Der Skineffekt - ief.uni

Der Skineffekt
Prof. Dr. Ursula van Rienen, Institut für Allgemeine Elektrotechnik
27. Januar 2011
Der Skin-Effekt ...
... anhand einer ganz einfachen Anordnung:
Eisen-Kern:
μr=5.000,
κ=106 S/m
Spule mit 15 Windungen
Wechselstrom 1 A,
Frequenzen: 1 Hz, 5 Hz, 50 Hz
2 cm
2
Prof. Dr. U. van Rienen
Von weitem ...
... sieht das B-Feld erwartungsgemäß aus:
nahezu homogenes Feld im Kern
Streufeld,
ausgehend von den "Magnetpolen"
3
Prof. Dr. U. van Rienen
Numerische Feldsimulation – B-Feld
Bei 50 Hz ...:
Mittlerer Querschnitt des Kerns
4
Prof. Dr. U. van Rienen
Numerische Feldsimulation – B-Feld
... bei 5 Hz ...:
Mittlerer Querschnitt des Kerns
5
Prof. Dr. U. van Rienen
Numerische Feldsimulation – B-Feld
... und selbst bei 1 Hz ist
B-Feld
- nicht homogen und
- hat ortsabhängige Phase.
Ursache: Skineffekt
Mittlerer Querschnitt des Kerns
6
Prof. Dr. U. van Rienen
Was passiert da? – Wirbelströme!
50 Hz, ca. 15.000 A/m2:
1 Hz, ca. 300 A/m2:
• Durch Änderung des B-Felds werden Wirbelströme induziert,
schirmen diese aber nach innen ab.
• Felder und Ströme konzentrieren sich mit wachsender
Frequenz am Materialrand.
7
Prof. Dr. U. van Rienen
Eindringtiefe δ
δ :=
2
ωκ μ
Leicht zu merken:
1
δ∝
Frequenz Leitfähigkeit Permeabilität
In der Tiefe δ sind die Felder auf 1/e ≈ 1/3
abgefallen (bei ebener Fläche).
8
Prof. Dr. U. van Rienen
Eindringtiefe δ
Beispiele:
δ=
2
2π f κ μ
Material
μr
κ
f
δ
Kupfer
1
5,76 · 107 S/m
1 MHz
66 μm
Eisen
5.000
1 · 106 S/m
50 Hz
1 mm
Eisen
5.000
1 · 106 S/m
1 Hz
7 mm
Beachte: Bei hochpermeablen ("weichmagnetischen")
Materialien treten selbst bei kleinen Leitfähigkeiten und
Frequenzen niedrige Eindringtiefen auf!
9
Prof. Dr. U. van Rienen
Was kann man dagegen tun? - Lamellierung
Unterbrechung der Wirbelströme durch dünne
nichtleitende Schicht:
1 Hz, ohne Lamelle:
1 Hz, mit Lamelle:
10
Prof. Dr. U. van Rienen
Was steckt hinter dem Effekt der Lamellierung?
Bei einer Flußänderung ∂B/∂t im Spulenkern treten Induktionsspannungen
auf, die im Leiter zu Strömen führen, bei denen wiederum – abhängig von
der Leitfähigkeit des Materials – Joulesche Wärmeverluste auftreten.
Diese Wirbelstromverluste können durch Lamellierung des Kerns, d.h.
Aufteilung in viele durch Papier- oder Lackschichten voneinander isolierte
Bleche, wesentlich reduziert werden, weil so die möglichen Stromwege
beschränkt werden.
11
Prof. Dr. U. van Rienen
Lamellierung führt zu homogenerem B-Feld
5 Hz, mit Lamelle:
5 Hz, ohne Lamelle:
Anwendung:
z.B. Trafo-Bleche
12
Prof. Dr. U. van Rienen
Wie ist der Zusammenhang mit der Diffusionsgleichung?
Wir betrachten einen leitfähigen Halbraum und erzeugen an
dessen Oberfläche ein zeitlich periodisches Feld.
x
leitfähiges
Medium
κ≠0
Vakuum
κ=0
y
z
Die z-Achse zeige ins Innere des Leiters.
13
Prof. Dr. U. van Rienen
Welche Annahmen können wir machen?
x
leitfähiges
Medium
κ≠0
Vakuum
κ=0
y
z
• Entsprechend der vorliegenden Geometrie unseres
Lösungsgebietes können wir annehmen, dass die Feldstärke
weder in x- noch in y-Richtung eine Veränderung erfährt.
• Somit können wir eine Unabhängigkeit von x und y
voraussetzen:
∂
∂
=
=0
∂x ∂y
14
(1)
Prof. Dr. U. van Rienen
Erinnerung: Diffusionsgleichungen für B und E
In der Magneto-Quasistatik konnten wir den Verschiebungsstrom in den Maxwellschen Gleichungen vernachlässigen
und haben die Diffusionsgleichungen für E, J, B und A
hergeleitet. Die Näherung gilt, so lange ω κ/ε.
Wir gebrauchen nun die Diffusionsgleichungen für E und B:
∂E
ΔE = µκ
∂t
ΔB = µκ
15
∂B
∂t
Prof. Dr. U. van Rienen
Diffusionsgleichungen im zeitharmonischen Fall
Bei harmonischer Zeitabhängigkeit und Benutzung der Ihnen
bekannten komplexen Schreibweise
E(r, t ) = E(r ) cos (ωt + ϕ) = R e {E(r ) e j ωt }
H(r, t ) = H(r ) cos (ωt + ψ) = R e {H(r ) e j ωt }
mit den komplexen Amplituden (Zeiger, engl.: phasor)
E (r ) = E (r ) e j ϕ
H(r ) = H(r ) e j ψ
erhalten wir für die beiden Diffusionsgleichungen zunächst
ΔE = j ω µ κE
(2)
ΔB = j ω µ κB
(3)
16
Prof. Dr. U. van Rienen
Zurück zum leitfähigen Halbraum …
Wir verwenden nun Gl. (1) (Unabhängigkeit des Feldes von
x und y Æ partielle Ableitungen gleich Null) und erhalten für
die x- und y-Komponenten der Phasoren E und B:
∂2 E x
= j ω µ κE x
2
∂z
∂2 Bx
= j ω µ κB x
2
∂z
analog für Ey
(4)
analog für By
(5)
Aus dem Induktionsgesetz und dem Ampère‘schen Gesetz
lässt durch Komponentenvergleich bei Beachtung von (1)
und der bekannten Zeitabhängigkeit leicht herleiten, dass
Bz= Ez= 0 gilt.
17
Prof. Dr. U. van Rienen
Wie kommt man von (2), (3) nach (4), (5)?
Im kartesischen Koordinatensystem (nur! dort) ergibt die
Anwendung des Laplace-Operators auf einen Vektor genau
den Vektor, den man erhält, wenn man den Laplace-Oprator
auf die Komponenten anwendet.
In kartesischen Koordinaten:
∂ 2f ∂ 2 f ∂ 2f
Δf = div grad f = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
In Zylinderkoordinaten:
1 ∂
Δf = div grad f =
r ∂r
2
∂ 2f
⎛ ∂f ⎞ 1 ∂ f
⎜ r ∂r ⎟ + r 2 ∂ϕ 2 + ∂z 2
⎝
⎠
18
Prof. Dr. U. van Rienen
Wie kommt man von (2), (3) nach (4), (5)?
Wir schreiben also zunächst (2) und (3) komponentenweise
auf:
∂E x ∂E x ∂E x
ΔE x =
2
+
2
+
2
= j ω µκ E x
∂x
∂y
∂z
∂E y ∂E y ∂E y
ΔE y =
+
+
= j ω µκ E y
2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂E z ∂E z ∂E z
ΔE z =
+
+ 2 = j ω µκ E z
2
2
∂x
∂y
∂z
∂B x ∂B x ∂B x
ΔB x =
+
+ 2 = j ω µκ B x
2
2
∂z
∂x
∂y
∂B y ∂B y ∂B y
ΔB y =
+
+ 2 = j ω µκ B y
2
2
∂x
∂y
∂z
∂Bz ∂Bz ∂Bz
ΔBz =
+ 2 + 2 = j ω µκ B z
2
∂x
∂y
∂z
19
Prof. Dr. U. van Rienen
Wie kommt man von (2), (3) nach (4), (5)?
Nun beachten wir (1), d.h. ∂/∂x = ∂/∂y = 0:
∂E x ∂E x ∂E x
+
+
= j ω µκ E x
2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂E y ∂E y ∂E y
ΔE y =
= j ω µκ E y
+
+
2
2
2
∂z
∂x
∂y
∂E z ∂E z ∂E z
ΔE z =
+
+ 2 = j ω µκ E z
2
2
∂x
∂y
∂z
∂B x ∂B x ∂B x
ΔB x =
+
+ 2 = j ω µκ B x
2
2
∂x
∂y
∂z
∂B y ∂B y ∂B y
+
+ 2 = j ω µκ B y
ΔB y =
2
2
∂x
∂y
∂z
∂Bz ∂Bz ∂Bz
+ 2 + 2 = j ω µκ B z
ΔBz =
2
∂x
∂y
∂z
ΔE x =
20
(4)
(5)
Prof. Dr. U. van Rienen
Wie sieht die Bz-Komponenten aus?
Wir gehen vom Induktionsgesetz aus, beachten die harmonische Zeitabhängigkeit und die Feldinvarianz in x und y:
⎛ ∂E z ∂E y
−
rot E = ⎜
∂z
⎝ ∂y
⎞
⎛ ∂E y ∂E x ⎞
⎛ ∂E x ∂E z ⎞
⎟ e x + ⎜ ∂z − ∂x ⎟ e y + ⎜ ∂x − ∂y ⎟ e z
⎝
⎠
⎠
⎝
⎠
= − j ωB = − j ω ( B x e x + B y e y + B z e z )
⇒
⎧ ∂E z ∂E y
⎪ ∂y − ∂z = − j ω B x
⎪
⎪ ∂E x ∂E z
−
= − jω By
⎨
∂x
⎪ ∂z
⎪ ∂E y ∂E x
⎪ ∂x − ∂y = − j ω Bz
⎩
⇒
21
⎧ ∂E y
⎪ ∂z = − jω B x
⎪
⎪ ∂E x
= − jω By
⎨
⎪ ∂z
0 = Bz
⎪
⎪
⎩
Prof. Dr. U. van Rienen
Wie sieht die Ez-Komponenten aus?
Nun gehen wir vom Ampère‘schen Gesetz aus und beachten
wieder die harmonische Zeitabhängigkeit und die
Feldinvarianz in x und y:
⎛ ∂H z ∂H y ⎞
⎛ ∂H y ∂H x ⎞
⎛ ∂H x ∂H z ⎞
−
−
−
rot H = ⎜
ex + ⎜
ey + ⎜
ez
⎟
⎟
⎟
∂z ⎠
∂x ⎠
∂y ⎠
⎝ ∂z
⎝ ∂y
⎝ ∂x
= J = κ E x e x + κ E y e y + κ E zez
⇒
⎧ ∂H z ∂H y
⎪ ∂y − ∂z = κ E x
⎪
⎪ ∂H x ∂H z
−
= κ Ey
⎨
∂x
⎪ ∂z
⎪ ∂H y ∂H x
⎪ ∂x − ∂y = κ E z
⎩
⎧ ∂H y
⎪ ∂z = κ E x
⎪
⎪ ∂H x
= κ Ey
⎨
⎪ ∂z
⎪ 0 = Ez
⎪
⎩
⇒
22
Prof. Dr. U. van Rienen
Damit haben wir dieses Ergebnis abgeleitet
Wir verwenden nun Gl. (1) (Unabhängigkeit des Feldes von
x und y Æ partielle Ableitungen gleich Null) und erhalten für
die x- und y-Komponenten der Phasoren E und B:
∂2 E x
= j ω µ κE x
2
∂z
∂2 Bx
= j ω µ κB x
2
∂z
analog für Ey
(4)
analog für By
(5)
Aus dem Induktionsgesetz und dem Ampère‘schen lässt
durch Komponentenvergleich bei Beachtung von (1) und der
bekannten Zeitabhängigkeit leicht herleiten, dass Bz= Ez= 0
gilt.
23
Prof. Dr. U. van Rienen
Lösen der Differentialgleichung (4) liefert Ex
∂2 E x
= j ω µ κE x
Die allgemeine Lösung der DGL 2. Ordnung (4)
2
∂z
2
lautet bei Benutzung von p = j ωµκ
E x = Ae pz + Be− pz
Mit
(7)
p = (1+ j ) k
ωµκ
k=
2
erhalten wir
(6)
E x = Ae kz e jkz + Be−kz e− jkz .
24
(8)
(9)
Prof. Dr. U. van Rienen
Über das Induktionsgesetz liefert Ex dann Hy
Wegen (1) ist Ex über das Induktionsgesetz direkt mit Hy
∂E x
= − j ωµH y ,
∂z
verknüpft:
(10)
woraus wir Hy bestimmen:
1 ∂E x
Hy = −
j ωµ ∂z
1+ j
=−
j ωµ
=−
ωµκ
Ae kz e jkz − Be−kz e− jkz )
(
2
( j − 1) κ
2k
(11)
−kz − jkz
kz jkz
−
Ae
e
Be
e )
(
25
Prof. Dr. U. van Rienen
Von der allgemeinen Lösung zur speziellen Lösung
Noch zu bestimmen sind die Konstanten A und B.
Sie ergeben sich aus den Randbedingungen für das
elektrische Feld:
1. Das Feld muss im Innern des Leiters für z→ ∞ auf Null
abklingen, da im Medium eine Leistungsumwandlung in
Joule‘sche Wärme stattfindet.
2. Die Randwerte an der Oberfläche des Leiters sind
vorgegeben.
Damit folgt:
A = 0, B = E 0
aus 1.
aus 2.
26
Prof. Dr. U. van Rienen
Die Lösung und ihr Abklingverhalten
Somit ist die elektrische Feldstärke gegeben durch
E x = E 0e−kz e− jkz
(12)
Amplitude
Mit (11) folgt für die magnetische Feldstärke
κE0
Hy =
(1− j ) e−kz e− jkz
2k
(13)
Die Amplitude von Ex nimmt also in z-Richtung exponentiell
ab. Kennzeichnend für die Abnahme ist der Faktor δ = 1/k
E x (z = δ)
E0
1
1
= ≈
≈ 0.3678
e 2,718
27
(14)
Prof. Dr. U. van Rienen
Eindringtiefe
In der Entfernung δ von der Oberfläche ist die Amplitude
also auf den e-ten Teil, d.h. auf ca. 37% des
Ausgangswertes abgefallen.
Diese Entfernung wird als Eindringtiefe δ (engl. skin
depth) bezeichnet und beträgt
1
2
δ= =
k
ωµκ
(15)
k wird als Dämpfungskonstante bezeichnet.
28
Prof. Dr. U. van Rienen
Eindringtiefe von Kupfer bei 50 Hz und 3 GHz
7
Die Leitfähigkeit von Kupfer beträgt κ = 5,8 ⋅ 10
S
,
m
Vs
seine Permeabilität µ = µ0 = 4π ⋅ 10 Am .
7
Beachte: ω κ/ε ( ≈ 7·1018) gilt bei Kupfer für f < 1 THz.
Für eine Frequenz f = 50 Hz bzw. f = 3 GHz (Kreisfrequenz
ω = 2πf) ergeben sich die Eindringtiefen
δ 50 Hz
2
1
=
=
ω µκ
50
δ 3 GHz =
2
0,066
m≈
m ≈ 1 cm,
7
7
2π⋅ 4π⋅ 10 ⋅ 5,8 ⋅ 10
50
2
0,066
m ≈ 1 µm.
≈
ω µκ
3 ⋅ 109
29
Prof. Dr. U. van Rienen
Frequenzabhängigkeit der Eindringtiefe
Für technische Frequenzen liegt die Eindringtiefe in der Größenordnung
von Zentimetern, während sie für sehr hohe Frequenzen nur Bruchteile
von Millimetern beträgt.
30
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Stromverteilung im Leiter
Wegen J = κE nimmt auch die Stromdichte J exponentiell ab
J x = J 0e−kze− jkz
Den Effekt, dass Feldstärke und Stromdichte außerhalb
der Eindringtiefe nahezu verschwinden, bezeichnet man
auch als Skin-Effekt. Teils wird der Effekt auch als Stromund Feldverdrängung bezeichnet.
Man kann sich modellartig vorstellen, dass der effektive
Gesamtstrom in einer oberflächlichen Schicht der Dicke δ mit
konstanter Stromdichte fließt.
31
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Welleneigenschaften der Lösung
Wenn wir die Zeitabhängigkeit explizit ausdrücken, erhalten
wir aus (5.62) und (5.63)
E x , H y ∼ e−kz e (
j ωt −kz)
(5.66)
bzw. nach Bildung des Realteils
E x , H y ∼ e−kz cos (ωt − kz).
(5.67)
Die Feldstärkewerte verändern sich wie eine
fortschreitende ebene Wellen.
32
Prof. Dr. U. van Rienen
Phasengeschwindigkeit der Welle
Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v der Welle folgt aus
der Beziehung
Ex , Hy ∼ e
−kz
⎡ ⎛ z ⎞⎤
cos ⎢ω ⎜⎜t − ⎟⎟⎟⎥
⎢⎣ ⎜⎝ v ⎠⎥⎦
(5.68)
durch den Vergleich mit Gleichung (5.67) und ergibt die
Phasengeschwindigkeit v
ω
v=
k
(5.69)
Die Feldstärken „wandern“, ähnlich wie eine
elektromagnetische Welle, mit der Phasengeschwindigkeit v
in positive z-Richtung.
33
Prof. Dr. U. van Rienen
Wellenlänge der gedämpften Welle
Weil der Vorfaktor e-kz eine starke Dämpfung der Felder
bewirkt, handelt es sich allerdings um eine gedämpfte
Welle.
Mit der Wellenlänge λ
2π
λ=
k
(5.70)
schreibt sich der Dämpfungsfaktor für z = λ
e−kz = e−2π ≈ 0.002
1,
d.h. nach einer Entfernung von z = λ sind die Felder aufgrund
der Wärmeverluste im Material nahezu verschwunden.
34
Prof. Dr. U. van Rienen
Wellenlänge von Kupfer bei 50 Hz und bei 3 GHz
Wir haben die Beziehungen
2π
λ=
k
und
δ=
also
1
2
=
k
ωµκ
λ = 2π δ
Bei f = 50 Hz bzw. 3 GHz hatten wir für Kupfer bereits
δ ≈ 1 cm bzw. δ ≈ 1 µm berechnet.
Demnach ist λ ≈ 6 cm bzw. λ ≈ 6 µm.
35
Prof. Dr. U. van Rienen
Animation: Magnetfeld und Stromdichte in einem
Leiter
H und J als
Funktion von d
36
Prof. Dr. U. van Rienen
Woher kommen die „Überschwinger“?
E x = Re {E xe jωt } = Re {E 0e − kze − jkze jωt } = Re {E0e jϕ e − kze − jkze jωt }
(12)
{
= Re E0e − kze
{
= Re E0e
− kz
j (ωt − kz +ϕ )
}
Euler-
( cos (ωt − kz + ϕ ) + j sin (ωt − kz + ϕ ))} Formel
= E0e − kz cos (ωt − kz + ϕ )
= E0e − kz cos (ωt − kz ) bei Annahme v. ϕ =0
⎛ ⎛
⎞⎞
⎜ ⎜
⎟ Einsetzen Def. v. k ,
⎟
μκ
− kz
= E0e cos ⎜ ω ⎜ t −
⋅ z⎟⎟
ω
2
⎟ ⎟ Ausklammern v. ω
⎜ ⎜ Verzöger
ung ⎠ ⎠
⎝ ⎝
37
Prof. Dr. U. van Rienen
Ebene zeitharmonische Wellen in verlustbehafteten Medien
Beginn Einschub
Bisher haben wir die Magneto-Quasistatik und damit die
Diffusionsgleichung zum Ausgangspunkt genommen. Die
Permittivität ε spielte keine Rolle.
Als nächstes seien nun Medien betrachtet, die durch die
Permittivität ε, die Permeabilität µ und die Leitfähigkeit κ
gekennzeichnet seien. Freie Raumladungen sollen nicht
existieren.
38
Prof. Dr. U. van Rienen
Ebene zeitharmonische Wellen in verlustbehafteten Medien
Die Wellengleichungen
∂E
∂ 2E
E = µκ
+ µε 2
∂t
∂t
∂B
∂ 2B
B = µκ
+ µε 2 .
∂t
∂t
(21)
(22)
seien als bekannt vorausgesetzt.
In Anpassung an die komplexe Schreibweise der Felder,
führen wir eine komplexe Dielektrizitätskonstante ein:
κ
εk = ε +
= ε (1− j tan δ ε ).
jω
39
(23)
Prof. Dr. U. van Rienen
Ebene zeitharmonische Wellen in verlustbehafteten Medien
κ
εk = ε +
= ε (1− j tan δ ε ).
jω
(24)
Die Leitungsstromdichte wird in εk als Imaginärteil
berücksichtigt.
Dann tritt an die Stelle der reellen Wellenzahl k die
komplexe Wellenzahl k:
k = ω µεk = β − j α
(25)
mit der Dämpfungskonstanten α und der
Phasenkonstanten β.
40
Prof. Dr. U. van Rienen
Ebene zeitharmonische Wellen in verlustbehafteten Medien
Ende Einschub
Das elektrische Feld schreibt sich dann zu
E = E 0e (
j ωt −kr )
= E 0e (
j ωt −βz) −αz
e
,
sofern wir für k einen Vektor in z-Richtung annehmen.
Die Energie, die die Wellen durch die Dämpfung verlieren,
wird in Stromwärme umgewandelt.
Im Fall hoher Leitfähigkeit ist arg k ≈ 45° und damit α ≈ β.
Es war also gerechtfertigt, dass wir statt mit α und β mit der
reellen Wellenzahl k gearbeitet haben.
41
Prof. Dr. U. van Rienen
Praktische Bedeutung der Halbraumgleichungen
Die Abschätzung für die Eindringtiefe erlaubt es, den
unendlichen ebenen Leiter als Näherung für eine zylindrische
Leitung mit großem Durchmesser (Dδ) zu verwenden, die
einen Wechselstrom der Frequenz f führt.
x
Dπ
δ
δ
y
z
D
42
Prof. Dr. U. van Rienen
Simulation eines Leiterstückes
Modell:
Modell des Leiters
Modell des Leiters mit Schirm
Das Modell besteht aus einem Kupferzylinder
(Länge = 30 cm, Radius = 3 cm).
Um Einflüsse des Magnetfeldes des äußeren Stromes zu
vermeiden, wurde die Struktur mit einem supraleitenden
Schirm umgeben, welcher einen Abstand von 1 cm zum
Leiter hat. Der Strom wird durch eine äußere Quelle
eingeprägt.
43
Prof. Dr. U. van Rienen
Stromdichte im Leiterquerschnitt
f wechsel = 1 Hz
f wechsel = 10 Hz
f wechsel = 100 Hz
f wechsel = 1 kHz
44
Prof. Dr. U. van Rienen
Stromdichte im Leiterquerschnitt
f wechsel = 100 kHz
f wechsel = 1000 kHz
Skineffekt: Mit steigender Frequenz konzentriert sich
der eingeprägte Strom auf einen immer dünner
werdenden Ring an der Leiteroberfläche.
45
Prof. Dr. U. van Rienen
Stromdichte im Leiterquerschnitt
Stromdichte entlang des Leiterdurchmessers
(Length = 3 Leiterachse), [1] = 1 kHz
46
Prof. Dr. U. van Rienen
Ferromagnetika
Wie im theoretischen Teil schon angemerkt, ist die Eindringtiefe nicht
nur eine Funktion der Frequenz, sondern auch die
Materialeigenschaften haben signifikanten Einfluss auf die Eindringtiefe.
Zur Verdeutlichung wurde die Simulation mit einem Leiter aus Eisen
wiederholt. Eisen hat eine verminderte elektrische Leitfähigkeit von
etwa 107 S/m, jedoch als ferromagnetischer Stoff ein µr >> 1.
In der Simulation wurde ein Wert von µr = 1000 gewählt.
Speziallegierungen weisen teilweise sogar noch erheblich größere
Werte für µr auf.
47
Prof. Dr. U. van Rienen
Ferromagnetika
Die Simulation wurde bei einer Frequenz fwechsel = 1 Hz
durchgeführt.
Es ist eindeutig zu erkennen, dass sich der Strom auf den
Leiterrand konzentriert.
Dies zeigt eindeutig, dass der Skineffekt nicht nur
ausschließlich in der Hochfrequenztechnik zu finden ist.
48
Prof. Dr. U. van Rienen
Anwendung: Geschirmtes Gehäuse - Aufgabenstellung
Sie bekommen die Aufgabe, einen abgeschirmten Raum
zu entwerfen, in den keine HF-Wellen eindringen können.
• Die Abschirmung ist aus Aluminium in Kastenform.
• Sie soll ebene Wellen ab einer Frequenz von 1 MHz
abschirmen.
• Es ist gefordert, die Amplitude des elektrischen Feldes
innerhalb des Kastens um einen Faktor 106 gegenüber der
Amplitude im Außenraum abzuschirmen.
Die Leitfähigkeit von Aluminium ist 3,7·107 S/m.
49
Prof. Dr. U. van Rienen
Anwendung: Geschirmtes Gehäuse - Annahme
Wir vernachlässigen Reflektionen an der Leiteroberfläche,
d.h. wir nehmen an, dass die Amplitude direkt hinter der
Oberfläche identisch ist zu der an der äußeren Seite der
Oberfläche.
Da Reflektionen das Feld im Innern reduzieren, ist diese
Annahme zulässig. Wir betrachten also den „worst case“.
50
Prof. Dr. U. van Rienen
Anwendung: Geschirmtes Gehäuse – Aufgabenstellung
Wie stark muss die Wanddicke d mindestens sein, um
die Designkriterien zu erfüllen?
Zunächst berechnen wir die Dämpfungskonstante k:
k =
(5.58)
μ=μ 0
ωµ0κ
= πfµ0κ = π⋅ 106 ⋅ 4 ⋅ π⋅ 10−7 ⋅ 3,7 ⋅ 107 = 1,21⋅ 10 4
2
⎡ Np ⎤
⎢ ⎥
⎢⎣ m ⎥⎦
Für die Amplitude an der äußeren und inneren Oberfläche gilt:
10−6 E0 = E0e − kd wende Logarithmus an
⇔ −6ln10 = −kd
⇒
d = 0,001142 m
Die Wand aus Aluminium sollte also 1,142 mm dick sein.
Np: Neper; 1 dB ≈ 0,115 Np
51
Prof. Dr. U. van Rienen
Anwendung: Geschirmtes Gehäuse - Aufgabenstellung
Wie stark muss die Wanddicke d mindestens sein bei
Eisen mit κ = 1·107 S/m und µr = 100 ?
Zunächst berechnen wir die Dämpfungskonstante k:
⎡ Np ⎤
k = πf 100 µ0κ = π ⋅ 10 ⋅ 400 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ 10 = 6,28 ⋅ 10 ⎢ ⎥
⎢⎣ m ⎥⎦
−7
6
7
4
Für die Wandstärke d ergibt sich dann:
6ln10
d=
= 0,00022 m = 0,22 mm
k
Eisen ist also ein besseres Abschirmmaterial, da der Eisenschirm mehr als 5x dünner ist. Trotz des 2,5-fachen Gewichts
von Eisen ist der Schirm leichter als der aus Aluminium.
52
Prof. Dr. U. van Rienen
Anwendung: Geschirmtes Gehäuse - Fazit
Durch Materialien mit noch höherer Permeabilität kann die
Effektivität der Schirmung weiter gesteigert werden.
Üblicher ist es jedoch, sehr gut leitende Materialien wie
Kupfer zur Schirmung zu verwenden, da sie sich einfacher
verarbeiten lassen und auch weitere attraktive Designeigenschaften haben.
53
Prof. Dr. U. van Rienen
Wirbelströme in dünnen Platten - Anordnung
Wir betrachten nun eine dünne leitfähige Blechplatte:
H
d
κ
I
E
I0
co
ch nt
i
l
nd deh
e
un sge
au
t
ω
s
y
z
x
H
b
In ± y-Richtung dringe von beiden Blechseiten eine ebene
Welle ins Innere ein.
E = Ez e z
H = Hx ex
54
(5.126)
Prof. Dr. U. van Rienen
Wirbelströme in dünnen Platten - Aufgabenstellung
Es wird der Hochfrequenz-Widerstand für hohe
Frequenzen gesucht (δ << d).
Die Gleichungen für die Magneto-Quasistatik lauten:
∂H
rot E = −µ
∂t
rot H = κE
(5.127)
(5.128)
Wegen der harmonischen Zeitabhängigkeit folgt aus der
∂H
Diffusionsgleichung (5.45) ΔH = µκ
für H:
∂t
ΔH − j ωµκH = 0.
55
(5.129)
Prof. Dr. U. van Rienen
Wirbelströme in dünnen Platten - Ausgangsgleichung
Unter der Annahme, dass Hx nur von y abhängt, folgt hieraus
mit
∂2
2
H
k
Hx = 0
−
x
2
∂y
1+ j
1+ j
k=
ωκµ =
δ
2
(5.130)
(5.131)
als Kreiswellenzahl und der Eindringtiefe δ nach (5.65).
Gleichung (5.130) entspricht der skalaren Helmholtzgleichung, die wir später (Kapitel 6) ausführlicher behandeln
werden.
56
Prof. Dr. U. van Rienen
Wirbelströme in dünnen Platten – Lösungsschritt 1
Über der Querschnittsfläche A ⊥ ez (⇒ dA = ez) liefert das
Durchflutungsgesetz
∫∫ (rot H − κE) dA = 0
A
−b / 2
b/2
∫
x =−b / 2
Hx
d
y =−
2
dx +
∫
−H x
x =b / 2
d
y =−
2
dx = I0
→H
x
y =−
d
2
I0
=
,
2b
(5.132)
wobei der Beitrag der Schmalseiten d der Querschnittsfläche
zum Umlaufintegral vernachlässigt wurde.
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Prof. Dr. U. van Rienen
Wirbelströme in dünnen Platten – Lösungsschritt 2
Der Lösungsansatz für die skalare Helmholtzgleichung
nach Gleichung (5.130) lautet
ky
H x = C1 e + C2 e
−ky
d
d
mit − < y <
2
2
Die Konstanten C1 und C2 sind die zu bestimmenden
Amplituden der hin- und rücklaufenden Welle.
58
Prof. Dr. U. van Rienen
(32)
Wirbelströme in dünnen Platten – Lösungsschritt 3
Für die Randbedingungen auf der Plattenoberfläche ergibt
sich mit Gleichung (5.132)
I0
H x ( y = d / 2) = − H x ( y = d / 2) =
2b
→
C1 = − C2 = C
I0 / 2b
e−kd / 2 − e kd / 2
I0 e ky − e−ky
I0 sinh(ky )
=
=−
kd / 2
−kd / 2
−e
2b e
2b sinh(kd / 2)
C =
→
(22)
→
Hx ( y )
Hx ( y )
I0k cosh(ky )
1 ∂
=
Hx = −
κ ∂y
2bκ sinh(kd / 2)
59
Prof. Dr. U. van Rienen
(5.134)
(5.135)
(5.136)
Wirbelströme in dünnen Platten – Feldverteilung
Feldverteilung über dem Plattenquerschnitt:
Re {Ez}
E
H
d
κ
I
H
b
l
d
−
2
y
z
0
d
2
Re {Hx}
x
y
Für sehr hohe Frequenzen wird der Strom praktisch
vollständig an die Oberfläche y = ± d/2 verdrängt (Skineffekt).
60
Prof. Dr. U. van Rienen
Wirbelströme in dünnen Platten – Bestimmung RW und Li
Im folgenden werden der Wirkwiderstand RW und die
innere Induktivität Li zugeordnet:
U = I0 (RW + j ωLi ) =
l
∫ E dz = E l
z
(5.137)
z
z=0
Mit Ez ≈ Ez (y = d/2) folgt
I0 k cosh (kd / 2)
I0 (RW + j ωLi ) =
l.
2bκ sinh (kd / 2)
(5.131) →
(5.138)
⎛1+ j d ⎞⎟
RW
Li
1+ j
coth ⎜⎜
+ jω =
⎟⎟
⎜
⎝
2bκδ
l
l
δ 2⎠
eu + e−u
coth u = u
e − e−u
61
→
(5.139)
limcoth (1+ j ) α ≈ 1
α 1
Prof. Dr. U. van Rienen
(5.140)
Wirbelströme in dünnen Platten – RW und Li
E
1
∼ ω
2bκδ
1
1
′
∼
Li =
2bκδω
ω
RW′ =
H
d
κ
I
l
H
b
y
z
(5.141)
(5.142)
x
für den längennormierten Wirkwiderstand R'W und die
längennormierte innere Induktivität L‘i. Für I = 0 in der Mitte
der Platte ergibt sich
1
RW′ (Mitte) =
bκδ
(5.143)
Sein Betrag ist doppelt so groß wie in (40).
62
Prof. Dr. U. van Rienen
Einseitige Stromverdrängung auf einer Bandleitung
Wechselstrom auf 2 Schienen:
d
Et
Für d δ gilt (5.143) für eine
I
H
En
H
d
I
b
Et
einzelne Schiene. Der gesamte
Widerstand der Bandleitung (je
Längeneinheit) ist also
2
′
RW =
bκδ
63
(5.144)
Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsmodell zur Bandleitung
d
Et
I
H
En
H
d
Et
I
b
Als Modell dient ein U-Profil aus Kupfer.
d = 5 cm
b = 20 cm
Die Simulation wurde bei einer Frequenz f = 50 Hz durchgeführt.
64
Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsergebnisse für J für die Bandleitung
Stromdichte im Querschnitt
durch das Profil
Betrag der Stromdichte
Am äußeren Rand erreicht die Stromdichte das 2,5fache des Wertes vom inneren Rand.
65
Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsergebnisse für H für die Bandleitung
Magnetfeld im
Querschnitt durch
das Profil
Analog zu J ist auch H an den äußeren Rändern um den
Faktor 2,5 stärker als an den innen liegenden Rändern.
66
Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsergebnisse für E für die Bandleitung
Elektrisches Feld im Längsschnitt durch das Profil
67
Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsmodell mit größerem Schienenabstand
Wie verändert sich die Stromdichteverteilung für den
Fall, dass beide Schienen weiter von einander entfernt
liegen??
Modell 1
Modell 2
Die stromführenden Schienen befinden sich im zweiten Modell 5cm
weiter voneinander entfernt. Länge und Breite wurden nicht geändert.
68
Prof. Dr. U. van Rienen
Vergleich von J auf beiden Bandleitungen
Modell 1
Modell 2
Mit zunehmendem Abstand konzentriert sich der Strom
immer weiter auf den äußeren Rand des Profils.
69
Prof. Dr. U. van Rienen
Stromverdrängung in Ankernuten
b
E⊗
Fe
µ>>µ0
Cu
H
µ = µ0
Fe
d
Zur Begrenzung des hohen Anlaufstroms bei
Asynchronmotoren werden Tiefnutstromläufer verwendet.
Im Augenblick des Ausschaltens beträgt die Läuferfrequenz
f = 50 Hz und somit δ ≈ 1 cm.
70
Prof. Dr. U. van Rienen
Stromverdrängung in Ankernuten
b
E⊗
Fe
µ>>µ0
Cu
H
µ = µ0
Fe
d
Bei der sehr geringen Läuferfrequenz des laufenden Motors
(Schlupffrequenz) kann mit δ → ∞, d.h. mit dem
Gleichstromwiderstand R0 des Läufers gerechnet werden.
71
Prof. Dr. U. van Rienen
Stromverdrängung in Ankernuten
Wegen µFe µ0 gilt annähernd H ⊥ Fe. Bei genügender
Dicke d δ ist der untere Teil der Schiene stromlos.
Entsprechend (5.143) gilt daher
RW′ =
1
1 µ0 ω
=
bκδ b 2κ
(5.145)
Falls d nicht genügend groß ist, muss eine reflektierte Welle
berücksichtigt werden. Das Resultat wird dann komplizierter.
72
Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsmodell für die Ankernut
Kupferstrang:
Tiefe d = 13 cm
Breite b = 5 cm
Der Läuferblock besteht aus einer Eisenlegierung mit folgenden Daten:
µr = 1000
κ = 1·107 S/m
Die Nut ist mit einem massiven Kupferstrang gefüllt:
µr = 1
κ = 5,7 ·107 S/m
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Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsergebnisse für J in der Ankernut bei 1 Hz
Simulationsergebnisse bei f = 1 Hz:
Die Stromdichte wurde entlang des blau markierten Weges gemessen.
Der größte Teil des Stromes konzentriert sich an der Oberfläche des
Kupferstranges.
74
Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsergebnisse für H in der Ankernut bei 1 Hz
H – Feld bei f = 1 Hz
Die Feldlinien treten fast senkrecht aus dem Eisen aus (bedingt durch
µr Fe µr Cu ).
75
Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsergebnisse für J in der Ankernut bei 50 Hz
Simulationsergebnisse bei f = 50 Hz (Bei 50 Hz läuft der Motor an):
Der Strom konzentriert sich zum größten Teil auf eine etwa 1 cm dicke
Schicht an der Oberfläche des Kupferstranges. Nährungsweise kann
der Gleichstromwiderstand berechnet werden mit R`≈ l / (κ·δ·b).
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Prof. Dr. U. van Rienen
Simulationsergebnisse für H in der Ankernut bei 50 Hz
H – Feld bei f = 50 Hz
Neben dem Magnetfeld an der Oberfläche der Kupferschiene gibt es
einen zweiten Wirbel am oberen Ende. In diesem Bereich fließt ein
Großteil des Stromes!
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Prof. Dr. U. van Rienen