Ergänzungen und Erläuterungen zum Spickzettel

Schülerwoche 2011
– Erläuterungen zum Spickzettel –
Christian Weiß
Hausdorff Center for Mathematics
Besondere Mengen und Zahlenbereiche (Teil 1).
• ∅: Die leere Menge, die kein Element enthält und Teilmenge jeder beliebigen Menge ist.
(∅ = {})
• N: Die Menge der natürlichen Zahlen, also N = {1, 2, 3, 4, ...}, manchmal auch N =
{0, 1, 2, 3, 4, ...}. Wählt man die erste Definition schreibt man manchmal N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Wählt man die zweite Definition schreibt man manchmal N∗ = {1, 2, 3, 4, ...} oder N× =
{1, 2, 3, 4, ...}, sonst schreibt man N \ {0} =„N ohne 0“= {1, 2, 3, 4, ...}. ACHTUNG: Beide
Definitionen kommen vor und es hängt vom Dozenten bzw. Autor ab, welche gemeint ist.
• Mit P wird außerdem häufig die Menge aller Primzahlen bezeichnet. Das sind (im Normalfall) alle natürlichen Zahlen die genau zwei Teiler haben, bzw. alle natürlichen Zahlen
außer 1 die nur durch 1 und sich selber teilbar sind (Beispiele hierfür sind: 2, 3, 5, 7, 11,
13, 17, ... , 131071 = 217 − 1,...).
Mengentheoretische Symbole.
• ∈: ...ist Element von... (Bsp. 1 ∈ N)
/ N)
• ∈:
/ ...ist nicht Element von... (Bsp. 21 ∈
• |A| oder #A: Betrag einer Menge A (Anzahl der Elemente in A) (Bsp. |{0, 1, 2}| = 3 oder
#{2, 4, 6, 8, 10} = 5)
• ∞: Unendlich (Bsp. #N = ∞)
• ⊂: ...ist Teilmenge von... (Bsp. {1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). ACHTUNG: Jede Menge ist eine
Teilmenge von sich selbst, also für jede Menge A gilt A ⊂ A. Daher benutzen viele das
Symbol ⊆ um zu zeigen, dass die beiden Mengen auch gleich sein könnten und benutzen
das Symbol ⊂ um zu zeigen, dass Gleichheit ausgeschlossen sein soll. Dies ist aber nicht
einheitlich und es hängt vom Dozenten/Autor ab, was gemeint ist. Mit etwas Erfahrung
lässt es sich häufig aus dem Zusammenhang erschließen. Benutzt man ⊂ als das normale
Teilmengensymbol (Gleichheit erlaubt) so schreibt man meistens (, wenn man Gleichheit
auszuschließen will.
• \: Seien A und B beliebige Mengen. Dann ist B \ A = {x ∈ B : x ∈
/ A}. Falls A = B,
dann B \ A = ∅, falls A und B keine gemeinsamen Elemente haben, dann B \ A = B. Man
spricht B \ A als B ohne A, manche sagen auch B minus A, obwohl es sich nicht um Zahlen,
sondern um Mengen handelt. Manche schreiben sogar B − A, wenn klar ist, dass man von
Mengen spricht und dass B ohne A gemeint ist.
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• · : So schreibt man, wenn es um Mengen geht, das Komplement einer Menge A. Dazu
braucht man, dass A Teilmenge einer größeren Menge B ist. Im Allgemeinen wird aus dem
Kontext klar, was für eine Obermenge B gemeint ist. Dann meint man mit A = {x ∈ B :
x∈
/ A} = B \ A, also B ohne A, d.h. alle Elemente von B die nicht in der Teilmenge A sind.
Ohne zu wissen, welche Obermenge gemeint ist, hat das Bilden eines Komplements keinen
Sinn. WICHTIG: Zwar kann man kein Komplement bilden, allerdings kann man weiterhin
ohne Probleme B \ A, also B ohne A, bilden, für beliebige Mengen B und A auch ohne,
dass A Teilmenge von B (oder irgendeiner anderen bestimmten Menge ist)
Logische Symbole.
• ∀: Für alle... (Bsp. „Für alle natürlichen Zahlen n gilt n + 1 ist eine natürliche Zahl“:
∀n ∈ N : n + 1 ∈ N)
• ∃: Es existiert ein... (Bsp. „Es gibt eine natürliche Zahl a, sodass für alle natürlichen Zahlen
n gilt a · n = n“: ∃a ∈ N : ∀n ∈ N : a · n = n. a ist hier natürlich die 1 ∈ N)
• @: Es existiert kein... (Bsp. „Es existiert keine natürliche Zahl n, sodass n+ 12 eine natürliche
Zahl ist“ @n ∈ N : n + 12 ∈ N)
• ∧: und, ∨: oder (Bsp. „Es gibt keine Primzahl p mit p ist gerade und p ist nicht gleich
2“: @p ∈ P :p ist gerade∧p 6= 2; „Für alle Primzahlen p gilt p ist ungerade oder p ist 2“:
∀p ∈ P : p ist ungerade∨p = 2)
• ¬: nicht, falls A eine Aussage ist so ist ¬A die Verneinung dieser Aussage, also z.B. wenn
A =„1 ist eine natürliche Zahl“, dann ist ¬A =„1 ist keine natürliche Zahl“. Manchmal
schreibt man statt ¬A auch A, wenn klar ist was gemeint ist.
• : Zeichen, um zu zeigen, dass ein Beweis hier beendet ist (manchmal auch q.e.d. =„quod
erat demonstrandum“=„was zu zeigen war“)
Mengentheoretische Verknüpfungen.
• ∪: Dieses Zeichen steht für die Vereinigung von Mengen. Man kann es verschieden benutzen.
Seien A und B Mengen, dann ist A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} (z.B. A = {1, 2, 3},
B = {4, 5, 6}, dann ist A ∪ B = {1, ..., 6}). Seien nun Ai mit i ∈ I einer Indexmenge I
beliebig viele Mengen (z.B. könnte I = N sein und i jede natürliche Zahl durchlaufen, also
S
gäbe es dann Mengen A1 , A2 , A3 , A4 ,...). Dann ist i∈I Ai = {x : ∃i ∈ I : a ∈ Ai } (z.B.
S
falls I = N und Ai = {n ∈ N : n ≤ i}, dann ist i∈I Ai = N). Falls I = {1, ..., n} für
S
eine natürliche Zahl n, dann schreibt man auch ni=1 Ai , bzw. falls I = N so schreibt man
S
S
auch ∞
i=1 Ai statt
i∈I Ai .
• ∩: Dieses Zeichen steht für den Schnitt von Mengen. Die Möglichkeiten wie man es benutzt
sind die selben wie für die Vereinigung, daher zeige ich hier nur den Schnitt von zwei
Mengen A und B. A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} (z.B. Sei A die Menge der geraden
natürlichen Zahlen, B die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen, dann ist A ∩ B = ∅.
Wäre andererseits B = P die Menge der Primzahlen, so wäre A ∩ B = {2}.
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DeMorgansche Regeln.
• Für
–
–
• Für
–
–
die Logik (Seien A und B Aussagen):
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
die Mengenlehre (Seien A und B Mengen, beide Teilmengen einer Menge C):
(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B
Logarithmus.
P
Q
(1) log( ni=1 xi ) = ni=1 log(xi )
(2) log xy = log x − log y
(3) log xr = r · log x
ar
(4) logb r = log
log b
=⇒
log
√
1
n
x = log x n =
1
n
· log x
a
Besondere Mengen und Zahlenbereiche (Teil 2).
• Z: Die Menge der ganzen Zahlen, also {z : z ∈ N∨−z ∈ N}, bzw. in Zahlen {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.
• Q: Die Menge der Rationalen Zahlen, also {q : q = nz ∧ z ∈ Z ∧ n ∈ N}, also jede Zahl,
die man als Bruch ganzer Zahlen schreiben kann. (n ∈ N heißt hier insbesondere n 6= 0, da
man durch 0 nicht teilen darf)
• R: Die Menge der reellen Zahlen. Das sind die rationalen Zahlen und weitere irrationale
Zahlen wie z.B. Wurzeln oder auch die Zahl Pi. Man kann die reellen Zahlen z.B. als die
Menge aller möglichen oberen Schranken von nach oben beschränkten Teilmengen von Q
beschreiben.
• C: Die Menge der komplexen Zahlen. Man kann sie z.B. beschreiben als {z : z = a+bi∧a ∈
R ∧ b ∈ R ∧ i2 = −1}. i heißt dabei die imaginäre Einheit und ist (sozusagen) die Wurzel
aus -1, die man wie ihr wisst in R nicht finden kann. In C haben daher auch Gleichungen
wie x2 + 1 = 0 oder x2 + 5 = 0 Lösungen. Um genau zu sein hat in C jede Gleichung der
Form an xn +an−1 xn−1 +...+a1 x+a0 = 0 mit ai ∈ C also z.B. auch ai ∈ R eine Lösung (die
linke Seite der Gleichung nennt man ein Polynom, eine Lösung der Gleichung nennt man
Nullstelle des Polynoms). Da die komplexen Zahlen (im Gegensatz zu den reellen Zahlen)
diese Eigenschaft haben, nennt man sie algebraisch Abgeschlossen.
Intervalle. Seien a, b ∈ R reelle Zahlen mit a ≤ b. Dann gibt es folgende Abkürzungen:
• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
• [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, und (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
• (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
Falls a = b, so sind alle diese Mengen bis auf die erste leer.
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