Übungen zu E6: Festkörperphysik WS 2008/09 Blatt 12 Ausgabe

Übungen zu E6: Festkörperphysik
WS 2008/09
Blatt 12
Ausgabe:
Besprechung:
15.01.09
22.01.09
1. Ferromagnetismus von Gadolinium
Experimentell hat der Ferromagnet GdCl3 ein effektives magnetisches Moment µeff ' 7.97µB und
ein Sättigungsmoment µm ' 6.98µB . Zeigen Sie, dass die Annahme eines ausschließlich von 4fElektronen hervorgerufenen Ferromagnetismus bei GdCl3 gerechtfertigt ist, wobei die 4f-Elektronen
bei den Gd3+ -Ionen lokalisiert sind. Bestimmen Sie dazu zunächst die Elektronenkonfiguration von
Gd3+ (die von Gd kann z. B. unter http://www.webelements.com/ nachgeschlagen werden). Berechnen Sie aus diesen Informationen die für Gd3+ –Ionen theoretisch erwarteten Momente µeff und µm
und vergleichen Sie diese mit den experimentell gefundenen.
2. Weiss’sche Molekularfeldnäherung
Ein System nicht wechselwirkender Dipolmomente erfährt unter dem Einfluss eines externen Magnetfeldes B eine Magnetisierung der Form:
M(T ) = ngµB JBJ (x),
(1)
wobei n die Anzahldichte der Dipole, g der Landefaktor, J die Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses
und BJ (x) die Brillouinfunktion
2J + 1
1
1
2J + 1
coth
x − coth
x
(2)
BJ (x) =
2J
2J
2J
2J
mit x = gµB JB/kB T ist.
Im Folgenden betrachten wir wechselwirkende Dipole: In der Weiss’schen Molekularfeldnäherung
wird der Einfluss aller anderer Dipole auf einen einzelnen Dipol durch eine effektive magnetische
Feldstärke HM = λ M mit der dimensionslosen Molekularfeldkonstanten λ beschrieben. Man beschreibt das System wechselwirkender Dipole also wie nicht-wechselwirkende Dipole, die sich in
einem (effektiven) Magnetfeld Beff = µ0 Heff befinden.
Es soll die Temperaturabhängigkeit der Sättigungsmagnetisierung eines Ferromagneten für T < Θ
(Curie-Temp.) bestimmt werden. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(a) I) Zeichnen Sie M(x) im Bereich 0 ≤ x ≤ 2 mit J = 3/2.
II) Bestimmen Sie M(x) mithilfe der Molekularfeldnäherung, also indem Sie in den Ausdruck
x = gµB JB/kB T das äußere Magnetfeld B durch Beff = B + BM ersetzten. Betrachten Sie nur
den Fall ohne äußeres Magnetfeld (B = 0).
III) Zeichnen Sie Beispiele für M(x) aus II) in den Graph zu I) für die Fälle T < Θ, T = Θ und
T > Θ ein. Beachten Sie dabei, dass eine spontane Magnetisierung (also M(T ) > 0 für B = 0)
nur für T < Θ auftritt.
IV) Bestimmen Sie Θ(λ ) mithilfe der Näherung für x << 1:
BJ (x) '
J + 1 J 2 + (J + 1)2 3
J +1
x−
x .
3J
3J
30J 2
(3)
(b) Mit dem Ergebnis aus a) kann man x in Abhängigkeit der Curie-Temperatur durch
x'
3J Θ M(T )
J + 1 T M(0)
(4)
ausdrücken.
I) Bestimmen Sie zunächst M(T = 0).
II) Zeigen Sie mit I), dass die Temperaturabhängigkeit der spontanen Magnetisierung einer
ferromagnetischen Probe bei tiefen Temperaturen:
3 Θ
M(T )
1
' 1 − e− J+1 T
M(0)
J
(5)
ist. Zeigen Sie dazu vorab, dass für x → ∞ gilt:
coth(x) ' 1 + 2e−2x
III) Zeigen Sie nun aus I), das knapp unterhalb der Curie-Temperatur für T → Θ gilt:
s
M(T )
10 (J + 1)2
T
'
.
1−
M(0)
3 J 2 + (J + 1)2
Θ
(6)
(7)
IV) Zeichnen Sie M(T )/M(0) im Bereich 0 ≤ T ≤ Θ in Abhängigkeit der Temperatur näherungsweise unter Verwendung der soeben berechneten Grenzfälle mit J = 3/2.