Prof. Liedl 22.10.2012 Lösungsblatt 1 zu PN1 ¨Ubungen zur

Prof. Liedl
22.10.2012
Lösungsblatt 1 zu PN1
Übungen zur Vorlesung PN1
Lösungsblatt 1
Besprechung am 23.10.2012
1. Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) .
a) Zeichnen Sie die Funktionsgraphen der Sinus- und Kosinusfunktion in ein karthesisches Koordinatensystem.
Lösung:
y = sin(x) (in grau)
y = cos(x) (in schwarz)
b) Wo befinden sich Nullstellen, relative Maxima und relative Minima?
Lösung:
cosinus: Nullstellen bei (2n + 1) π2 , Maxima bei n · 2π , Minima bei (2n + 1)π
sinus: Nullstellen bei 2n π2 , Maxima bei (4n + 1) π2 , Minima bei (4n + 3) π2
c) Wie ist die Tangens- und Kotangensfunktion definiert?
Lösung:
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tan α =
sin α
cos α
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und tan−1 α =
cos α
sin α
d) Drücken Sie die Sinusfunktion durch die Kosinusfunktion aus und umgekehrt.
Lösung:
cos α = sin(α + π2 ) und sin α = cos(α − π2 )
e) Bilden Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f (x) = cos(5x + 3).
Lösung:
f 0 (x) = −5 sin(5x + 3) und f 00 (x) = −25 cos(5x + 3)
f ) Was ist die Beziehung zwischen Bogenmaßund Winkel? Berechnen Sie die Winkel, die
einem Bogenmaßvon π2 , π und 2π entsprechen.
Lösung:
Grad = Bogenmaß ∗ 180/P i
Bogenmaß = Grad ∗ P i/180
π
2
= 90o , π = 180o , 2π = 360o
g) Defintion der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck:
Der Winkel α sei 20◦ , die Seitenlänge c sei 6cm. Berechnen Sie die Seitenlängen a und
b.
Lösung:
sin α =
b
c
⇒ b = c · sin α = 2.05cm
cosα =
a
c
⇒ a = c · cosα = 5.64cm
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2. Differential- und Integralrechnung Gegeben seien die in R definierten Funktionen:
3
5
1
f (x) = x3 − x, g(x) = x(x + 2)
2
3
3
a) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f (x) auf Symmetrie.
Lösung:
f (−x) = − 21 x3 + 34 x = −f (x)
Die Funktion ist somit punktsymmetrisch um den Ursprung.
b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f (x).
Lösung:
f (x) = 0 = 23 x3 − 53 x = x( 23 x2 − 53 ) ⇒ x1 = 0 ; x2,3 = ±
√10 √10 0
− 3
~
3
⇒ N1 =
; N2 =
; N3 =
;
0
0
0
c) Bilden Sie die erste und zweite Ableitung von f (x).
Lösung:
f 0 (x) = 92 x2 −
5
3
f 00 (x) = 9x
d) Bestimmen Sie die Extrempunkte von f (x).
Lösung:
f 0 (x) = 0 = 92 x2 −
f 00
q 10
27
~ =
⇒H
> 0,
5
3
⇒ x1,2 = ±
q
10
27
q f 00 − 10
<0
27
q !
− 10
27
; T~ =
0.6762
q
10
27
−0.6762
!
√
10
3
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e) Zeichnen Sie den Graphen von f (x) in ein Koordinatensystem.
Lösung:
f ) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion g(x).
Lösung: Scheitelpunkts Form: g(x) =
1
(x
3
2
+ 1) −
1
3
⇒S=
−1
− 13
g) Berechnen Sie die x-Werte der Schnittstellen zwichen f (x) und g(x).
Lösung:
f (x) = g(x) ⇒ 32 x3 − 35 x = 13 x2 + 32 x
q
1
⇒ x = 9 ± 127
= 0.1111 ± 1.2522
81
i) Berechnen Sie die Fläche zwischen den zwei Funktionsgraphen f (x) und g(x) für
0.5 ≤ x ≤ 0.5.
Lösung:
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g(x) − f (x) = − 32 x3 + 31 x2 + 73 x
F =
0.5
R
−0.5
0.5
(− 23 x3 + 31 x2 + 73 x)dx = | − 83 x4 + 19 x3 + 76 x2 |−0.5
≈ 0.0278
3. Vektoralgebra In einem rechtwinkligen (orthogonalen, karthesischen) Koordinaten−
−
system mit den Basisvektoren →
ex und →
ey seien zwei Vektoren gegeben:
~a = ~ax + ~ay = ax~ex + ay~ey =
~b = ~bx + ~by = bx~ex + by~ey =
1
3
−2
1
a) Zeichnen Sie die beiden Vektoren in ein entsprechendes Koordinatensystem.
Lösung:
b) Berechnen Sie den Summenvektor ~s = ~a + ~b sowie den Differenzvektor d~ = ~a − ~b.
Zeichnen Sie das Ergebnis ebenfalls in das Koordinatensystem.
Lösung:
~s = ~a + ~b =
−1
4
und d~ = ~a − ~b =
3
2
c) Es seien die reellen Zahlen (Skalare) λ1 = 5 und λ2 = −2 gegeben. Berechnen Sie
~x = λ1~a + λ2~b.
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Lösung:
λ1~a + λ2~b = 5 ·
1
3
−2·
−2
1
=
9
13
d) Berechnen Sie die Länge (Betrag, |~a| = a ) und den Winkel (gegen den Uhrzeigersinn
von der positiven x-Richtung aus gemessen) für die Vektoren ~a und d~ = ~a − ~b.
Lösung:
√
√
~ = pa2 + a2 = √1 + 9 = 10 und |d|
~ = √9 + 4 = 13
|a|
x
y
α := Winkel zwischen ~a und x-Achse und β := Winkel zwischen d~ und x-Achse
tan α = 3 ⇒ α = 71.6◦ und tan β =
2
3
⇒ β = 33.7◦
e) Berechnen Sie das Skalarprodukt ~a ∗ ~b. Was muss für zwei Vektoren gelten damit
v~1 ∗ v~2 = 0?
Lösung:
1
−2
~a · ~b =
= −2 + 3 = 1
3
1
Es gilt ~a · ~b = 0 entweder falls einer der beiden Vektoren oder beide Vektoren der
Nullvektor sind (triviale Lösung). Oder falls die beiden Vektoren senkrecht aufeinander
stehen (dieser Zusammenhang ist bei der Lösung vieler physikalischer Probleme wichtig
und sollte unbedingt im Kopf behalten werden)!