NTS/FK5 UDE ¨Ubungsaufgaben zur Vorlesung Grundlagen der
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NTS/FK5 UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Grundlagen der Nachrichtentechnik 2 Page 1/2 Merkblatt zur Transformation einer Zufallsvariablen Die Zufallsvariable x mit der Wahrscheinlichkeitsdichte fx (x) wird über die zeitinvariante Kennlinie y = g(x) auf die Zufallsvariable y abgebildet und die Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y) ist zu ermitteln. Dafür sind die folgenden Schritte durchzuführen: 1) Abbildungsbereich der Zufallsvariablen Finde den Bereich x ∈ [xmin , xmax ] für den die Wahrscheinlichkeitsdichte fx (x) 6= 0 ist. Der Verlauf von y = g(x) ist nur in diesem Bereich interessant, die Zufallsvariable x kann keinen anderen Wert annehmen. Finde in diesem Bereich das Minimum und das Maximum ymin und ymax der Kennlinie y = g(x). Die Zufallsvariable kann nur Werte in diesem Bereich y ∈ [ymin , ymax ] annehmen, deshalb gilt: fy (y) = 0 für y ≤ ymin und y ≥ ymax . 2) Konstante Abschnitte in der Kennlinie Ist die Kennlinie im Bereich [xa , xb ] konstant, d.h. y = g(x) = c, so werden sämtliche Werte x ∈ [xa , xb ] in diesem Bereich auf den Wert y = c abgebildet, also besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y) bei y = c eine Delta-Funktion mit dem Rxb Gewicht P (x ∈ [xa , xb ]) = fx (x) dx. xa 3) Diskrete Werte der Zufallsvariablen Sollte die Wahrscheinlichkeitsdichte fx (x) an der Stelle x0 eine Delta-Funktion mit dem Gewicht a besitzen (d.h. die Zufallsvariable x nimmt den Wert x0 mit der Wahrscheinlichkeit a an), so wird dieser Wert x0 auf den Wert y0 = g(x0 ) abgebildet, also besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y) bei y0 eine Delta-Funktion mit dem Gewicht a. Solte sich die Delta-Funktion im Bereich eines konstanten Verlaufs der Kennlinie befinden, so wurde diese Delta-Funktion bereits durch 1) transformiert! Date: 19. August 2005 NTS/FK5 UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Grundlagen der Nachrichtentechnik 2 Page 2/2 4) Der sonstige Verlauf der Kennlinie Teile die x-Achse i Bereiche [xstart,i , xstopp,i ] auf, in denen • die Kennlinie abschnittsweise definiert ist und die Kennlinie streng monoton ist • die Wahrscheinlichkeitsdichte fx (x) abschnittsweise definiert ist In den so erhaltenen Bereichen x ∈ [xstart,i , xstopp,i ] besitzt die Kennlinie den funktionalen Zusammenhang yi = gi (x) mit dem jeweiligen Minimum und Maximum ymin,i und ymax,i . Die Wahrscheinlichkeitsdichte lässt sich in den Bereichen als fx,i (x) darstellen und wird für die Bereiche einzeln transformiert. Für den Bereich i mit yi ∈ [ymin,i , ymax,i ] gilt: f (x(yi )) x′,i |gi (x(yi ))| fy ,i (yi ) = 0 ymin,i ≤ y ≤ ymax,i sonst wobei gi′ (x) als Ableitung von g(x) gebildet wird und x(yi ) durch Auflösen von yi = gi (x) nach x gebildet wird. Die gesamte Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y) ergibt sich dann durch Überlagerung aller einzelnen Wahrscheinlichkeitsdichten fy ,i (yi ) sowie den Ergebnissen aus 1), 2) und 3): fy (y) = X i Date: 19. August 2005 fy ,i (yi ) + Ergebnisse aus 1), 2) und 3)
