0 1 2 3 4 5 6 Wirsberg-Gymnasium Grundwissen Mathematik 5
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Wirsberg-Gymnasium
Grundwissen Mathematik 5. Jahrgangsstufe
Lerninhalte
Fakten - Regeln - Beispiele
Die natürlichen
N 0 = {0;1;2;3;4;5;6;7;...} Wir verwenden sie zum Zählen und Ordnen (< kleiner als, > größer als).
Zahlen
Beispiel: 2<10
10>2
Der Zahlenstrahl dient zur Veranschaulichung der natürlichen Zahlen:
0
1
2
3
4
5
6
Das Dezimalsystem:
…
H
Z
E
…
Billionen
H
Z
E
Milliarden
H
Z
E
H
Millionen
Z
E
H
Z E
Tausender
Beispiel: 7 150 321 014 = 7 Milliarden 150 Millionen 321 Tausend 14
Das Römische Zahlsystem: M = 1000 D = 500
Beispiele: CCLX = 260
MCMLXXIV = 1974
C = 100 L = 50
X = 10 V = 5 I = 1
Runden:
Beim Runden auf Zehner, Hunderter, Tausender,… betrachtet man die rechts von dieser Stelle stehende Ziffer.
Ist diese Ziffer 0,1, 2, 3, 4, so wird abgerundet. Ist diese Ziffer 5, 6, 7, 8, 9, so wird aufgerundet.
Beispiele:
Runde 6764 auf Zehner:
6764 ~ 6760
Runde 6764 auf Hunderter:
6764 ~ 6800
Runde 6764 auf Tausender:
6764 ~ 7000
Runde 4999 auf Zehntausender:
4999 ~ 0
Addition und
Subtraktion
Begriffe:
2
+
1. Summand
4
2. Summand
=
6
5
Wert der Summe
Minuend
Summe
-
3
Subtrahend
=
2
Wert der Differenz
Differenz
Schriftliches Addieren:
3918
+ 891
11
4809
Schriftliches Subtrahieren:
6 4
7453
- 4916
2537
Einer:
Zehner:
Hunderter:
Tausender:
1 plus 8 gleich 9,
9 plus 1 gleich 10,
1 plus 8 plus 9 gleich 18,
1 plus 3 gleich 4,
Einer:
Zehner:
Hunderter:
Tausender:
3 minus 6 geht nicht; 1 geborgt, bleibt 4; 13 minus 6 gleich 7
4 minus 1 gleich 3
4 minus 9 geht nicht; 1 geborgt, bleibt 6; 14 minus 9 gleich 5
6 minus 4 gleich 2
Seite 1
schreibe 9
schreibe 0, merke 1
schreibe 8, merke 1
schreibe 4
Multiplikation
und Division
3
Begriffe:
*
4
1. Faktor
=
2. Faktor
12
12
Wert des Produkts
Produkt
Rechnen mit Null und Eins:
Für alle natürlichen Zahlen a gilt:
Schriftliches Multiplizieren:
4
=
Divisor
3
Wert des Quotienten
Quotient
a⋅0 = 0
a ⋅1 = a
a :1 = a
127*206
254
+
000
762
Schriftliches Dividieren:
1
26162
Die ganzen
Zahlen
:
Dividend
96330:19= 5070
- 95
13
in 13 ist 19 nullmal enthalten
- 0
133
-133
00
- 0
0
Veranschaulichung am Zahlenstrahl:
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
positive Zahlen
negative Zahlen
Der Betrag einer ganzen Zahl ist definiert als Abstand dieser Zahl auf der Zahlengeraden von der 0.
Beispiele:
|+3|=3
|-3|=3
|0|=0
Addieren:
Beispiele:
(+ 4) + (+ 13) = +17; (− 4) + (+ 13) = +9; (+ 4) + (− 13) = −9; (− 4) + (− 13) = −17
Subtrahieren (=Gegenzahl addieren):
Beispiele:
( + 4 ) − ( + 13 ) = ( + 4 ) + ( − 13 ) = − 9 ;
( − 4 ) − ( + 13 ) = ( − 4 ) + ( − 13 ) = − 17
( + 4 ) − ( − 13 ) = ( + 4 ) + ( + 13 ) + 17 ;
( − 4 ) − ( − 13 ) = ( − 4 ) + ( + 13 ) = + 9
Multiplizieren und Dividieren:
Vorzeichenregeln: " + " ⋅ " + " = " + "
"+ " ⋅ "− " = "− "
"− " ⋅ "+ " = "− "
Rechenvorteile durch Anwendung der Rechengesetze:
Kommutativgesetz:
a + b = b + a; a ⋅ b = b ⋅ a
"− " ⋅ "− " = "+ "
Beispiele:
Entsprechendes gilt für die Division.
Distributivgesetz:
a + (b + c) = ( a + b) + c
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c
a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c)
13 + 4 = 4 + 13; 13 ⋅ 4 = 4 ⋅13
9 + (11 + 37) = (9 + 11) + 37 = 20 + 37 = 57
4 ⋅ (25 ⋅14) = ( 4 ⋅ 25) ⋅14 = 100 ⋅14 = 1400
17 ⋅ 23 + 17 ⋅ 77 = 17 ⋅ (23 + 77) = 17 ⋅100 = 1700
Potenzen:
a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a = a n
5 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ 5 = 512
Assoziativgesetz:
n Faktoren
12 Faktoren
Seite 2
9
Verbindung der Grundrechenarten:
Klammerregel:
Rechnungen in Klammern werden zuerst ausgeführt
Punkt-vor-Strich-Regel:
Größen und
ihre Einheiten
Beispiele:
54 − 14 ⋅ 2 = 54 − 28 = 26
(54 − 14 ) ⋅ 2 = 40 ⋅ 2 = 80
Punktrechnungen werden stets vor Strichrechnungen ausgeführt.
Längen:
1km=1000m
1m = 10dm
1dm=10cm
1cm=10mm
Umrechnungszahl: 10
Massen:
1t=1000kg
1kg=1000g
1g=1000mg
Geld:
1€=100ct
1ct=0,01€
Zeit:
1d=24h
1h=60min
1min=60s
Umrechnungszahl: 1000
Die Angabe Maßstab 1:200 in einem Plan bedeutet: 1 cm auf der Karte entsprechen 200cm in Wirklichkeit.
Flächen und
Flächenmessung
Flächeneinheiten:
1 km2 = 100 ha
1 ha = 100 a
1 a = 100 m2
1m2= 100 dm2
1 dm2 = 100 cm2
1 cm2 =100 mm2
Beispiele:
2
2
2
1300mm = 13cm = 0,13dm
2
2
2
2
2
3ha 7a 80m = 30000m + 700m + 80m = 30780 m
Flächeninhalt des Rechtecks:
Flächeninhalte verschiedener Figuren:
Prinzipien: a) Zerlege die Figur in Rechtecke und addiere die Rechtecksflächeninhalte.
b) Ergänze die Figur zu einem Rechteck und subtrahiere die überschüssigen
Flächeninhalte
Beispiel:
a) A = 4cm ⋅10cm + 2cm ⋅ 3cm + 2cm ⋅ 5cm
b) A = 7cm ⋅10cm − (3cm ⋅ 3cm + 5cm ⋅1cm)
3.57.20cm 2 = 3m 2 57.20cm 2 = 3m 2 57dm 2 20cm 2
2
b
5
2
7
Geometrische
Grundbegriffe
3
A = a ⋅b
a
6
Geometrische Körper:
Quader
Prisma
Pyramide
Zylinder
Seite 3
Kegel
Kugel
Gerade: ST
S
Halbgerade: [PQ
T
P
Strecke: [PQ]
Q
P
Q
Zwei Geraden heißen parallel, wenn beide senkrecht zu einer dritten Geraden sind.
Abstand
d
a) zweier Punkte P und Q: Länge der Strecke [PQ], z.B. PQ = 3cm
(
g
)
b) von Punkt und Gerade: kürzeste Entfernung zwischen Punkt und Gerade, z.B. d P; g = 2cm
P
Radius r (= halber Durchmesser)
Kreis:
Mittelpunkt M
Winkel:
α
α
α
spitzer Winkel: 0° < α
< 90°
rechter Winkel
stumpfer Winkel:
Seite 4
90° < α < 180°
überstumpfer Winkel: 180°
< α < 360°
