Quantenbeschreibung der MOS-Struktur: Das zweidimensionale

Kapitel 8
Quantenbeschreibung der
MOS-Struktur: Das zweidimensionale
Elektronengas
8.1
8.1.1
Hierarchie der Näherungen für Bauelemente
Semiklassische Näherung, Drift-Diffusionsmodell
Im vorherigen Kapitel haben wir die MOS-Struktur in der relativ groben semiklassischen Näherung behandelt. In semiklassischer Näherung setzen wir voraus, dass das Festkörpersystem in kleine Zellen einteilbar
ist, die jede für sich als kleiner Festkörper behandelt werden kann. Innerhalb einer bei x gelegenen Zelle
wird das elektrostatische Potenzial V(x) als konstant angesehen. Wir definieren dann die Funktion der potenziellen Energie Ψ(x) = −eV(x) der Elektronen und das elektrochemische Potenzial φ = µ + Ψ(x) und
schreiben für die Elektronendichte im lokalen Gleichgewicht
−
n(~r) = NL e
E L (~r)−φ
kB T
−
= NL e
E L −µ
kB T
− kΨ(~rT)
e
B
= n0 e
− kΨ(~rT)
B
,
(8.1)
unter der im vorherigen Kapitel eingeführte Annahme V(~r ∈ Substrat) = 0 und φ(~r ∈ Substrat) = µ, wobei
das Substrat der geerdete feldfreie Halbleiter ist.
8.1.2
Mesoskopische Beschreibung
Es erweist sich, dass eine semiklassische Beschreibung nur für typische Strukturlängen oberhalb von typischerweise hundert Nanometern gültig ist. Die Inversionselektronenschichten in MOS-Systemen weisen
jedoch eine deutlich kleinere Abmessung von etwa zehn Nanometern auf. Dieses entspricht maximal hundert Atomlagen. Eine so geringe Anzahl von Atomen kann nicht eingeteilt werden in Zellen, von denen
wir annehmen, dass die Bandstruktur des Volumenhalbleiters ausgebildet ist. Es sind daher Korrekturen zu
erwarten, die wir in der nächstbesseren Näherung der Enveloppenfunktionen behandeln wollen. Wie bereits
diskutiert, wird in dieser Näherung für die mikroskopische Einteilchen-Wellenfunktion ψ(~r) der Ansatz
ψ(~r) = u0 (~r)F(~r),
(8.2)
eingeführt. Hier ist u0 (~r) die gitterperiodische Funktion im Zentrum des relevanten Konstantenergieellipsoids (’valleys’, das Blochband n wird als gegeben vorausgesetzt). Für die auf der Skala von einigen zehn
1
2KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
Nanometern veränderliche Enveloppenfunktion F(~r) (Hüllfunktion) haben wir eine effektive Schrödingergleichung hergeleitet
#
"
~2
(8.3)
− ∗ ∆ + E0 + U(~r) F(~r) = EF(~r).
2m
Hier nehmen wir eine isotrope effektive Masse m∗ an, E0 ist die Energie des Bodens des betrachteten valleys
im Substrat und
U(~r) = −eV(~r)
entsprechend Ψ(~r) in der semiklassischen Näherung.
(8.4)
Stoßen zwei Materialien aufeinander, macht E0 einen Sprung und wird ortsabhängig, E0 = E0 (~r). Ein
solcher Sprung tritt im Potential der MOS-Struktur in Abbildung ?? an der p − S i/S iO2 Grenzfläche auf.
Gleichung (8.3) zeigt, dass ein Bandkantensprung wie ein Potentialsprung wirkt. Systeme, in denen die
Enveloppenfunktionsnäherung gültig ist, werden auch als mesoskopische Systeme bezeichnet. Verglichen
mit der semiklassischen Näherung treten hier zusätzliche Quanteneffekte auf, die man auch als geometrische
Quanteneffekte bezeichnet. In der MOS-Struktur ist dies die Subbandquantisierung, die wir im Folgenden
behandeln werden.
8.1.3
Atomare Beschreibung, Tight-binding -Näherung
Unterhalb von typischerweise zehn Nanometern bricht die Enveloppennäherung zusammen und die Wellenfunktion muss auf atomarer Ebene berechnet werden. Dies kann sehr gut in der Tight-binding -Näherung
geschehen, die in der Vorlesung ’Festkörpertheorie’ behandelt wird. Systeme auf dieser Längenskala sind
molekularelektronische Systeme.
8.2
Enveloppen-Näherung für die MOS-Struktur: Subbandquantisierung
In diesem Kapitel legen wir die Wachstumsrichtung der p-MOS Struktur in z-Richtung, wobei z = 0 die
Grenzfläche zwischen Oxyd und p-Halbleiter angibt (s. Abb. 8.1). Da unser Interesse den Inversionselektronen gilt, schreiben wir Gl. (8.3) in der Form
" 2
#
~
− ∆ + E L + U(z) − E F(~r) = 0,
(8.5)
2m
wobei E L die Leitungsbandkante des wie im vorherigen Kapitel geerdeten p-Halbleitersubstrats bezeichnet
und m die effektive Leitungsbandmassse. Die Oxydbarriere wird als unendlich hoch genähert, E L (z ≤ 0) =
∞, was zur Setzung
F(x, y, z ≤ 0) = 0
(8.6)
führt. Bei der Berechnung der Wellenfunktionen können wir uns daher auf den Bereich des p-Halbleiters
beschränken. Die Translationsinvarianz in x, y-Richtung führt auf den Ansatz
ei(kx x+ky y)
F(~r) = p
ξ j (z).
L x Ly
Nach Einsetzen in Gl. (8.5) erhält man
" 2 # i(kx x+ky y)
~2 d2
~
e
2
2
k + ky −
+ E L + U(z) − E p
ξ(z) = 0.
2m x
2m dz2
L x Ly
(8.7)
(8.8)
8.2. ENVELOPPEN-NÄHERUNG FÜR DIE MOS-STRUKTUR: SUBBANDQUANTISIERUNG
3
Abbildung 8.1: (a) Bänderschema einer idealen MOS-Struktur mit einem p-dotierten Substrathalbleiter
für starke Inversion. In Gegensatz zur Behandlung der Inversionselektronen im semiklassischen Modell
(s. Abb. ?? (d)) liegt die Leitungsbandkante an der Grenzfläche unterhalb des chemischen Potenzials. Die
Inversionselektronendichte ist also groß. Da die Dicke der Inversionsschicht klein. Es wird vorausgesetzt,
dass der Rückkontakt geerdet ist, U(z > zd ) ∼ 0. (b) Die elektrostatische Energie der Elektronen U(z). (c)
Die Dichte der ionisierten Akzeptoren NA− (z) in Verarmungsnäherung (s. Abschnitt (8.4).
4KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
Division durch die transversale ebene Welle bringt die Eigenwertgleichung
" 2 2
#
~ d
−
+
E
+
U(z)
−
L
j ξ j (z) = 0
2m dz2
(8.9)
mit der Energie in z-Richtung
~2 2
(k + ky2 ).
(8.10)
2m∗ x
Gleichung (8.9) entspricht mit der in Effektivmassennäherung üblichen Ersetzung φ(z) = E L + U(z) (s. Gl.
(??) der Gleichung (2) in Ref. [4]. Die Randbedingung (8.6) führt in (8.9) auf
=E−
ξ(0) = 0.
(8.11)
Die Gleichung (8.8) hat für > E L , d. h. im klassisch freien Bereich ein Kontinuum von Lösungen. Im
klassisch gebundenen Gebiet < E L liegen diskrete Lösungen j vor. Die dazugehörigen Eigenfunktionen
ξ j können reell und normiert gewählt werden,
Z ∞
dz|ξ j (z)|2 = 1.
(8.12)
0
Die Quantenzahl j wird als Subbandindex bezeichnet. Da E L − µ kB T ist die Besetzung der Kontinuumslösungen sehr klein, welche daher vernachlässigbar sind. Wir erhalten also die durch die Quantenzahlen
λ = ( j, k x , ky ) festgelegten Eigenzustände
ei(kx x+ky y)
Fλ (~r) = p
ξ j (z),
L x Ly
λ → { j, k x , ky }
(8.13)
mit den Eigenenergien
Eλ = j +
~2 (k2x + ky2 )
.
(8.14)
2m
Es wird nun als j-tes Subband die Gesamtheit aller Quantenzustände (8.13) mit festem j aber verschiedenem
k x und ky bezeichnet. Die Größe j ist der Boden (minimale Energie) dieses zweidimensionalen Subbandes
und wird daher auch Subbandenergie genannt. Die Funktionen ξ j sind die Subbandfunktionen.
8.3
Hartree-Näherung
Zur Berechnung der Subbandenergien und -funktionen wenden wir die im Kapitel ’Elektronenzustände
im periodischen Potenzial’ beschriebene Hartree-Näherung an: Für das elektrostatische Potenzial gilt die
Poisson-Gleichung, aus der für die potenzielle Energie der Elektronen U(z) = −eV(z)
d2 U
e2 −
e
=
ρ(z) =
−NA (z) + p(z) − n(z)
2
0 s
0 s
dz
(8.15)
folgt. Die Randbedingungen lauten
U(z → ∞) = 0
wobei
Ns =
Z
U(−d) = −UG ,
∞
dzn(z)
0
und
und
Ndepl =
Z
0
(8.16)
∞
dz[NA− (z) − p(z)].
(8.17)
8.3. HARTREE-NÄHERUNG
5
Die Bedingung für U 0 (0) folgt aus Gl. (??), Ei = Q s /(i ) und d = E = di = i Ei , wobei die mit i
indizierten Größen sich auf den Gateisolator beziehen. Bei Inversion können wir im Prinzip für NA− (z) und
p(z) unsere semiklassischen Ergebnisse (??) und (??) verwenden,
NA− (z) = NA
und
1
1+
2eβ(E A +U(z)−µ)
"
#
µ − EV − U(z)
p(x) = NV exp −
.
kB T
(8.18)
(8.19)
Die Akzeptorniveaus wurden in semiklassischer Näherung von vornherein als atomar angesetzt und auf
atomarer Skala ist auch in der Inversionsschicht das Potenzial langsam veränderlich. Die Löcher werden
aus der Inversionsschicht herausgedrängt und weisen nur in der Nähe und im Inneren des Substrats eine
nennenswerte Konzentration auf. Dort ist das Potenzial aber auch bei Inversion langsam veränderlich. Im
Unterschied zur semiklassischer Näherung wird wegen der starkem Lokalisierung der Inversionsschicht
n(z) quantenmechanisch ermittelt, d. h.
X
X
n(~r) = 2gv
f (Eλ , µ)|ψλ (~r)|2 ∼ 2gv
f (Eλ − µ)|Fλ (~r)|2 .
(8.20)
λ
λ
Hier ist der Faktor 2 durch den Spinfreiheitsgrad bedingt, gv durch die später diskutierte Valleyentartung
und f (x) = 1/[e x/(kB T ) + 1] ist die Fermi-Verteilungsfunktion. Der im Enveloppenansatz ψλ (~r) = u0 (~r)Fλ (~r)
in Gl. (8.2) enthaltene gitterperiodische Anteil u0 (x) wird durch Mittelung über eine Periode eliminiert. Wir
erhalten mit Gln. (8.13) und (8.14) aus (8.20)


X ξ j (z)2 
 X
~2 (k2x + ky2 )


n j ξ j (z)2 = n(z),
(8.21)
f  j +
− µ =
n(~r) = 2gv
L
L
2m
x
y
j
j,k ,k
x
y
mit
nj
=
=



~2 (k2x + ky2 )
1 X 
2gv
f  j +
− µ
L x Ly k k
2m
x y


Z ∞Z ∞


~2 (k2x + ky2 )
2gv
dk x dky D2k f  j +
− µ
|{z}
L x Ly −∞ −∞
2m
L x Ly /(2π)2
=
gv
2π2
Z
0
∞
dk2πk f j +
!
!
Z
~2 k 2
gv ∞
~2 k2
−µ =
dkk f j +
−µ ,
2m
π 0
2m
(8.22)
wobei k2 = k2x + ky2 . Weiterhin wurde die aus den periodischen Randbedingungen k x = n2 π/L x , ky = n2 π/L x
resultierende Zustandsdichte D2k = L x Ly /(2π)2 im zweidimensionalen k-Raum angenommen (s. Gl. (??)).
2 2
Führen wir nun die Variable E⊥ = ~2mk für die kinetische Energie in den lateralen Richtungen ein, ergibt
sich
!#
Z
Z ∞
gv mkB T "
µ − j
gv m ∞
nj =
dE
f
+
E
−
µ
≡
dE
D
(E
)
f
+
E
−
µ
=
ln
1
+
exp
⊥
j
⊥
⊥ 2d
⊥
j
⊥
kB T
π~2 0
π~2
0
(8.23)
(s. Übungen und Gl. (5) von Ref. [4]). Hier ist
D2d (E) =
gv m
.
π~2
(8.24)
6KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
die energieabhängige Zustandsdichte in zwei Dimensionen. Einsetzen in Gl. (8.21) erbringt
"
!#
µ − j
gv mkB T X
2
n(z) =
ξ j (z) ln 1 + exp
.
kB T
π~2
j
(8.25)
Die quantenmechanische Dichte folgt daher unmittelbar aus den Lösungen der Schrödingergleichung (8.9).
Da das in die Schrödingergleichung eingehende Potenzial wiederum durch die Dichte bestimmt wird, führt
die quantenmechanische Hartreenäherung wie die semiklassischer Näherung auf ein Selbstkonsistenzproblem.
Die Größe n j hat die Bedeutung der Flächendichte der Inversionselektronen im j-ten Subband. Um dies
zu zeigen, zerlegen wir die Flächenladungsdichte N s des Inversionselektronengases in die Beiträge der
einzelnen Subbänder,
Z ∞
X
XZ ∞
dzn j ξ j (z)2 =
n j,
(8.26)
Ns =
dzn(z) =
0
wobei mit (8.25)
nj =
j
0
"
!#
µ − j
gv mkB T
ln
1
+
exp
.
kB T
π~2
j
(8.27)
Eine Hartreenäherung für die MOS-Struktur, d. h. eine selbstkonsistente Lösung der Gleichungen (8.9),
(8.15) und (8.21), wurde von F. Stern in Ref. [4] vorgestellt. Sie erbrachten Quantisierungsenergien ∆0 im
Bereich von
∆0 = 0 − (E L + U(0)) ∼ 200 − 400meV
(8.28)
(s. Abb. 8.2 und Abb. 1 von Ref. [4]) und mittlere Abstände zave des Inversionselektronengases von der
Oxydtrennfläche Bereich von
Z ∞
zave =
dzzn(z) ∼ 2 − 30nm
(8.29)
0
(s. Abb. 4 von Ref. [4]).
8.4. ANALYTISCHE BESCHREIBUNG DER INVERSIONSELEKTRONENSCHICHT
7
Abbildung 8.2: Ausschnitt aus Abb. 8.1 mit Illustration Quantisierungsenergien ∆0 und mittleren Abstände
zave in Ref. [4]). Rot gestrichelt die Dreieckspotenzialnäherung.
8.4
Analytische Beschreibung der Inversionselektronenschicht
Um die in (8.28) und (8.29) genannten Größenordnungen zu verstehen, werden wie in Ref. [5] eine Reihe
von Näherungen eingeführt.
8.4.1
Sub-Threshold- und Threshold Potenzial in Verarmungsnäherung
Unterhalb der Schwellspannung j (UG ) ∼ µ ist die Inversionselektronenladung vernachlässigbar, sodass
e2
d2 U
[NA− (z)] .
=
−
0 κ sc
dz2
(8.30)
Hier ist κ sc = 11.5 die Dielektrizitätskonstante im Halbleiter, den wir als Silizium annehmen. In Verarmungsnäherung gilt für die Anzahl der negativ geladenen Akzeptoren


N für 0 ≤ z ≤ zd


 A
0 für z > zd
NA− (z) = 
(8.31)


 0 für z ≤ 0
mit Verarmungslänge zd (s. Abb. 8.1(c)). Für z > zd , im Substrat, herrscht Ladungsneutralität und man kann
in( 8.15) p = 0 = NA− = n = 0 setzen. Für 0 < z < zd , in der Verarmungsschicht, verschwinden die Löcher
und man kann vollständige Ionisation der Akzeptoren annehmen, NA− (0 ≤ z ≤ zd ) = NA . Für die Lösung
von (8.30) mit den Randbedingungen (8.16) U(z = zd ) = 0 und U(−d) = −UG setzen wir an
 κ


für −d ≤ z ≤ 0
zd z κinssc − z2d

2

e
 1
2
NA 
(8.32)
U(z) =
− 2 (z − zd )
für 0 ≤ z ≤ zd ,


0 κ sc

 0
für z > zd .
8KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
wobei κins = 3.9 die Dielektrizitätskonstante des Isolators, hier S iO2 , ist. Aus der Randbedingung U(−d) =
−UG lässt sich zd berechnen
e2
e2 N A 2
20 κins UG
N A zd d −
zd = −UG ⇔ z2d + 2dzd −
=0
0 κ sc
0 κins 2
e2 N A
r
20 κins UG
z2d = −d2 + d2 +
e2 N A
−
⇔
(8.33)
Wir setzen in (8.32)
"
#1/2
e2 NA 2
2κ sc 0 φd
φd =
z ⇒ zd =
,
0 κ sc 2 d
eNA
(8.34)
wobei φd die Bandverbiegung im Halbleiter ist. Gleichung (8.34) entspricht Gl. (7) in Ref. [4]. In Ref. [5]
wird sie numerisch ausgewertet,
zd [µm] = 1.27(φd [V])1/2
1015 cm−3
NA
!1/2 κ sc 1/2
.
11.5
(8.35)
Wenn die Schwellspannung erreicht ist und das Inversionselektronengas sich bildet, ändert sich die Verarmungsschicht nicht mehr wesentlich mit wachsender Gatespannung. Sie wird durch die hinzukommenden
Inversionselektronen abgeschirmt. Bei Bildung des Inversionselektrongases gilt φd ∼ E L − µ ∼ 1eV. Typische Werte von zd liegen daher nach Bildung des Inversionselektronengases im Bereich zwischen 0.1 und
10 µm.
8.4.2
Dreieckspotenzialnäherung
In Dreiecksnährung wird gesetzt
U(z) = U s + eFz,
(8.36)
mit einem optimalen Oberflächenfeld F (s. Abb. 8.2). In Gl. (??) haben wir mittels des Gaussschen Satzes
hergeleitet
Q
0 κ sc 0 +
e
QA =
=−
U (0 ) ⇔ F ∼ U 0 (0+ ) =
(N s + Ndepl )
(8.37)
A
e
0 κ sc
mit der Flächenladung
−
Q
=
A
Z
∞
h
i
en(z) + ρdepl (z) , = N s + Ndepl
(8.38)
0
wobei Ndepl = zd NA . Gleichung (8.36) in (8.9) eingesetzt führt zur Dreieckspotenzialnäherung
!
~2 d2
−
+ eFz − E j ξ j (z) = 0,
2m dz2
(8.39)
E j = j − U s − EL.
(8.40)
mit
Dieses Dreieckspotenzialproblem hat eine analytische Airy-Funktions-Lösung (s. (10a) und (10b) in ??).
Die Airyfunktionen sind definiert als Lösungen der Differenzialgleichung
y00 − xy = 0.
(8.41)
Dies ist eine lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Die zweite linear unbhängige Lösung Bi
divergiert für x → ∞ und wird daher ausgeschlossen. Wie in Abb. 8.3 dargestellt, gilt für positive x
8.4. ANALYTISCHE BESCHREIBUNG DER INVERSIONSELEKTRONENSCHICHT
9
Abbildung 8.3: Schematische Darstellung der Airy Funktion mit unendlich vielen Nullstellen x j .
Ai(x → ∞) = 0, ohne Nullstellen. Für negative x wird Ai(x) eine oszillierende Funktion mit unendlich
vielen Nullstellen x j mit der ungefähren Lage
#2/3
3
3
x j = − π( j + )
2
4
"
für j = 0, 1, 2 . . .
(8.42)
Um (8.39) auf (8.41) zu transformieren, setzen wir zunächst z = z0 u dann ist dz = duz0 . Somit folgt nach
Division von (8.39) durch Minus Energienormierung E0


 1 1 ~2 d2
E j 
eFz0
 ξ̄ j (u) = 0
−
u+
(8.43)
 2
E0
E0
z0 E0 2m du2
mit ξ j (z) ≡ ξ̄ j (u). Ein Vergleich mit (8.41) erbringt
1=
1 1 ~2
z20 E0 2m
und
eFz0
= 1 ⇒ E0 = eFz0 .
E0
(8.44)
Einsetzen der zweiteren Gleichung in die erstere führt auf die Längenskala
!1/3
~2
1 ~2
.
→
z
=
1=
0
2meF
eFz30 2m
(8.45)
Dies bedeutet nach ?? die Größenordnung
z0 = 2.283
N s + ndepl
1012 cm − 2
!1/3
× (κ sc /11.5)1/3 ×
0.916m0
mz
!1/3
.
Typische Werte für z0 liegen zwischen 1 − 10nm oder mehr. Aus (8.43) wird mit (8.44)
" 2
#
d
−
(u
−
Ê
)
j ξ̄ j (u) = 0,
du2
(8.46)
(8.47)
wobei Ê j = E j /E0 .
(8.48)
Wir setzen nun x = (u − Ê j ) und erhalten unabhängig von j
" 2
#
d
−
x
y(x) = 0,
dx2
(8.49)
10KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
mit
!
z
y(x) = Ai(x) = ξ̄ j (u) = ξ j (z) ⇒ ξ̄ j (u) = Ai(u − Ê j ) = Ai
− Ê j = χ j (z).
z0
(8.50)
Die Subbandfunktionen χ j (z) sind also um Ê j verschobene Airyfunktionen. Die erlaubten Werte von Ê j
ergeben sich durch die Randbedingung
0
= χ j (z = 0) = Ai(−Ê j )
⇒
−Ê j = x j E j = E0 |x j | = eFz0 |x j |.
Mit der Näherung (8.42) folgt
Ej =
~2
2m
!1/3 "
3
3
πeF j +
2
4
!#2/3
(8.51)
s.
Dieses bedingt die Größenordnungen
N s + Ndepl
3
E j [meV] = 61.15(i + )2/3
4
1012 cm − 2
!2/3
×
11.5
κ sc
!2/3
×
!
0.916m0
.
mz
(8.52)
Weiterhin lässt sich mit x0 = 2.33 für das technisch entscheidende unterste Subband abschätzen
zave ∼
x0
z0 ∼ z0 .
2
(8.53)
8.5. INVERSIONSELEKTRONENGAS IM QUANTENLIMES: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS11
8.5
Inversionselektronengas im Quantenlimes: Das zweidimensionale Elektronengas
Die Anzahl der Zustände im j-ten Subband mit Energien kleiner als E ist gegeben durch



 Z ∞

g m 
X 


~2 (k2x + ky2 ) 
~2 (k2x + ky2 ) 

v

 =

N j (E) = 2gv
dE 0
+
Θ E −  j +
E
−
Θ
 j

2
2m
2m
0
|π~
{z }
j,k x ,ky
D2d
=





~2 (k2x + ky2 ) 
 .
D2d (E − j )Θ E −  j +
2m
(8.54)
Hier haben wir die in (8.55) hergeleitete energieabhängige Zustandsdichte in zwei Dimensionen
D2d (E) =
gv m
= D2d
π~2
verwendet. Die Gesamtzahl der Zustände mit Energien kleiner als E ist also



X


~2 (k2x + ky2 ) 
N(E) = D2d
(E − j )Θ E −  j +
 .
2m
j
(8.55)
(8.56)
wobei N2d (E) die Anzahl der Zustände mit Energien kleiner als E ist. Es folgt für E , j
D(E) =
X
X
d
dN
Θ(E − j ) (E − j ) = D2d
Θ(E − j )
= D2d
dE
dE
j
j
(8.57)
(s. Abb. ??).
Im idealen Quantenlimes ist die Elektronendichte so klein, dass 0 ≤ µ ≤ 1 und die thermische Verbreiterung so gering, dass die Zustände aus angeregten Subbändern nur vernachlässigbar besetzt sind. Alle
relevanten Zustände führen dann den Index j = 0. Wie in Abb. 8.5 dargestellt liegen im Quantenlimes bei
T = 0 alle besetzten Zustände mit λ = (k x ky , 0) im k-Raum in einem Kreis mit dem Radius
√
kF =
2m(E F − 0 )
~
(8.58)
liegen. Bei endlicher Temperatur wird dieser Kreis aufgeweicht. Die Bewegung in z-Richtung ist dann
quantenmechanisch ausgefroren und das Elektronengas verhält sich dynamisch wie ein zweidimensionales
freies Elektronengas, welches allein mit den Quantenzahlen k x und ky beschrieben wird.
In Abbildung (??) ist demonstriert, dass die Bedingung 0 < µ < 1 für N s + Ndepl < 2 × 1012 cm−2 realisiert
ist. Der energetische Abstand zum nächsthöheren Subband beträgt 5 − 10meV, was in etwa einem sechstel
der Raumtemperatur entspricht. Die zweite Bedingung einer ausreichend kleinen thermischen Verbreiterung
lässt sich daher nur durch sehr niedrige Temperaturen erreichen. Wie wir zeigen werden, tritt der QuantenHall-Effekt nur im idealen Quantenlimes auf und erfordert i. A. Heliumtemperaturen.
12KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
Abbildung 8.4: Zweidimensionales Elektronengas: (a) Lage der Subbandenergien, (b) Zustandsdichte eines Inversionselektronengases: Überschreitet die Energie eine Subbandenergie j macht die Zustandsdichte
einen Sprung um D2d und (c) idealer Quantenlimes: Die Elektronendichte ist so klein, dass 0 ≤ µ ≤ 1 und
die thermische Verbreiterung so gering, dass die Zustände aus angeregten Subbändern nur vernachlässigbar
besetzt sind.
8.6
The modulation doped GaAs/Al xGa1−x As heterostructure
For the practical realization of mesoscopic systems the modulation doped GaAs/Al xGa1−x As heterostructure (MDGH) is of central importance. As shown in Fig. 5 the MDGH is composed of a sequence of GaAsor Al xGa1−x As layers with a central GaAs/Al xGa1−x As heterojunction. The lay-out and the band diagram of
the MDGH are shown in Fig. 5 in detail: On one side of the heterojunction there is a layer of undoped GaAs.
On the other side there is a spacer layer of undoped Al xGa1−x As followed by a layer of n-doped Al xGa1−x As.
The bandgap of Al xGa1−x As is larger than that of GaAs. The difference between the bandgaps in the two
materials is divided in an approximately 60/40-split between the conduction- and the valence band. As a
result there is a discontinuity in both energy bands at the interface between GaAs and Al xGa1−x As. Upon
contact electrons flow from the n − Al xGa1−x As with the larger band gap to the GaAs with the smaller band
gap leaving behind positive ionized donors in the n − Al xGa1−x As. Because of the resulting positive space
charge there is a bending of the bands in the n − Al xGa1−x As and a strong electric field at the interface
between GaAs and Al xGa1−x As. This electric field causes that the electrons that have moved into the GaAs
stay in a narrow layer next to the heterostructure interface. Because of the associated strong confinement
the motion perpendicular to the interface is strongly quantized in so called electrical subband levels[5]. At
low temperatures and moderate areal electron densities only the lowest electrical subband level with energy
E0 is occupied (see Fig. 5(c)). All other subband levels are frozen out. Then, the motion of the electrons in
the layer is dynamically two-dimensional (’two-dimensional electron gas’, 2DEG).
There is a number reasons why in MDGHs very clean two-dimensional electron gases with a large coherence length together with an excellent mobility can be achieved: first, using molecular beam epitaxy the
GaAs host material can be grown with very few impurities, second, the lattice mismatch at the heterostructure interface is negligible, and, third, the scattering potential of the ionized impurities in the n−Al xGa1−x As
is separated from the 2DEG by the spacer layer. Another interesting aspect is the fact that the strength of the
geometric quantum effects is increased by the small effective mass found in GaAs which leads to an enhan-
8.7. DER GANZZAHLIGE QUANTEN-HALL EFFEKT
13
Abbildung 8.5: Im roten Kreis liegen die Zustände mit j = 0 und Eλ ≤ E F . Für T → 0 sind dies die einfach
besetzten Zustände, wobei alle außerhalb des Kreises liegende Zustände unbesetzt sind. Bei einer kleinen
Erwärmung weicht die Besetzung dieser zweidimensionalen Fermikugel thermisch auf.
cement of the particle-in-a-box energies compared to a 2DEG in silicon. In applications Al xGa1−x As/GaAs
heterostructures are the basis for high electron mobility transistors (HEMT) [3] which are also called modulation doped field effect transistors (MODFETS).
8.7
Der ganzzahlige Quanten-Hall Effekt
Die Bildung eines zweidimensionalen Elektronengases kann sehr schön durch den Quanten-Hall Effekt
belegt werden. Dieser Effekt wurde von K. v. Klitzing bei der Untersuchung der Hall-Spannung von SiMOSFETs in hohen Magnetfeldern ( B ≤ 18T ) und bei tiefen Temperaturen (T ∼ 1.5K) gefunden. Er
erhielt hierfür 1985 den Nobelpreis für Physik. Bei den Messungen waren die MOSFETs zusätzlich mit
seitlich am Inversionskanal angebrachten Hallkontakten versehen, sodass eine Hallbar entsteht. In Abb. 8.7
ist eine solche Hallbar gezeigt, die auf einer GaAs/AlGaAs Heterostruktur realisiert wurde. Das Magnetfeld
steht senkrecht zur Ebene des 2DEG. Die Messung wird bei konstantem Strom I durchgeführt, wobei die
Hallspannung U H und die longitudinale Spannung ∆U an den gezeigten Kontakten abgegriffen wird. Wie
in der folgenden Abbildung 8.8 gezeigt, werden im Hallwiderstand RH Plateaus gefunden, die beschrieben
werden durch
1 h
UH
,
M = 1, 2, 3 . . .
(8.59)
RH =
=
I
M e2
Es tritt ein elementarer Widerstandswert h/e2 = 25.8kΩ (v. Klitzing-Konstante) auf. Da dieser Widerstandswert innerhalb eines Plateaus mit einer ungeheueren Präzision unabhängig von der speziellen Probe
angenommen wird, wird der Hall-Effekt zur Definition und technischen Realisierung des Ohms verwendet.
Wie aus den Messergebnissen ersichtlich, verschwindet der longitudinale Widerstand R xx = ∆U/I, wenn
die Hallspannung einen Plateauwert annimmt.
Zur theoretischen Behandlung des Quanten-Hall Effekts gehen wir von der Schrödingergleichung eines
freien zweidimensionalen Elektronengases aus
" 2
#
" 2
!
#
~p
~
∂2
∂2
[H − ]ψ(x, y) =
− ψ(x, y) = −
−
− ψ(x, y) = 0.
(8.60)
2m
2m ∂x2 ∂y2
Im Quanten-Hall Effekt kommt homogenes Magnetfeld in z-Richtung hinzu,
~ = (0, 0, B)
B
und in Landau-Eichung
~ = (By, 0, 0),
A
sodass
~ = ∇ × A.
~ (8.61)
B
14KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
Abbildung 8.6: In a.) the decomposition and in b.) the band diagram of a modulation-doped
GaAs/Al xGa1−x As heterostructure. EC and E F represent, respectively, the conduction band edge and the
Fermi energy??. In c.) we illustrate the wave function associated with the lowest electrical subband which
leads to the two-dimensional electron gas.
~ = ~p + eA/c
~ ersetzt, wobei q = −e
Zur Berüchsichtigung des Magnetfeldes wird in Gl. (8.60) ~p → ~p − qA/c
die negative Ladung des Elektrons ist. Dann lautet der Hamilton


!2
!2

1 e ~2
1  ~
e
~2
1 ~
e
2 2
~p + A =
H=
∂ x + By .
(8.62)
 ∂ x + By − ~ ∂y  = − ∂2y +
2m
c
2m i
c
2m
2m i
c
Dieser Hamilton ist unabhängig von x, sodass wir ansetzen
eikx
ψ(x, y) = √ u(y).
Lx
(8.63)
Dann folgt
!2
~2 2
1 e 2 m eB 2 ~c
~2
m
H = − ∂y +
~k + By =
k + y = − ∂2y + ω2c (y − y0 )2 .
2m
2m
c
2 mc
eB
2m
2
(8.64)
Hier ergeben sich die Definitionen der Zyklotronfrequenz ωc , der magnetischen Länge l und der Zentralkoordinaten y0 ,
eB
~c
ωc =
,
l2 =
und
y0 = −l2 k.
(8.65)
mc
eB
√
Nach Division durch eikx / L x geht (8.60) über in
" 2
#
~
m
− ∂2y + ω2c (y − y0 )2 − u(y) = 0.
(8.66)
2m
2
8.7. DER GANZZAHLIGE QUANTEN-HALL EFFEKT
15
Abbildung 8.7: Hallbar zur Messung des Quanten-Hall Effekts in euiner GaAs/AlGaAs Heterostruktur.
Wir substituieren ȳ = y − y0 und erhalten die Gleichung eines harmonischen Oszillators
#
" 2 2
m 2 2
~ ∂
+
ω
ȳ
−
u(ȳ) = 0.
−
2m ∂ȳ2 2 c
(8.67)
mit den Eigenenergien
1
= En = ~ωc n +
2
!
(8.68)
und den dazgehörigen Eigenfunktionen
!
h
√ i ȳ ȳ2
exp − 2 .
u(ȳ) = u0n (ȳ) = 2n n!l π Hn
l
2l
(8.69)
Die Eigenfunktionen im Ansatz (8.83) sind dann
eikx
eikx
ψ(x, y) = ψnk (x, y) = √ un (ȳ) = √ un (y − y0 ).
Lx
Lx
(8.70)
Durch die Verschiebung y − y0 = y + l2 k ist die Wellenfunktion in y-Richtung um die Zentralkoordinate y0
zentriert. Alle Zustände ψnk mit festem n und verschiedenem k sind entartet und bilden das n-te LandauNiveau. Periodische Randbedingungen in x-Richtung führen auf
k=
2π
m,
Lx
mit
m
ganzzahlig.
(8.71)
Die Anzahl der Zustände pro Fläche L x Ly in einem Landau-Niveau ist gegeben durch
Z Ly /l2
Z Ly
0≤y
0 ≤Ly
X
1
1
1
dy0
1
=
dk =
=
.
Ly L x k
2πLy 0
2πLy 0 l2
2πl2
(8.72)
Hier tritt kein Faktor 2 für den Spin auf, denn bei den hohen angelegten Magnetfeldern wird von einer vollständigen Spinpolarisation des 2DEG ausgegangen. Die Anzahl der besetzten Zustände bei einer
Flächenladungsdichte N s ist
M = Int(N s 2πl2 ) + 1.
(8.73)
16KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
Abbildung 8.8: Schematische Darstellung (a) der Quantisierung des Halllwiderstands nach Gl. (8.59). Typische Magnetfelder im Bereich zwischen 3 − 10T . (b) schematische Darstellung der Peaks im Longitudinalwiderstand bei Plateauwechsel.
wobei Int(x) die größte natürliche Zahl kleiner als x ist. Dadurch, dass Die konstante Zustandsdichte des
magnetfeldfreien 2DEG zerfällt also in Landauniveaus mit einer Anzahl von (2πl2 )−1 Zuständen pro Fläche
des Elektronengases. Wie in Abb. 8.9 gezeigt, ist die Zustandsdichte eines 2DEG im Magnetfeld dann
gegeben durch
1 X
DL =
δ(E − En ).
(8.74)
2πl2 n
Wie schon aus dem klassischen Bild hervorgeht, sind für den Transport die Randzustände wichtig: Im Inneren des 2DEG bilden sich geschlossene Kreisorbitale (Zyklotronorbitale), die keinen Strom führen. Durch
Reflektionen an der Begrenzung werden die randnahen Zyklotronbahnen aufgebrochen und es entstehen
sogenannte ’Skipping Orbits’. Die Skipping Orbits auf der einen Seite der Hallbar erzeugen eine Strom in
die eine Richtung, diejenigen auf der anderen Seite einen Strom in die Gegenrichtung.
Motiviert durch das klassische Modell betrachten wir die quantenmechanischen Zustände in einem unendlich langen metallischen Streifen entlang der x-Richtung. In y-Richtung habe der Streifen eine endlichen
Breite hervorgerufen durch ein Begrenzungspotenzial V(y) (s. Abb. (8.11)). Das Begrenzungspotenzial bewirkt die Aufhebung der Landauniveauentartung im Randbereich. In Gl. (8.94) wird gezeigt, dass eine
Dispersion in der Zentralkoordinate der Form
1
En → En (k) = ~ωc (n + ) + Un (y0 (k)),
2
mit
y0 (k) = −l2 k
(8.75)
entsteht, wobei Un (y0 ) eine vom Landauniveau abhängige, nach oben gebogene Dispersionsfunktion ist.
8.7. DER GANZZAHLIGE QUANTEN-HALL EFFEKT
17
Abbildung 8.9: Zustandsdichte a) 2DEG bei B = 0, b) Aufspaltung in Landauniveaus im starken Magnetfeld, c) Stoßverbreiterung mit Verunreinigungen. Im Zentrum des Landauniveaus sind delokalisierte
Zustände, außerhalb nur lokalisierte.
Aufgrund dieser Biegung fällt die Besetzung der Zustände uny0 mit y0 außerhalb des Streifens rapide ab,
sodass die Elektronendichte außerhalb des Streifens verschwindet (s. Abb. 8.11).
In Gl. (8.95) wird abgeleitet, dass der elektrische Strom im Zustand |ψnk i gegeben ist durch
Ink (y0 ) =
e ∂Un (y0 (k))
e ∂Un (k)
=
.
Lx h
∂k
L x ~ ∂k
(8.76)
Da im Inneren Un (k) verschwindet, ist dort auch Ink gleich null, entsprechend der geschlossenen Zyklotronbahnen. Wegen der Biegung von Un (k) entsteht eine endlicher Strom für y0 in der Nähe des Randes mit
unterschiedlichem Vorzeichen. Dort verwandeln sich die Zustände ψnk zu sogenannten Randzuständen für
die Gl. (8.69) nicht mehr gilt. Für den Strombeitrag aller Zustände mit einem festen Index n ergibt sich bei
T =0
Z
Z
besetzt
X
L x besetzt
e ∂Un (k) e µL
2e
Ink =
=
(8.77)
dk
dUn = (µL − µR )
2π
L x ~ ∂k
h µR
h
k
Dieses bedeutet, dass jedes der M im Inneren des Streifens besetzte Landauniveaus den gleichen Beitrag
liefert, sodass
2e
I = M (µL − µR )
(8.78)
h
In unserem stark vereinfachten Modell gehen wir davon aus, dass die oberen Randzustände mit dem chemischen Potenzial µR im rechten Reservoir im Gleichgewicht sind (s. Abb. 8.10). Aus diesem Reservoir stammen die Elektronen der skipping orbits. Entlang des Transportvorganges bleibt dieses chemische Potenzial
konstant. Die unteren Zustände seien mit dem chemischen Potenzial µL im linken Kontakt im Gleichgewicht. Es resultiert daher für die Hallspannung
U H = µ L − µR ,
(8.79)
wobei die auf einem Strompfad longitudinale Spannung VL verschwindet. Diese Setzung ist natürlich anzweifelbar und wird in der Literatur durch die Verwendung der multiterminal Büttiker Formel verbessert.
18KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
Abbildung 8.10: Zustandsdichte a) klassisches Bild für die Stromleitung durch einen endlichen Halbleiter
im starken Magnetfeld : Die inneren Orbitale ’sehen’ den Rand nicht und es bilden sich daher kreisförmige Zyklotronorbitale aus, die keinen Strom tragen. Durch Reflektionen am Rand entstehen unbegrenzte
stromführende skipping Orbits’. b) Quantenmechanische Randzustände in Landau Eichung.
Wir erhalten aus Gln. (8.78) und (8.79) dennoch richtig
RH =
UH
h 1
=
.
I
2e M
(8.80)
Der Plateauintex M in der gemessenen Quantisierung des Hallwiderstandes in Gl. (8.59) entspricht also der
Anzahl der besetzten Landauniveaus im Inneren der Hallbar. Das Plateau M = 3 in Abb. 8.8 entspricht also
drei besetzten Niveaus im Barinneren. Für wachsende Magnetfelder wird l immer kleiner und damit die
Entartung der Landauniveaus immer größer. Bei konstanter Teilchenzahl werden im Barinneren dann nur
noch zwei Niveaus besetzt sein und im Limes sehr großer Magnetfelder reicht die Entartung des untersten
Landauniveaus aus, um dort alle Elektronen unterzubringen. Umgekehrt führt eine Verkleinerung des Magnetfeldes zu einer Verkleinerung der Zustandsdichte und das M = 3-Plateau geht in das M = 4-Plateau
über.
Wie in Abb. 8.11 (9) illustriert, wandern die Randzustände beim Plateauwechsel nach Innen. Es besteht
dann die Möglichkeit, dass ein Elektron von einem rechtslaufenden Randzustand auf der unteren Seite in
einen linkslaufenden Zustand auf der oberen Seite gestreut wird. Diese Rückstreuung führt zur Zerstörung
des Hall-Plateaus und zur Entstehung der gemessenen Peaks im longitudinalen Widerstand ∆U/I.
8.8. QUANTENMECHANIK VON RANDZUSTÄNDEN IM STARKEN MAGNETFELD
19
Abbildung 8.11: (a) Im Plateaubereich: Die Dispersion En (y0 ). Im Inneren des Streifens verschwindet Uny0 ,
sodass En (y0 ) = (n + 1/2)~ωc Im dargestellten Fall sind nur die beiden unteren Landauniveaus mit n = 0
und n = 1 besetzt, sodass M = 2. Die Randzustände sind streng getrennt. (b) Zwischen den Plateaus: Die
Randzustände wandern nach Innen und ermöglichen eine Rückstreuung, die den Longitudinalwiderstand
erzeugt.
8.8
Quantenmechanik von Randzuständen im starken Magnetfeld
Die Zustände |ψnk i im starken senkrechten Magnetfeld und im Randpotenzial U(y) sind Lösungen der
Schrödingergleichung
H − E|ψnk i = 0.
(8.81)
~ = (By, 0, 0) lautet der Hamilton in Ortsdarstellung
In Landaueichung A
"
#
e 2
1 2
H=
p x + A x + py + V(y),
2m
c
(8.82)
mit den Impulsoperatoren p x/y = −i∂/(∂x/y) und dem Randpotenzial V(y). Weil der Hamilton unabhängig
von x ist, lassen sich Eigenzustände der Form
eikx
eikx
eikx
ψnk (x, y) = √ unk (y) → ψk (x, y) = √ uk (y) ⇔ hx|ψk i = √ hx|ki
Lx
Lx
Lx
(8.83)
20KAPITEL 8. QUANTENBESCHREIBUNG DER MOS-STRUKTUR: DAS ZWEIDIMENSIONALE ELEKTRONENGAS
finden, mit uk (x) = hx|ki. Die Teilchenstromdichte j in x-Richtung ist
e e 1 ∗
e 1 ∗
e 1
jx =
ψk p x + A x ψk − ψk p x + A x ψ∗k = Re ψ∗k p x + A x ψk =
ψk p x + A x ψk .
2m
c
c
m
c
m
c
(8.84)
Es gilt
Z Lx Z Ly
Z Ly
1
hψk | j x |ψk i =
dx
dy j x (y) = L x
dy j x (y) ⇒ I¯k = hψk | j x |ψk i ≡ n1d vk
(8.85)
Lx
0
0
0
mit der x-unabhängigen Gesamtzahl von dN Teilchen im Intervall dx, n1d = dN/dx = 1/L x , und der
Geschwindigkeit vk . Der Teilchenstrom im Zustand |ψk i und somit ist der elektrische Strom
e
Ik = vk .
(8.86)
Lx
Wir bestimmen zunächst den Geschwindigkeitserwartungswert vk im Zustand |ψk i
1
e
1
e
hψk |p x + A x |ψk i = hk|~k + A x |ki.
(8.87)
m
c
m
c
Diese Größe wollen wir zunächst ohne explizite Kenntnis von |ki ausdrücken. Wir definieren hierzu den
effektiven Hamiltonoperator
2
~k + ce A x + p2y
+ V(y),
(8.88)
H=
2m
wobei mit (8.81)
2
~k + ce A x + p2y
H|ki = E(k)|ki und E(k) = hk|H|ki = hk|
+ V(y)|ki.
(8.89)
2m
Es folgt
!
!
!
∂
∂
∂
∂
E(k) = =
hk| H|ki + hk|H
|ki + hk|
H |~ki
∂k
∂k
∂k
∂k
!
!
~k + ec A x
∂
∂
=
|hk H|ki + hk|H
|ki + ~hk|
|ki = ~~vk .
(8.90)
∂k
∂k
m
vk = hψk | j x |ψk i =
Aus hk|ki = 1 ergibt sich nämlich ∂hk|ki/∂k = 0 und somit
!
!
∂
∂
∂
∂
∂
hk| H|ki + hk|H |ki = E(k)
hk| ki + hk| |ki = E(k) hk|ki = 0.
∂k
∂k
∂k
∂k
∂k
(8.91)
Es resultiert
1 ∂E(k)
.
(8.92)
~ ∂k
In erster Ordnung Störungstheorie gilt |ki = |k), wobei |k) das ungestörte Landauniveau ist und mit (8.89)
!
1
E(k) = (k|H|k) → En (k) = (nk|H|nk) = n +
~ωc ∗ +Un (k)
(8.93)
2
~vk =
mit mit
Un (k) = (nk|V(y)|nk) =
Z
Lx
Z
dx
0
Ly
dy
0
1 0
u (y − y0 )2 V(y) =
Lx n
Z
Ly
dyu0n [y − y0 (k)]2 V(y).
(8.94)
0
Schließlich ergibt sich mit (8.86) , (8.92) und (8.94)
Ik =
e d
Un (k)
L x ~ dk
(8.95)
Literaturverzeichnis
[1] G. Czycholl. Theoretische Festkörperphysik. Verlag Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 2000.
[2] O. Madelung. Festkörpertheorie I-III. Heidelberger Taschenbücher, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973.
[3] S. M. Sze. Physics of Semiconductor Devices. John Wiley and Sons, New York, 1981.
[4] F. Stern. Phys. Rev. B, 5:4891, 1972.
[5] T. Ando, A. B. Fowler, and F. Stern. Rev. Mod. Phys., 54:437, 1982.
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[8] X. Wang, Y. Ouyang, X. Li, H. Wang, J. Guo, and H. Dai. Phys. Rev. Lett., 100:206803, 2008.
21