Ergänzungsaufgaben - Mathematics TU Graz

AUFGABEN
Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen
anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle
Schätzungen benötigt.
•
••
einfache Aufgaben mit wenigen Rechenschritten
mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination
verschiedener Konzepte erfordern
anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständenauch aus
späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen
•••
Verständnisfragen
8 •• Finden Sie eine Aussage (zusätzlich zu
den bereits auf Seite ?? angegebenen), die für
alle n ∈ N falsch ist, für die sich der Induktionsschritt aber trotzdem durchführen lässt.
9 ••• Finden Sie den Fehler im folgenden
Beweis“ dafür, dass der Mars bewohnt ist:
”
Satz: Wenn in einer Menge von n Planeten einer bewohnt ist, dann sind alle bewohnt.
Beweis mittels vollständiger Induktion:
n = 1: trivial
n → n + 1: Laut Annahme sind von einer Menge von n Planeten alle bewohnt, sobald nur einer bewohnt ist. Nun betrachten wir eine Menge von n + 1 Planeten (die wir willkürlich mit
p1 bis pn+1 bezeichnen). Von diesen schließen
wir vorläufig einen aus unsere Betrachtungen
aus, z.B. pn+1 . Wenn von der übriggebliebenen
Menge von n Planeten nur einer bewohnt ist,
sind alle bewohnt (laut Annahme). Nun schließen wir von den n bewohnten Planeten einen
aus, z.B. p1 , und nehmen pn+1 wieder hinzu.
Wir erhalten wieder eine Menge von n Planeten, die bis aus pn+1 bewohnt sind. Auf jeden
Fall ist einer bewohnt, demnach alle, also ist
auch pn+1 bewohnt.
1 • Warum werden leere Summen gleich Null,
leere Produkte aber gleich Eins gesetzt?
2 • Bestimmen Sie die Summe aller natürlichen Zahlen von Eins bis Tausend.
3 • Ein müder Floh springt zuerst einen Meter, dann nur mehr einen halben, dann gar nur
mehr einen Viertelmeter, kurz bei jedem Sprung
schafft er nur mehr die Hälfte der vorangegangenen Distanz. Wie weit ist er nach sieben
Sprüngen gekommen?
4 • Wie viele Summanden haben die folgenden Summen?
A=
9
X
am,n
m>n≥1
B=
9
X
0
bm,n
m=1
n=1
5 • Scheitert der Beweis von 2n + 1 ist für
”
alle n ≥ 100 eine gerade Zahl“ am Induktionsanfang, am Induktionsschritt oder an beidem?
6 •• Führen Sie analog zum Vorgehen für Z
auf Seite ?? die rationalen Zahlen Q mit Hilfe
einer geeigneten Äquivalenzrelation ein.
7 •• ak mit k ∈ N seien beliebige reelle Zahlen. Eine Summe der Form
Tn :=
n
X
Korollar: Der Mars ist bewohnt. Beweis: Betrachte
die Planeten des Sonnensystems (n = 9, von ungesicherten astronomischen Beobachtungen wollen wir hier
absehen).
Die Erde ist bewohnt, damit sind alle Planeten
des Sonnensystems bewohnt – auch der Mars.
(ak+1 − ak )
k=1
nennt man eine Teleskopsumme. Bestimmen Sie
eine geschlossene Formel für den Wert einer
solchen Summe und beweisen Sie sie mittels
vollständiger Induktion.
1
Rechenaufgaben und Anwendungsprobleme
16 •• Man zeige für n ∈ N:
n−1
X
10 • Man beweise mittels vollständiger Induktion für alle n ∈ N:
(n + k) (n − k) =
k=0
n
X
17 •• Man beweise für alle n ∈ N:
(2k + 1) = n (n + 2)
n
X
k=1
k · 2k = 2 + 2n+1 · (n − 1)
k=1
11 • Man beweise für n ∈ N, n ≥ 2:
n
Y
n (n + 1) (4n − 1)
6
n
X
(k − 1) = (n − 1)!
(−1)k+1 k 2 = (−1)n+1
k=1
n (n + 1)
2
k=2
18 •• Beweisen Sie mittels Induktion für alle
natürlichen n:
12 •• Man beweise für alle n ≥ 1 die Gültigkeit der
• n3 + 5n ist durch 6 teilbar
Summenformeln zweiter
und dritter Ordnung
n
X
n (n + 1) (2n + 1)
6
k=1
½
¾
n
X
n (n + 1) 2
k3 =
2
k2 =
• 11n+1 + 122n−1 ist durch 133 teilbar
n)
• 3(2
(10.1)
− 1 ist durch 2n+2 teilbar
19 •• Beweisen oder widerlegen Sie:
pn := n2 − n + 41
(10.2)
k=1
ist für alle n ∈ N eine Primzahl.
20 ••• Man beweise
n
Y
13 •• Man beweise die Pascal’sche Formel
µ
¶ µ ¶ µ
¶
n+1
n
n
=
+
k+1
k
k+1
wenn alle xk ∈ (−1, 0) oder alle xk ≥ 0 sind
und leite daraus die Bernoulli-Ungleichung
(??) einerseits durch direktes Nachrechnen, andererseits durch vollständige Induktion.
14 •• Man beweise durch vollständige Induktion für alle natürlichen n:
n
X
k=1
(k − 1)2 <
(1 + xk ) ≥ 1 + x1 + x2 + . . . + xn ,
k=1
(1 + a)n ≥ 1 + n a
für a > −1 ab.
21 ••• Man beweise für alle ∈ N, n ≥ 2:
¶
µ
¶
n µ
Y
2
1
2
1−
=
1+
k (k + 1)
3
n
n3
3
k=2
15 •• Man beweise für n ∈ N:
22 ••• x ∈ R sei eine feste Zahl, und es sei
p1 (x) := 1 + x. Nun definieren wir für n ∈ N:
¡
¢
pn+1 (x) = 1 + x2n · pn (x)
n µ ¶
X
n
= 2n
k
k=0
µ ¶
n
X
n
(−1)k
=0
k
Beweisen Sie für alle n ∈ N:
k=0
pn (x) =
n −1
2X
k=0
2
xk
• 7n − 2n ist durch 5 teilbar
23 ••• Beweisen Sie für n ∈ N:
1
1 2 5
2n − 1
1
≤ · · ...
≤√
n+1
2 3 6
2n
3n + 1
• 6n − 5n + 1 ist durch 5 teilbar
• (n − 1)3 + n3 + (n + 1)3 ist durch 9 teilbar
Ergänzungsaufgaben
29 ••• Beweisen Sie für n ∈ N:
µ ¶
2n
4n
4n
≤
≤√
n+1
n
3n + 1
24 • Man beweise mittels vollständiger Induktion für alle natürlichen Zahlen n:
n
X
(2k − 1) = n2
k=1
Die folgenden beiden Aufgaben setzen die
d
Kenntnis der Produktregel dx
(f g) = f 0 g + f g 0
der Differentialrechnung voraus:
25 •• Man beweise mittels Induktion für alle
natürlichen Zahlen n:
à n !2
n
X
X
k3 =
k
k=1
30 •• Beweisen Sie die
k=1
erweiterte Produktregel
26 •• Man beweise für n ∈ N:
µ ¶
n
X
n
= n · 2n−1
k
k
k=0
n
X (−1)k µn¶
1
=
k+1 k
n+1
d
(f1 f2 . . . fn ) =
dx
= f10 f2 . . . fn + f1 f20 . . . fn + . . . + f1 f2 . . . fn0
31 ••• Beweisen Sie für n ∈ N die
k=0
27 •• Man beweise für alle n ∈ N:
n
X
k=1
Leibniz’sche Ableitungsformel
n
1
=
k (k + 1)
n+1
n µ ¶
X
dn
n (n−k) (k)
f
g
(f g) =
n
dx
k
n
X
k
2n+1 − n − 2
=
2n
2k
(10.3)
k=0
k=1
(Hinweis: Die Pascal’sche Beziehung (??) erweist sich hier wieder einmal als nützlich.)
28 •• Beweisen Sie mittels Induktion für alle
natürlichen n:
3
AUFGABEN
Gelegentlich enthalten die Aufgaben mehr Angaben, als für die Lösung erforderlich sind. Bei einigen
anderen dagegen werden Daten aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle
Schätzungen benötigt.
•
••
•••
einfache Aufgaben mit wenigen Rechenschritten
mittelschwere Aufgaben, die etwas Denkarbeit und unter Umständen die Kombination
verschiedener Konzepte erfordern
anspruchsvolle Aufgaben, die fortgeschrittene Konzepte (unter Umständenauch aus
späteren Kapiteln) oder eigene mathematische Modellbildung benötigen
Verständnisfragen
konvergiert. (Hinweis: Man benutze, dass mit
der Monotonie natürlich a1 ≤ an für alle n ist.)
5 ••• Beweisen Sie das Leibniz-Kriterium für
alternierende Reihen. (Hinweis: Untersuchen
Sie die Partialsummenfolgen (s2n ) und (s2n+1 )
mit Hilfe des Hauptsatzes für monotone Zahlenfolgen auf Konvergenz.)
6 ••• Beweisen Sie den Cauchy’schen Verdichtungssatz. (Hinweis: Untersuchen Sie
zunächst eine allgemeine Partialsumme s2k
und finden Sie geeignete Abschätzungen nach
oben bzw. nach unten.)
1 • Warum erkennt man ohne Rechnung, dass
die Reihen
¶
¶
∞ µ
∞ µ
X
X
1 n
1 n
1+
und
1−
n
n
n=1
n=1
divergieren?
2 •• Konstruieren Sie eine divergente Reihe
der Form
∞
X
(−1)n an ,
n=1
Rechenaufgaben und Anwendungsprobleme
wobei an eine positive Nullfolge sein soll.
Warum besteht hier kein Widerspruch zum
Leibniz-Kriterium?
3 •• (an ) sei eine beliebige Folge reeller Zahlen. Unter welcher Bedingung konvergiert die
Reihe
∞
X
(an − an+1 ) ,
7 •• Der Erwartungswert einer Größe ist die
Summe aller möglichen Werte gewichtet mit jeweils der Wahrscheinlichkeit für ihr Eintreten
(siehe auch ??).
So ist der Erwartungswert eines (fairen) nseitigen Würfels
n=1
und was ist dann ihr Wert? Was läßt sich daraus
über die Konvergenz der beiden Reihen
∞
X
an
und
n=1
∞
X
1
(1 + 2 + . . . + n) =
n
1 n (n + 1)
n+1
=
=
n
2
2
hWn i =
an+1
n=1
ausagen? (Hinweis: Partialsummen betrachten)
4 •• (an ) sei eine monoton wachsende und beschränkte Folge mit positiven Gliedern. Zeigen
Sie, dass die Reihe
∞ µ
X
an+1
n=1
an
Bestimmen Sie, wie sich dieser Wert durch
die Zusatzregel ändert, dass beim Würfeln der
höchsten Zahl n jeweils weitergewürfelt und das
Ergebnis immer zum bisherigen addiert wird.
¶
−1
4
8 •• Die Koch’sche Schneeflockenkurve wird
auf folgende Art konstruiert: Man beginnt mit
einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge s.
Aus dessen Seiten wird nun jeweils das mittlere
Drittel entfernt und darüber ein neues gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge s/3 errichtet.
(Dabei verwirft man die Basisseite, man erhält
insgesamt also eine einzelne geschlossene und
unverzweigte Linie.)
Dieses Entfernen des mittleren Drittels und
Aufsetzen eines kleineren Dreiecks wird nun mit
allen gerade Abschnitten wiederholt, und zwar
immer wieder. Im Grenzübergang zu unendlich vielen Schritten erhält man so die Schneeflockenkurve.
12 •• Man untersuche die folgenden Reihen
auf Konvergenz:
√
∞
X
n · ( n + 1)
a)
n2 + 5n − 1
n=1
b)
∞
X
·
µ
¶ ¸
1 n
(−1)n e − 1 +
n
n=1
c)
∞
X
(−1)
n1
n
n=1
d)
∞
X
n=1
n3
µ
1 1
+
3 n
¶n
2n + 7
− 4n2 + 8n − 16
13 •• Man untersuche die folgenden Reihen
auf Konvergenz:
a)
Bestimmen Sie die den Umfang und den
Flächeninhalt des Gebildes nach n derartigen
Schritten bzw. für die fertige Schneeflockenkurve (n → ∞).
9 •• Man untersuche die folgenden Reihen auf
Konvergenz:
a)
c)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
1
n + n2
3n
n3
b)
d)
c)
n=0
n=1
¶
2n
1
n 23n+1
a)
c)
n2 − n − 1
7n3 + 14
a)
c)
b)
d)
n−1
n · 4n
d)
3n
∞
X
1
√
1 + n2
n=1
∞
X
(sin 2x)n
b)
n=1
∞
X
(x2 − 4)n
d)
∞
X
xn
n=1
∞
X
n!
enx
n=1
15 ••• Überprüfen Sie die Reihe
∞
X
1 · 3 · 5 · . . . · (2n + 3)
n!
√
n sin n
(−1)
n5/2
n=1
∞
X
1
√
(−1)n
1+ n
n=1
n=1
n=1
n=1
∞
X
√
ln n
n5/4
n=1
∞
X n2 · 3n
∞
X
n=1
µ µ
¶¶
4
sin π · n +
n
2
auf Konvergenz.
16 ••• Zeigen Sie, dass die Reihe
auf Konvergenz.
11 •• Man untersuche die folgenden Reihen
auf Konvergenz:
∞
X
b)
5n n!
¶
∞ µ
X
4n −1
14 •• Man bestimme jeweils alle x ∈ R, für
die die folgenden Reihen konvergieren:
10 •• Man untersuche die Reihe
∞
X
n=0
∞
X
n=1
∞ µ
X
n=1
∞
X
∞
X
(2n)n
n qn
n=1
genau für |q| < 1 konvergiert und bestimmen
Sie ihren Wert. (Hinweis: Nutzen Sie die Analogie zur geometrischen Reihe.)
n!
5