Formeln Mathe Aufnahmeprüfung FMP

1
Fach
Mathematik
Autor
Jan Brunner, geschrieben am 26.03.2016, update 12.05.2016, update 24.10.2016, update 20.11.2016
Schultyp
FMS und HMS
Stufe
Abschlussklasse (3.Klasse)
Thema
Formelblatt für Abschlussprüfung
OMS St. Ursula Brig
Formelblatt Abschlussprüfung
Potenzen
• an = a
| · a · a{z· . . . · a}
n
0
a =1
•
Faktoren
(0
0
Potenzgesetze
1.
ist nicht deniert)
1
an
√
1
an = n a
a−n =
2.
3.
am · an = am+n
am : an = am−n
an · bn = (a · b)n
an : bn = (a : b)n
(am )n = am·n
Logarithmen
• x = loga (b)
•
⇔
•
ax = b
Basiswechsel
loga (b) =
Logarithmusgesetze
log10 (b)
log10 (a)
1.
loga (u) + loga (v) = loga (u · v)
• ln(u) = loge (u)
2.
loga (u) − loga (v) = loga (u : v)
lb(u) = log2 (u)
3.
n · loga (u) = loga (u )
lg(u) = log10 (u)
n
Quadratische Gleichung
• ax + bx + c = 0
2
⇒
x1,2 =
−b ±
(e
≈ 2.718)
√
b2 − 4ac
2a
Quadratische Funktion
•
y =(ax2 + bx + )
c
−b
b2
/c −
Scheitelpunkt S
2a
4a
Normalform:
•
y = a(x − u)2 + v
Scheitelpunkt S(u/v)
Scheitelform:
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OMS St. Ursula Brig
Exponentielles Wachstum
• yx = y0 · a x
• a=1±
y0 :
Anfangsbestand
yx :
Bestand beim Zeitpunkt
x
p
100
a:
Konstanter Wachstumsfaktor (mal
p:
Änderung in %
a )
Finanzmathematik
• Kn = K0 · q n
• Kn = r ·
qn − 1
• S·q =r·
q−1
(Zinseszins)
qn − 1
q−1
n
(jährliche Zahlung) •
q =1±
(Schuldtilgung)
p
100
p:
Zinssatz in %
r:
Annuität, Rente
K0 :
Anfangskapital
q:
Zinsfaktor
S:
Schuld
Kn :
Kapital nach
n
Jahren
Zahlenfolgen
•
Geometrisch (q
̸= 0, q ̸= 1)
•
an = a1 · q n−1
qn − 1
sn = a1 ·
q−1
1
s∞ = a1 ·
(0 < q < 1)
q−1
an :
Zahl an
n-ter
sn :
Summe der ersten
Stelle
n
Zahlen
Arithmetisch (d
̸= 0)
an = a1 + (n − 1) · d
sn =
n · (a1 + an )
2
q:
Quotient
d:
Dierenz
Dierentialrechnen
• f (x) = xn
•
⇒
f ′ (x) = n · xn−1
Hochpunkt und Tiefpunkt
f ′ (x) = 0
und
f ′′ (x) > 0
⇒
Tiefpunkt
f ′ (x) = 0
und
f ′′ (x) < 0
⇒
Hochpunkt
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OMS St. Ursula Brig
Integralrechnen
• f (x) = xn
•
⇒
Flächenberechnung (falls
∫
1
n+1
F (x) =
· xn+1
f (x) ≥ 0)
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Wirtschaftsmathematik
•
Feste Steuer
r
bewirkt
Neue Angebotsfunktion
Gesamtsteuer
•
yAr = yA + r
R=r·x
Feste Subvention
s
bewirkt
Neue Angebotsfunktion
yAs = yA − s
S =s·x
∫ b
K=
yN dx − xG · yG
Gesamtsubvention:
•
Konsumentenrente
a
•
Produzentenrente
∫
P = xG · yG −
b
yA dx
a
• yE = yN · x
• yG = yE − yK
x:
Absatzmenge
yE :
Erlösfunktion
(xG /yG ) :
yA :
Angebotsfunktion
yK :
Kostenfunktion
yN :
Nachfragefunktion
yG :
Gewinnfunktion
Marktgleichgewicht
Kombinatorik
•
Permutation (n
= k)
Alles unterscheidbare Objekte:
n!
Nicht unterscheidbare Objekte:
Wähle
•
k
aus
n
Reihenfolge entscheidend
Reihenfolge nicht entscheidend
n!
m1 ! · m2 ! · . . .
mit Wiederholung
k
n
(n+k−1)!
k!·(n−1)!
ohne Wiederholung
n!
(n−k)!
n!
(n−k)!·k!
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OMS St. Ursula Brig
Wahrscheinlichkeit
•
Wahrscheinlichkeit eines Ereignis
E
bei einem Laplace-Experiment:
Anzahl günstige Fälle = Anzahl Elemente in E
P (E) = Anzahl
mögliche Fälle Anzahl Elemente in Ω
Statistik
•
Mittelwert
x=
x1 +x2 +x3 +...+xn
n
(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + (x3 − x)2 + . . . + (xn − x)2
n
√
• Standardabweichung s = s2
•
Varianz
s2 =
Geometrie
•
Trigonometrie
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
a2 + b2 = c2
sin(α) =
(Pythagoras)
Gegenkathete
Hypotenuse
cos(α) =
Ankathete
Hypotenuse
tan(α) =
Gegenkathete
Ankathete
In jedem Dreieck gilt der Cosinussatz:
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2ac · cos(β)
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos(γ)
•
Volumen
Kugel:
•
V
V =
4πr 3
3
Quader:
V =a·b·c
Prisma:
V =G·h
Pyramide:
V =
G·h
3
Fläche
Kreis:
A
A = πr2
Rechteck:
Dreieck:
A=a·b
A=
g·h
2
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