spannende Aufgaben für Schüle- rinnen und Schüler mit Lern

spannende Aufgaben für Schülerinnen und Schüler mit Lernschwierigkeiten im Fach
Mathematik
SAL-Bulletin Nr. 102
Seite 1
Dezember 2001
Monika Doebeli.
Einleitung
dipl. math. ETH
Bei der Arbeit in meinem MathematikAtelier, als Lehrerin an Mittelschulen
und Ausbildungsstätten für angehende Primarlehrkräfte, aber auch als Leiterin von Mathematik-Kursen stelle ich immer wieder fest, dass die Mathematik, wenn man sie nicht auf das Rechnen reduziert, auf viele Menschen,
Kinder, Jugendliche und Erwachsene eine hohe Faszination ausübt. Gerade
denjenigen, die mit der Mathematik (oder mit dem Rechnen?) Mühe haben,
wird diese Faszination häufig verunmöglicht, weil man ihnen zu viel Drill
von Fertigkeiten und einen Lernprozess in kleinen und kleinsten Schritten
zumutet. Es gibt eine Fülle von schönen Aufgabenfeldern, die das Rechnen in
Sinnzusammenhängen, die man auf verschiedenen Leistungsniveaus leicht
MathematikAtelier
st. Gallen
verstehen kann, ermöglichen. Dadurch wird das Rechnen dank dem Reiz von
aktivem selbstgesteuertem Tun und der Möglichkeit, selber Zusammenhänge
aufzudecken, interessant und für die Lernenden bedeutungsvoll. Im folgenden werden drei solche Aufgabenfelder skizziert.
1. "Biigeli mit Pfiff"
Rechnen Sie zunächst einmal die folgenden beiden "Biigeli" durch. Sie dürfen
ruhig den Taschenrechner nehmen!
72413 + 13679 =
42135 + 39798 =
30738 + 47194 =
40756 + 41177 =
28304 + 36956 =
39377 + 42556 =
49048 + 28479 =
37998 + 45314 =
27084 + 18956 =
36619 + 46693 =
40726 + 19407 =
35240 + 48072 =
Aus: Rechnen 5. Klasse
Lehrmittelverlag des Kantons Zürich,
1968
Aus: Das Zahlenbuch 5 (Übungsheft)
Verlag Klett und Balmer, Zug 1999
Sie finden auch heute noch in vielen Mathematik-Lehrmitteln unstrukturierte
Aufgaben der Art, wie sie im Biigeli links vorliegen. Ich frage mich, welches
der Nutzen ist, wenn sich Lernende mit solchen Aufgaben herumschlagen
müssen. Besonders dringlich stellt sich diese Frage, wenn es sich um Lernende handelt, welchen Einsicht in Zusammenhänge, Verständnis und häufig
auch Motivation fehlt.
Das Biigeli rechts sieht, von aussen betrachtet, genau gleich aus wie dasjenige
links. Zweifellos werden auch genau die gleichen Fertigkeiten geübt, nämlich
die schriftliche Addition von zwei 5-stelligen Zahlen. Die Struktur innerhalb
des Biigeli führt jedoch dazu, dass sich Lernende selber kontrollieren können.
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Nach der Rechenarbeit kann eine Reflexionsphase anschliessen, in welcher Muster und
2. Rechenbaum
Gesetzmässigkeiten aufgedeckt und erklärt werden. Selbstkontrolle gibt im Gegensatz
zu einer Kontrolle von aussen ein besseres Gefühl (für die Sache aber auch für das
Primarschulstufe
Sekundarschulstufe
Selbstbewusstsein). Es kann auch sehr motivierend sein, wenn Lernende für ihre Mit-
Rechenbaum A
Rechenbaum B
schülerinnen und Mitschüler selber solche "Biigeli mit Pfiff" erfinden dürfen.
Fig. A
gemeint sind Ideen, um
ein mathematisches Problem
ganz oder teilweise zu lösen,
neue Fragestellungen aufzudecken, eine vorgegebene
Aufgabe abzuändern und zu
lösen sowie ähnliches
Fig. B
Kreatlvltllt
gemeint sind Ideen, um
ein mathematisches Problem
ganz oder teilweise zu lösen,
neue Fragestellungen aufzudecken, eine vorgegebene
Aufgabe abzuändern und zu
lösen sowie ähnliches
Die fett gedruckten Zahlen (Pri l11 arschulstufe) bzw. Terme (Sekundarschulstufe) sind gegeben. Die Kursiv
gedruckten Zahlen bzw. Terme sind zu bestimmen.
In der Fig. A sind die drei Bereiche «Leistung», «Engagement» und «Kreativität»
Mögliche Aufgaben zu den Rechenbäumen (Beispiele für die Primarschulstufe):
isoliert. Das ist bei lern schwachen Kindern meistens so. Wenn man sie nach dem Sinn
1. Wähle anstelle der fett gedruckten Zahlen in den grauen Kästchen eigene Zahlen
und berechne die Zahlen in den weissen Kästchen.
fragt, den die Mathematik für ihr persönliches Leben heute hat, dann können sie
darauf oft keine Antwort geben. Sie engagieren sich nicht wirklich für die Mathematik,
2.
Beginne mit dem Rechenbaum A.
echtes Interesse an der Sache fehlt ihnen und Kreativität erleben sie nicht in Bezug auf
Vergrössere nur die Zahl im hellgrauen Kästchen
mathematische Fragestellungen. Leistung (besonders auch gute Leistung) bedingt
jedoch Engagement, Interesse und Kreativität. Umgekehrt kann eine gute Idee so viel
a)
um 1
b)
um2
Energie freisetzen, dass man nicht ruhen mag, bevor man sie ausprobiert hat oder
c)
um3
dank dieser Idee sogar ein Problem gelöst ist. Nach der Lösung des Problems kennt
d)
usw.
und berechne die Zahlen in den weissen Kästchen.
man sich damit so gut aus, dass sich unter Umständen eine weiterführende Frage
geradezu aufdrängt. Damit ist klar, dass die Fragestellung, d.h. die mathematische
Aufgabe gehaltvoll sein muss. Gerade lernschwache Kinder sollten in der Mathematik
Vergleiche die Zahlen im untersten Kästchen. Was fällt dir auf?
3.
oder das dunkelgraue.
immer wieder Gelegenheit bekommen, ihre eigenen Ideen und Lösungswege verfolgen
zu dürfen. Erstens können dann Lehrkräfte von diesen Kindern lernen, wie sie denken
und ihnen auf ihren Denkwegen zur Seite stehen, zweitens erleben sich Kinder als aktiv
Gleich wie vorher, wähle aber anstelle des hellgrauen Kästchens das mittelgraue
4.
Erfinde eigene Rechenbäume und stelle dir ähnliche Fragen wie oben.
Siehe dazu auch "Das Zahlenbuch ", Band 6, Seite 11.
Gestaltende und nicht als Muster nachvollziehende Ausführerinnen und Ausführer.
Leider sind die Aufgaben, mit welchen lernschwache Schülerinnen und Schüler in der
Der Auftrag in Aufgabe 1 ermöglicht den Kindern ein freies Erkunden des für sie
Mathematik konfrontiert sind, sehr oft völlig uninteressant. Wie soll sich da Engage-
vielleicht noch neuen Aufgabentyps. Viele Kinder probieren hier auch an die Grenzen
ment und Kreativität einstellen?
des ihnen bekannten Zahlenraumes zu gehen.
Beispiele: Über 100 hinaus rechnen; zuerst nur mit reinen Zehnerzahlen, dann auch
mit gemischten Zahlen rechnen; mit Buchzahlen rechnen; mit negativen Zahlen rech-
In der Fig. B überschneiden sich die drei Bereiche. Wie kann man das erreichen? Die
Antwort ist überraschend einfach! Wir haben sie bereits gegeben. Es braucht interessante Aufgaben. Noch interessanter als das "Biigeli mit Pfiff" sind freilich substantielle
Aufgabenformate wie etwa der Rechenbaum, die Zahlenmauer und viele andere. Sie
nen ("unter Null" finden viele Lernende sehr spannend!) und ähnliches.
Falls sie so etwas nicht von sich aus tun, kann man sie dazu anregen: "Mach mal einen
sehen im folgenden zwei Ideenskizzen, die zeigen wie Schülerinnen und Schüler auf
Rechenbaum, mit ganz schwierigen Zahlen." Im Gegenzug dazu aber auch: "Mach
verschiedenen Schulstufen mit solchen Aufgabenformaten arbeiten können.
mal einen Rechenbaum mit ganz einfachen Zahlen."
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o
Aufgaben 2 und 3 regen zu operativem Verändern der Aufgabe an. So zu üben ist sehr
produktiv, da sich dank operativen Veränderungen Strukturen zeigen. Zum Beispiel:
- Wenn ich die Zahl im hellgrauen Kästchen um 1 erhöhe, dann erhöht sich die Zahl
im untersten Kästchen um 13 (respektive um b).
- Wenn ich die Zahl im mittelgrauen Kästchen um 1 erhöhe, dann erhöht sich die Zahl
im untersten Kästchen um 12 (respektive um a).
- Wenn ich die Zahl im dunkelgrauen Kästchen um 1 erhöhe, dann wird die Zahl im
untersten Kästchen um 1 kleiner.
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3. zahlenmauer
Lässt man den Kindern genug Zeit für solche Betrachtungen wird es für sie ganz
selbstverständlich, selber weitere Fragen zu stellen.
Beispiele:
- Was passiert, wenn ich alle drei Zahlen um 1 vergrössere?
(Antwort: Wenn ich alle drei Zahlen um 1 vergrössere, dann wird die Zahl im untersten Kästchen um 25 grösser. Das ist die Summe der beiden Zahlen im hellgrauen und
im mittelgrauen Kästchen.)
- Was passiert, wenn ich die Zahl im mittelgrauen und diejenige im dunkelgrauen
Kästchen verdopple?
(Antwort: Wenn ich die Zahlen im mittelgrauen und im dunkelgrauen Kästchen verdopple, dann wird auch die Zahl im untersten Kästchen doppelt so grass.)
Primarschulstufe
Sekundarschulstufe
Zahlenmauer A
Zahlenmauer B
Die fett gedruckten Zahlen (Primarschulstufe) bzw. Terme (Sekundarschulstufe) sind gegeben. Die Kursiv
gedruckten Zahlen bzw. Terme sind zu bestimmen.
Mögliche Aufgaben zu den Zahlenmauern (Formulierung für die Sekundarschulstufe):
1. Beginne mit der Zahlenmauer A. Vergrössere in der Grundschicht eine Zahl um
eine beliebige Zahln. Wie verändert sich der Deckstein?
2. Beginne wieder mit der Zahlenmauer A. Verändere in der Grundschicht den
zweiten Stein von links so dass im Deckstein die Zahl 35 herauskommt.
3. Beginne mit der Zahlenmauer B.
Vergrössere den Term links aussen in der untersten Schicht
a)
um 1
b)
um2
c)
um 3
Auf ganz natürliche Art und Weise ergibt sich in diesem Rahmen auch Sprachunterricht. Lernende können Antworten formulieren und aufschreiben, neue Fragen stellen
und beantworten sowie kleine Berichte oder mathematische Aufsätze schreiben über
das, was sie gemacht und herausgefunden haben. Freuden und Leiden sollen dabei
ebenso zum Ausdruck kommen wie mathematische Beobachtungen und Entdeckungen.
Darüber hinaus zeigt sich in diesem Beispiel wie Lernende im Fach Mathematik neue
Bereiche ihrer Kreativität entwickeln können. Sei es, indem sie die Fragen weiter
variieren, sei es, indem sie neue Rechenbäume zeichnen und rechnen, sei es, indem sie
zu Rechenbäumen eigene Rechengeschichten erfinden. (Siehe dazu: "Das Zahlenbuch",
Band 6, Seite 14-15).
Durch solche Fragestellungen angeregt wird ohne Zweifel viel gerechnet und geübt. Da
die Strukturen, die sichtbar werden, überraschend sind, besteht die Chance, dass die
Welt der Zahlen das Interesse der Lernenden weckt.
umk
und berechne die übrigen Terme.
Vergleiche die Decksteine. Was fällt dir auf?
4. Gleich wie vorher, aber anstelle des Terms links aussen wählst du einen der mittleren oder denjenigen rechts aussen.
5. Gleich wie vorher, aber anstatt nur einen Grundstein, wählst du zwei, drei oder
alle vier Grundsteine und erhöhst sie je um 1,2,3, ... und um k.
6. Beginne mit der Zahlenmauer B.
Verändere einen, zwei, drei oder alle vier Terme in der Grundschicht
a) halbiere sie
b) verdopple sie
c) addiere x
und berechne die übrigen Terme.
Vergleiche die Terme der Decksteine. Was fällt dir auf?
d)
o
Aufgaben für die Primarschulstufe findet man in den Zahlenbüchern. (Zum Beispiel
Band 1, Seite 51 oder Band 6, Seite 32-33)
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Lösung zu Aufgabe 3:
Lösung zur Aufgabe 1:
Erste Zahl von links um n vergrössern:
Der Deckstein wird um n grösser.
Zweite Zahl von links um n vergrössern: Besonders überraschend fällt das Resultat
aus, wenn man bevor zuerst Vermutungen anstellt. Häufig vermuten Lernende, dass
sich der Deckstein auch um n vergrössert (gleich wie vorher) oder dass er sich um 2 n
vergrössert (weil nun der zweite Stein von links vergrössert wird). Es ist aber anders.
Man stellt fest: Der Deckstein wird um 1, bzw. 2, bzw. 3 ... grösser. Allgemein kann
man sagen: "Wenn ich den Stein links aussen in der Grundschicht um k erhöhe, dann
erhöht sich auch der Deckstein um k." In diesem Beispiel erleben die Lernenden die
Algebra nochmals, aber anders als vorher, als eine gros se Hilfe. Anstelle der Zahlen 1,
2,3, ... nimmt man einen Platzhalter k und kann so mit einem einzigen Satz eine Regel
formulieren, die für alle Zahlen (insbesondere auch für diejenigen, die man in den
Aufgaben a) bis c) genommen hat) gilt. Mit dieser Regel ist es nun leicht, eine Zahlenmauer anzugeben, bei welcher der Deckstein zum Beispiel 100 beträgt. Lernende
begegnen hier auf eine ganz natürliche Weise noch einer anderen Art von Gleichungen.
Hier ist es eine Gleichung mit fünf Variablen. Sie lautet
a + 3b + 3e + d + k = 100
Zweite Zahl von links um n vergrössern:
Der Deckstein wird um 3 n grösser.
Analog lö~t man die Aufgabe für den dritten und vierten Grundstein.
Aufgabe 2 kann man natürlich durch Probieren lösen. (Unbedingt machen!) Nach
einem Blick zurück zu Aufgabe 1 geht es aber auch mit Hilfe einer einfachen Gleichung. Für den Deckstein gilt 20 + 3 n =35. Diese Gleichung kann man nun nach n
auflösen.
20 + 3n =35
1-20
3n =15
I3
n=5
Hier begegnen die Schülerinnen und Schüler den Gleichungen in einem innermathematischen Sinn-Zusammenhang. Es ist für Lernende immer einfacher, sich auf ein abstraktes Thema einzulassen, wenn sie einsehen, wie und wo Gleichungen auftreten
können. Besonders schön ist hier, dass sie bei der Beschäftigung mit den Zahlenmauern erleben können, wie sie mit der Hilfe von Gleichungen Fragen ohne aufwendiges
Zur Lösung darf man für vier Variable Zahlen wählen. Die fünfte muss dann passend
berechnet werden. Beispiel:
Lösung zu Aufgabe 4
"Pröbeln" beantworten können.
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0
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Man stellt fest: Der Deckstein wird um 3, bzw. 6, bzw. 9 ... grösser. Allgemein kann
man sagen: "Wenn ich den zweiten Stein links aus sen in der Grundschicht um k erhöhe, dann erhöht sich der Deckstein um 3 k."
Der Term im Deckstein gibt nun auch zu Überlegungen der folgenden Art Anlass.
- Wenn die Summe a + d durch drei teilbar ist, dann ist auch der Deckstein durch drei
teilbar.
- Wenn d doppelt so gross ist wie a, dann ist der Deckstein ein Vielfaches der Zahl 3.
- Wenn k = 0 und a = b = c = d ist, dann ist der Deckstein ein Vielfaches der Zahl 8.
Die Beispiele zeigen, wie auch im Algebra-Unterricht ganzheitlich und produktiv geübt
werden kann. Die Lernenden können mit Zahlenmauern spielerisch an wichtige Themen der Algebra herangeführt werden. Gerade dann, wenn Schülerinnen und Schüler
bereits Blockaden aufgebaut haben, kann es möglich sein, sie mit so offenen Aufgaben
wieder für das Fach zu gewinnen.
zusammenfassung
Ganzheitliche Zugänge zu neuen Themen (sei es der Einstieg in einen neuen Zahlenraum, der Einstieg in das kleine lxI, in die Algebra oder ein anderes Gebiet der Mathematik) geben Lernenden die Möglichkeit, selber Fragen zu stellen. Dadurch lässt
sich ein Mathematikunterricht etablieren, in welchem nicht die Lehrperson die Fragen
stellt, deren Antworten sie schon kennt. Vielmehr kommen die Fragen von den Lernenden selbst. Es entsteht eine echte Gesprächssituation. Die Variation und das SelberErfinden von Aufgaben ermöglicht den Lernenden darüber hinaus Einsichten in die
Strukturen der Mathematik. Sie merken dabei "worauf es ankommt" und sind so auch
besser in der Lage, Aufgaben zu lösen. Es gibt viele Aufgabenfelder, die dafür geeignet
sind!
Fortsetzung in der nächsten Ausgabe
Literatur
Hans Magnus Enzensberger: Der Zahlenteufel, Hanser Verlag
John Mason: Das Hexen lxI, Verlag Oldenbourg
Petra Scherer: Aktiv entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht in der Schule für
Lernbehinderte, Edition Schindele
Wieland/Hengartner (Hrsg.): Das Zahlen buch, Band I bis 6, Verlag Klett&Balmer,
Zug
Wittmann/Müller: Handbuch produktiver Rechenübungen, Band I und 2, Klett Verlag
Stuttgart