ein gutes Beispiel dafür ist das Werfen eines Würfels.
Der Würfel wird geworfen, die geworfene Augenzahl kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen.
Die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Werte ist gleich 1/6. Das heißt: Durchschnittlich wird jeder
Wert bei mehrmaligem Durchführen des Zufallsexperiments bei 1/6 der Versuche auftreten.
Beispiel 1: Werfen eines Würfels
1
2
3
4
5
6
Wahrscheinlichkeit 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Wahrscheinlichkeit
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
1
2
3
4
5
6
Meistens sind die Wahrscheinlichkeiten für die Versuchsausgänge jedoch nicht so einfach ersichtlich.
Als weiteres Beispiel betrachten wir das Werfen von zwei Würfeln. Um die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten der möglichen Ausgensummen (2-12) zu berechnen betrachten wir alle Möglichkeiten wie
die Würfel fallen können.
Beispiel 2: Werfen von zwei Würfeln
Augenzahl des 2. Würfels
Augenzahl des 1. Würfels
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Für einige Augensummen gibt es also mehr mögliche Würfelkombinationen, für andere weniger.
Beispielsweise tritt die Zahl 7 in sechs verschiedenen Kombinationen auf, die Zahl 12 in nur einer
Kombination. Die Gesamtanzahl der Kombinationen beträgt 36, somit ist die Wahrscheinlichkeit dass
die Zahl 12 auftritt 1/36, die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 7 6/36.
Wahrscheinlichkeiten der möglichen Augensummen:
Augensumme
2
Wahrscheinlichkeit 1/36
3
2/36
4
3/36
5
4/36
6
5/36
7
6/36
8
5/36
9
4/36
10
3/36
11
2/36
12
1/36
Wahrscheinlichkeit
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Auch mehrmalige Zufallsversuche wie das mehrmalige Werfen einer Münze können als einzelnes
Zufallsexperiment aufgefasst werden.
Im folgenden Beispiel wird eine Münze dreimal geworfen, die Anzahl mit der „Wappen“ auftritt kann
dabei 0,1,2 oder 3 annehmen. Wieder kann man die möglichen Kombinationen mit denen die
einzelnen Anzahlen auftreten überlegen.
Beispiel 3: Anzahl von Kopf bei dreimaligem Münzwurf
Es gibt nur eine Möglichkeit, dass man dreimal Wappen wirft, hingegen gibt es 3 Möglichkeiten dass
man zweimal Wappen wirft. Die Anzahl an möglichen Kombinationen beträgt 8. Also ist die
Wahrscheinlichkeit dreimal Wappen zu werfen 1/8, die Wahrscheinlichkeit zweimal Wappen zu
werfen ist 3/8.
Die Wahrscheinlichkeiten betragen also:
Anzahl von Wappen 0
1
2
3
Wahrscheinlicheit
1/8 3/8 3/8 1/8
Genauso kann man auch das mehrmalige Würfeln mit einem Würfel, bei dem man nach der Anzahl
der Sechser fragt als Zufallsexperiment auffassen.
Beispiel 4: Wurfanzahl bis zum ersten Sechser
Analog zu Beispiel 3
Bei jedem dieser Zufallsexperimente haben wir eine bestimmte Eigenschaft (Augenzahl,
Augensumme, Anzahl der Wappen, Wurfanzahl bis zum ersten 6er) betrachtet die Zahlwerte
annehmen kann.
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Beispiel 4
Eigenschaft
Augenzahl
Augensumme
Kopfanzahl
Wurfanzahl bis zum ersten Sechser
Variablenwerte
1, 2, 3, 4, 5, 6
2, 3, 4, 5, …, 12
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4, …
Die beim Zufallsexperiment betrachtete Eigenschaft heißt Zufallsvariable. Sie ordnet jedem
möglichen Ausgang des Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu.
Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben, zum Beispiel X, Y bezeichnet. Nimmt die Zufallsvariable
bei der Versuchsdurchführung einen konkreten Wert a an, so schreiben wir X=a (zB Augensumme:
X=12). Mit P(X=a) bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert a
annimmt (zB Augensumme: P(X=12)=1/36).
Anmerkung: P(X<a) wird hier bewusst nicht extra aufgeschrieben, da die Bedeutung dieser Notation
offensichtlich ist und nicht von den Schülern auswendig gemerkt werden sollte.
In den Tabellen in den Beispielen 1-4 wurde jedem möglichen Wert der betrachteten Zufallsvariable
eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Solche Zuordnungen bezeichnet man als
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable X.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariable X ordnet jedem möglichen Wert der
Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeit zu.
Anmerkung: Im Schulbuch Mathematik verstehen von Malle, Ramharter, Ulovec und Kandl wird der
Begriff „Wahrscheinlichkeitsverteilung“ fälschlicherweise für Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw.
Wahrscheinlichkeitsvektor verwendet. Siehe „Mathematik verstehen 7“ Seite 203.
Nun sollte der relativ große theoretische Block unbedingt durch selbstständiges Durchführen von
Beispielen gefestigt werden.
Beispiele:
(1) Gib drei weitere Beispiele für Zufallsvariablen an. Beschreibe dabei auch den Zufallsversuch und
gib an, welche Werte die Zufallsvariable annehmen kann.
(2) Ein Würfel wird geworfen. Es sei X die erhaltene Augenzahl. Berechne:
(a) P(X=1)
(b) P(X<3)
(c) P(3<=X<=6)
(3) Beim Drehen eines Rouletterades kommt eine der Zahlen 0, 1, 2, 3, … 36. Das Rouletterad wird
einmal gedreht. Es sei Y die erhaltene Zahl. Berechne:
(a) P(Y=0)
(b) P(Y<25)
(c) P(Y ist durch 3 teilbar)
(4) Zwei Würfel werden geworfen. Es sei X das Produkt der Augenzahlen.
(a) Welche Werte kann X annehmen?
(b) Ermittle die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und stelle diese durch eine Tabelle sowie
ein Stabdiabramm dar.
(5) In einer Urne befinden sie drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen
gezogen. Es sei X die Anzahl der dabei erhaltenen weißen Kugeln.
(a) Welche Werte kann X annehmen?
(b) Ermittle die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und stelle diese durch eine Tabelle sowie
ein Stabdiagramm dar.