Kapitel 5 - IAP TU
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Zusammenfassung K it l 5 Kapitel Dynamik y ausgedehnter, g , starrer Körper p 1 Massenschwerpunkt eines ausgedehnten Körpers Summation über alle Massenelemente : r ∑ ri Δmi N v rS = i =1 N ∑ Δm i =1 i r ∑ ri ρi ΔVi N = i =1 N ∑ Δm i =1 i Ö für fü infinitesimal i fi it i l kleine kl i Elemente El t : r 1 r 1 r r rS = r dm d = r ρ (r ) dV d ∫ ∫ MV MV 2 Kräfte am starren Körper F1 betrachte Kraft , die an einem freien, starren Körper angreift FH1 S i ri,s i z rs O FH2 ( ) ( r r 1 r r 1 r Drehmoment : D = ri , S × F1 − ri , S × FH 2 2 2 ) x r r r r ⎛ F1 FH 2 ⎞ ⎟ ≡ DS = ri , S × ⎜⎜ − ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ betrachte Kraft F1, die am Volumenelement dVi des Körpers angreift; wir „zerlegen zerlegen“ die Kraft F1 in ein Kräftepaar F1,FH2 sowie eine Kraft FH1; die Beträge der Kräfte sind gleich; die Kräfte FH1 und FH2 greifen im Schwerpunkt an; F1 und FH2 wirken wie die Kräfte an einer Balkenwaage mit Mitt l kt im Mittelpunkt i Vektor V kt riS Ö Rotation; R t ti di Kraft die K ft FH1 bewirkt b i kt offensichtlich ff i htli h keine k i Rotation R t ti (da (d am anderen Ende der gedachten Balkenwaage die gleiche Kraft F1 in die gleiche Richtung zieht), 3 sondern verschiebt den Schwerpunkt des Körper Ö Translation Trägheitsmoment d.h. die Energie hängt lediglich vom senkrechten Abstand zur Drehachse ab Integration über alle Massenelemente liefert : Ekin = Erot = ω2 2 ∫ ri 2,⊥ dm RotationsEnergie V äquivalent zur kinetischen Energie der Translationsbewegung Ekin = ½mv2 definieren wir (als Entsprechung zur Masse m) das Trägheitsmoment : beachte : Trägheitmoment I wird bestimmt durch die Abstandsverteilung der Massen um Drehachse I = ∫ ri 2,⊥ dm d V Ö Rotationsenergie : Erot 1 = I ω2 2 4 Drehimpuls ausgedehnter starrer Körper Ö L=Iω Ö Rotationsenergie R i i : Erot 2 1 L 2 = Iω = 2 2I 5 Vergleich der physikalischen Größen bei Translation und Rotation Translation Rotation Ort x Winkel ϕ Geschwindigkeit v = dx/dt Winkelgeschwindigkeit ω = dϕ/dt Beschleunigung a = d2x/dt2 Winkelbeschleunigung d2ϕ/dt2 Masse m Trägheitsmoment I Impuls p Drehimpuls L Kraft F Drehmoment D 6 Translation Rotation 2 2 kin. Energie : Ekin 1 p 2 = mv = 2 2m Erot 1 L 2 = Iω = 2 2I Impuls/Drehimpuls : r r p = mv r r L = Iω Kraft/Drehmoment : r r r& & F = ma = m x r& r& r& & D = L = Iω = Iϕ r& r & m x = −D x r& r & I ϕ = −Dϕ Bewegungsgleichung B l i h (bei der Schwingung) : 7 Der Steiner‘sche Satz ► Der Steiner Steiner‘sche sche Satz beschreibt die Relation zwischen dem Trägheitsmoment IA bezogen auf beliebige Achse A und dem Trägheitsmoment IS bezogen auf eine zu A parallele Achse S durch den Schwerpunkt Ö aus Kenntnis von IS lässt sich mittels des Steiner‘schen Satzes IA berechnen I A = IS + M a 2 r R r SP r r a Steiner‘scher Satz A S 8 Bewegungsgleichung der Rotation r r& r& & D = Iω = I ϕ r r& & äquivalent zu : F = m r 1⎛D⎞ 2 Lösung für D = const. const : ϕ (t ) = ⎜ ⎟ t + ω t + ϕ 0 2⎝ I ⎠ äq i alent zu linearer, äquivalent linearer beschleunigter beschle nigter Bewegung Be eg ng in x 9 Drehschwingungen um feste Achse Annahme : Rückstellmoment sei proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage vergleiche Hook‘sches Gesetz der linearen Bewegung : Ö Bewegungsgleichung : F = −D x D = − Dr ϕ Ri ht Richtmoment t Dr I 0 ϕ&& = − Dr ϕ mit dem Trägheitsmoment I0 des Drehtisches Ö Dr 2 & & ϕ = − ϕ ≡ α ϕ I0 Lö Lösung der d Schwingungs-Gleichung S h i Gl i h : ϕ (t ) = ϕ 0 sin (α t ) mit Amplitude ϕ0 und Eigenfrequenz α 10 Hauptachsen für Trägheitsmomente in Matrixform : r ~r L=Iω beachte : I ist eine Matrix mit dem Trägheitstensor I ⎛ I xx ~ ⎜ I = ⎜ I yx ⎜I ⎝ zx I xy I yy I zy I xz ⎞ ⎟ I yz ⎟ I zz ⎟⎠ Ö bei beliebiger Drehachse tragen alle Trägheitsmomente Ijk zu Drehimpuls bei 11 Lx = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z z L Ly = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z ω Lz = I zx ω x + I zy ω y + I zz ω z y Ö die di Beziehung B i h zeigt, i dass d i.d.R. idR L und ω nicht parallel zueinander sind Frage : wann liegt L parallel zu ω ? Lösung : z.B. dann gilt : x alle Nichtdiagonal-Elemente Iik = 0 (i ≠ k) und d Di Diagonal-Elemente l El Ixx = Iyy = Izz = I Ö Körper muss offensichtlich Symmetrie besitzen r r L = Iω mit dem skalaren Wert I 12 ► eine Transformation T, die Einheitsvektoren in KS so nach KS‘ überführt, dass der Trägheits-Tensor diagonal wird, heißt Hauptachsentransformation KS → KS ' T Ö ⎛ I xx ⎜ ⎜ I yx ⎜I ⎝ zx I xy I yy I zy I xz ⎞ ⎛ I x'x' ⎟ ⎜ I yz ⎟ → ⎜ 0 T ⎟ ⎜ 0 I zz ⎠ ⎝ 0 I y'y' 0 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ I z ' z ' ⎟⎠ mathematische Analyse ergibt : ► die Hauptachsen sind Symmetrie-Achsen des Körpers ► bzgl. der Hauptachsen wird der Trägheitstensor diagonal 13 Trägheitsellipsoid z Ö Komponenten der Winkelgeschwindigkeit : γ ω x = ω cos α ω y = ω cos β y β α ω z = ω cos γ liefert durch Vergleich mit : ω x Erot 1 = I ω (α , β , γ )ω 2 2 das Trägheitsmoment bzgl. der Achse ω, in Abhängigkeit von α,β,γ : I ω (α , β , γ ) = I xx cos 2 α + I yy cos 2 β + I zz cos 2 γ + 2 I xy cos α cos β + 2 I xz cos α cos γ + 2 I yz cos β cos γ 14 ► Richtungen (α,β,γ), unter denen Iω(α,β,γ) Extremwerte annimmt, heißen Hauptträgheitsachsen ► die zugehörigen Trägheitsmomente heißen Hauptträgheitsmomente ⎛ I xx ⎜ ~ I HA = ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝ wir i hatten h tt bereits b it früher f üh gesehen h : ► der Trägheitstensor in der Basis d H der Hauptträgheitsachsen tt ä h it h ist i t diagonal di l: 0 I yy 0 0⎞ ⎟ 0⎟ I zz ⎟⎠ d.h. es gilt für alle Nicht-Diagonalelemente : Ixy = Iyz = Izx = 0 eingesetzt in die Formel für Iω(α,β,γ) ergibt sich : I HA (α , β , γ ) = I xx cos α + I yy cos β + I zz cos γ 2 2 2 TrägheitsT ä h i Ellipsoid Trägheitsmoment für Drehung um Achse ω, die definiert ist über Winkel ((α,β,γ) ,β,γ) bzgl. g Hauptträgheitsachsen p g Ö Iω((α,β,γ) ,β,γ) enthält keine Terme Ijk (j ≠ k)) 15 die Rotationsenergie ergibt sich in der Basis der Hauptachsen zu : Ö Bereiche konstanter Rotationsenergie bei Variation der Komponenten ωx,y,z (bzw. der Winkel α,β,γ) sind definiert durch : Erot ( 1 ≡ const. = I xxω x2 + I yyω y2 + I zzω z2 2 ) TrägheitsEllipsoid dies ist offensichtlich die Gleichung der Oberfläche einer Ellipse, in den Variablen ωx,y,z ; vgl. in zwei Dimensionen : z2 = ax2+ by2 Spezialfall : Ixx = Iyy = Izz = I : Ö Erot ( 1 2 2 2 ≡ const. = I ω x + ω y + ω z 2 ) Ö Gleichung einer Kugel 16 Benennung der Hauptträgheitsachsen (a,b,c) : Konvention : Ia ≤ Ib ≤ Ic unter Bezug auf die Hauptachsen wird : I HA (α , β , γ ) = I a cos 2 α + I b cos 2 β + I c cos 2 γ ⎛ La ⎞ ⎛ I aωa ⎞ r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ö Drehimpuls : L = ⎜ Lb ⎟ = ⎜ I bωb ⎟ ⎜L ⎟ ⎜I ω ⎟ ⎝ c⎠ ⎝ c c⎠ 17 für die Energie ergibt sich : Ö Erot Erot ( 1 2 2 2 = I aωa + I bωb + I cωc 2 L2a L2b L2c = + + 2I a 2Ib 2I c ) Rotationsenergie asymmetrischer Kreisel : Ia ≠ Ib ≠ Ic symmetrischer Kreisel : Ia = Ib oder Ib = Ic oder Ia = Ic S i lf ll : Ia = Ib = Ic = I Ö Spezialfall Sphärischer Kreisel Erot r2 1 2 L 2 2 = La + Lb + Lc = 2I 2I ( ) 18 Rotation um freie Achsen bisher betrachtet : Rotation um fest fixierte Drehachse jetzt : Rotation um eine freie (d.h. nicht im Körper fixierte) Achse ► experimentell zeigt sich, sich dass Rotation um die Achsen des kleinsten und größten Trägheitsmoments stabil ist, während bei Rotation um andere Achsen kleinste Störungen zu Instabilitäten (d.h. Torkel-Bewegungen, Umkippen der Achse) führen (a) (b) (c) Betrachte Rotation eines Quaders (asym. Kreisel), der an Faden aufgehängt ist; (a) stabile Rotation um Achse größten Trägheitsmoments Ia; (b) instabile Rotation um Achse des mittleren Trägheitsmoments Ib ; (c) 19 Rotation (b) springt um in sehr stabile Rotation um Achse mit dem größten Trägheitsmoment Ic Euler‘sche Gleichungen wenn Drehimpuls p und Drehachse nicht p parallel sind,, dann ist die Bewegung des Körpers kompliziert Da = I a ω& a + ωcωb (I c − I b ) Db = I b ω& b + ωaωc (I a − I c ) Dc = I c ω& c + ωbωa (I b − I a ) Euler‘sche Gleichungen ► die Euler‘schen Gleichungen beschreiben die Variation der Rotation (Ri ht (Richtung und d Geschwindigkeit) G h i di k it) einer i b li bi beliebigen D hb Drehbewegung b i Wirkung bei Wi k eines externen Drehmoments D (bei kräftefreier Bewegung ist D = 0); die Beschreibung erfolgt im Koordinatensystem der Hauptachsen 20 Dynamik des kräftefreien, symmetrischen Kreisels der sym. sym Kreisel weist drei relevante Achsen/Richtungen auf : Richtung des Drehimpulses L, momentane Drehachse ω, Figurenachse c ► kein k i äußeres ä ß Drehmoment D h t (D = 0) Ö dL/dt = 0 Ö Vektor V kt L ist i t raumfest f t ► wenn c die Symmetrieachse ist, dann ist Ia = Ib ► wenn ω in Richtung der HauptHaupt und Figuren-Achse Figuren Achse c liegt, liegt gilt : ⎛ La ⎞ ⎛ I aωa ⎞ ⎛ 0 ⎞ r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L = ⎜ Lb ⎟ = ⎜ I bωb ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜L ⎟ ⎜ I ω ⎟ ⎜I ω ⎟ ⎝ c⎠ ⎝ c c⎠ ⎝ c c⎠ r Ö L || cˆ Ö stabile t bil Rotation R t ti um raumfeste f t Achse A h (da Achse c räumlich stabil ist) b ht : im beachte i allgemeinen ll i Fall F ll ist i t L nicht i ht parallel ll l zu ω (z.B. wenn alle ωi ≠ 0 und nicht alle Ia,b,c gleich sind) 21 Einwirkung eines Kraftstosses : Nutation r r r L || ω || c es seii anfangs: f Schlag gegen Figurenachse c mit Kraftstoß F⋅dt || x-Achse z ω = (ωx, 0, 0 ωz ) L = (Lx, 0, Lz ) L Lz Li = Ii ωi ωz r r r dL = r × F dt r r : von Ursprung zu Schlagstelle r Ö dL || yˆ r r r Ö L ' = L + dL r r mit : Lz ' = Lz da : dL ⊥ L ω L´ F dL ωx y Lx x Ö Kraftstoß ändert Richtung der Figurenachse in x-Richtung aber : Kraftstoß bewirkt Änderung g dL in y y–Richtung g Ö Drehimpuls L‘ liegt nicht mehr in xz-Ebene (Figurenachse hingegen schon) Ö Drehimpuls und Figurenachse (bzw. Drehachse) sind nicht mehr parallel 22 Ö (momentane) Drehachse ω und Figurenachse c nutieren um Drehimpuls L L´ beachte : unmittelbar sichtbar im Experiment ist nur die Nutation der Figurenachse, nicht d momentanen der t D h h Drehachse g des Vektors ω ((d.h. die beachte : die Länge Rotationsgeschwindigkeit) bleibt bei der Nutation erhalten Ö Energieerhaltung z´ L´c L´ ω y´ x´ 23 Einwirkung eines äußeren Drehmoments : Präzession ► Präzession : Reaktion des Kreisels auf externes Drehmoment, Drehmoment z.B. Lagerung außerhalb Schwerpunkt Ö Drehmoment durch Gewichtskraft Präzession P ä i : Drehimpuls-Vektor D hi l V kt L ändert ä d t Richtung; Betrag |L| bleibt aber konstant W. Pauli und N. Bohr beobachten einen präzedierenden Kreisel (bei der Eröffnung des Instituts ffür Theoretische Physik y in Lund,, 1952)) 24 r r r r r D = r × F = r × Mg wirkt ständig r r Ö ständige Änderung des Drehimpulses : dL ∝ D ≠ 0 r r r r r r dL ⊥ r ; dL ⊥ F ; dL ⊥ L z L S Ö Richtungsänderung von des Drehimpulses L Ö Bewegung B von L auff Kreis K i : Präzession P ä i r y dL x D M Mgr sin α Mgr M ωP = = = L' L sin α I ωK F PräzessionsFrequenz 25
