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Versuch 19:
Messung des Erdmagnetfeldes
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Aufgaben:
Bestimmung der Horizontal- und Vertikalkomponente des magnetischen Erdfeldes.
Messverfahren:
Messung des Erdmagnetfeldes durch Überlagerung mit elektrisch erzeugten Magnetfeldern mit Hilfe der Tangentenbussole. Anwendung
der Inklinationsnadel.
Vorkenntnisse:
Magnetfeld, Bio-Savartsches Gesetz
Lehrinhalt:
Erzeugung magnetischer Felder durch Stromfluss, Überlagerung von
Feldern
Literatur:
Lehrbücher der Physik
1. Aufbau und Wirkungsweise der Gaugainbussole
Die Gaugainbussole ist eine Tangentenbussole, bei welcher der Drehpunkt der Magnetnadel
um e = r/2 entlang der Spulenachse - vom Mittelpunkt der Spulenfläche aus - herausgerückt
ist. Die Spule ist kegelförmig gewickelt - mit der Kegelspitze im Drehpunkt der Magnetnadel.
Die Länge der Nadel geht dann näherungsweise nicht in das Ergebnis ein.
Wenn man durch die Spule einen Strom I schickt, so entsteht ein zur Spulenfläche senkrechtes Magnetfeld, dessen Größe auf der Spulenachse Hi man nach dem BIOT-SAVARTschen
Gesetz berechnen kann. Es setzt sich im Kräfteparallelogramm mit der Horizontalkomponente
des Erdfeldes He zusammen. Richtet man vor Stromfluss die Bussole so ein, dass die in Richtung der Horizontalkomponente des Erdfeldes He weisende Magnetnadel von 00 nach 00 zeigt,
so steht das vom Strom I hervorgerufene Magnetfeld Hi senkrecht zu He. Während des Stromflusses wird die Magnetnadel sich in Richtung der Resultierenden aus Hi und He einstellen.
Gemäß Abb.1 ergibt sich:
tan ϕ = H i
He
00
oder
He=
Hi
tan ϕ
(1)
He
ng
htu
c
i
R
del
tna
e
n
g
Ma
der
ϕ
Hi
Spulenachse
Abb. 1
90
0
Wenn man also Hi und n kennt, so ist He berechenbar. Um Hi (in Oersted) aus dem Strom I
(in Ampere), der Windungszahl n und der Entfernung e (in cm) des Drehpunktes der Magnetnadel vom Spulenmittelpunkt zu berechnen, benutzt man die Formel
Hi=
0,8 π n I
5 5 ⋅e
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(2)
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2. Herleitung der Formel (2)
Wir greifen eine Windung der Spule heraus und teilen diese Windung in sehr kleine Stücke ds
r
auf. Wir berechnen das Magnetfeld dH eines solchen Stückes ds im Punkt A (Abb. 2). Dieses
Feld steht senkrecht auf der von ds und ρ aufgespannten Ebene und hat nach dem BIOT-SAVARTschen Gesetz die Größe
r 0,1 ⋅ I ⋅ d s ⋅ sin α
dH =
.
2
ρ
ds
α
dH
β
ρ
r
dH
β
I
e
Abb. 2
A
dH'
ds'
r
Ein gleich großes Feld dH ′ wird von dem zu ds diametral gegenüberliegenden Drahtstück ds'
r
erzeugt. Die Richtung des Feldes dH ′ ist aber derart, dass sich die senkrecht zur Spulenachse
r
r
liegenden Komponenten von dH und dH ′ gerade aufheben, während sich die waagerechten
r
addieren. Von dH bleibt also nur die Projektion dH auf die Spulenachse erhalten; sie ist
r
dH= dH sin β. Nun ist sin β = r/ρ und α = 900 (da ρ immer senkrecht auf dem Spulendraht
steht, wo ds auch liegen mag). Damit wird dH = (0,1 @ I @ ds @ r)/ ρ3. Wenn wir nun über die
Beträge aller Drahtstückchen ds summieren, die alle gleichermaßen zum axialen Feld beitragen, so haben wir das Integral Ids zu bilden, das gleich 2πr ist. Also ist das vom Strom i im
Punkt A erzeugte Magnetfeld:
0,2 π r 2 I
(3)
.
Hi=
3
ρ
Bei der besonderen Dimensionierung der Gaugain-Bussole ist aber r = 2e, r2 = 4e2 und daher
nach Pythagoras ρ = e 5 . Nach Einführen dieser Werte für r und ρ bleibt nur noch e in
Formel (3) stehen. Bei Berücksichtigung von n Windungen geht schließlich (3) in (2) über.
3. Schaltung und Messung
Beim Aufbau der Schaltung (Abb.3) ist darauf zu achten, dass das bei Stromfluss im Schiebewiderstand entstehende störende Magnetfeld die Gaugainbussole möglichst wenig beeinflusst
(Abstand!). Die Messung der Horizontalkomponente des Erdfeldes soll an drei verschiedenen
Stellen durchgeführt werden (z.B. an zwei verschiedenen Plätzen im Praktikumsraum und, da
das Erdfeld in einem Gebäude oft lokal gestört ist, an einer Stelle im Freien). Um dabei die
Berechnung des tan n zu vermeiden, kann man den Strom I so einregulieren, dass n = 450,
also tan n =1 wird, d.h. Hi = He. Mit einer Inklinationsnadel bestimme man die Richtung des
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Erdfeldes. Dann kann man außer der Horizontalkomponente auch die Vertikalkomponente
und die Größe des gesamten Erdfeldes angeben. Man diskutiere die Ergebnisse, gebe Fehlergrenzen an und vergleiche mit dem Literaturwert.
A
Bussole
Akku
möglichst lange Kabel verwenden
Regulierwiderstand
Abb.3 Schaltungsaufbau
Die Werte der Siemens-Bussole betragen:
e = 4,4 cm,
n = 5 Windungen
Beim Einschwingen der Magnetnadel in einen durch Glg. (1) bestimmten Gleichgewichtszustand beobachtet man, dass ihre Schwingungsdauer T vom gewählten resultierenden Horizontalfeld H abhängt. Das auf die Nadel wirkende rückstellende Drehmoment ist
D = - MH sin φ
(4)
wobei M das magnetische Moment der Nadel und φ der Winkel zwischen Nadel und resultierendem Magnetfeld (in der Schwingungsebene der Nadel) ist. Für kleine Winkel kann für sinφ
der Winkel φ selbst gesetzt werden. Ist θ das Trägheitsmoment der Nadel, so gilt, wenn die
Reibung vernachlässigt wird, die Schwingungsgleichung
2
ϕ
θ d 2 = - MH ϕ
(5)
dt
φ = A sin ωt + B cos ωt .
mit der Lösung
(6)
Die Integrationskonstanten A und B hängen von den gewählten Anfangsbedingungen ab; die
2π
Kreisfrequenz ω ist gleich 2π mal der Frequenz f: ω = 2π f =
.
T
Durch Einsetzen von (6) in (5) erhält man:
θ ω2 = M @ H
bzw.
1
T
2
=
1
4π
2
⋅
M
θ
⋅H .
Diese Beziehung ist nachzuprüfen. Dazu werden die aus jeweils mehreren Schwingungen gemessenen Werte von 1/T 2 gegen die resultierende Feldstärke H res = H i2 + H e2 aufgetragen.
M
.
Aus der Steigung dieser Geraden erhält man die Größe
4π 2θ
Da sich T bei unserem Aufbau nur sehr wenig ändert, sind die Messungen sehr sorgfältig ausPhysikalisches Anfängerpraktikum 2 – ElektrizitätslehreInstitut für Angewandte Physik der Goethe-Universität Frankfurt am Main
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zuführen und mehrmals zu wiederholen, um ein brauchbares Ergebnis zu erreichen.
4. Anmerkung
Die Kombination der Gleichungen
1
M
=
⋅ He
2
2
T e 4π θ
1
und
T
2
e+i
=
M
4π 2 θ
⋅ He2 + Hi2
ergibt für das zu messende Erdfeld die Beziehung
He=
Hi
4
Te -1
4
T e+i
Man kann also aus Te, Te+i , Hi ebenfalls die Horizontalkomponente des Erdfeldes bestimmen.
Hi wird dabei wieder nach (2) bestimmt. Man vergleiche den so erhaltenen Wert für He mit
dem zuvor ermittelten.
5. Umrechnung der Maßeinheiten
1
Es gilt:
1
1
−
A
=ˆ 4π ⋅ 10-3 Oe ; 1 Oe = 1 cm 2 g 2 s-1 .
m
Das BIOT-SAVART-Gesetz lautet im SI-System:
1 ds sin α
d H=
I
;
4π
ρ2
dabei sind H in A/m, I in A, ds und ρ in m einzusetzen. Das oben benutzte magnetische Moment M hat im SI-System die Einheit V@m@s. Geben Sie das Erdmagnetfeld auch in der SIEinheit an.
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