Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – September 2007, Zahlentheorie 1 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz einschließlich der Definitionen der Legendre- und Jacobi-Symbole. b) Für a ∈ Z \ {0} definieren wir χa : N+ → {0, 1, −1} durch χa (n) = ( a n 0 falls ggT(n, 2a) = 1 sonst. Zeigen Sie, dass für n, n′ mit n ≡ n′ (mod 4|a|) gilt χa (n) = χa (n′ ) . c) Finden Sie die kleinste Zahl Na , so dass χa (n) = χa (n′ ) für n ≡ n′ (mod Na ) in den Fällen a = −1, 3, 2, −2. September 2007, Zahlentheorie 2 Sei m ≥ 1 eine natürliche Zahl. Sei ψ(m) die Maximalordnung eines Elements von (Z/mZ)× = R× (m). a) Zeigen Sie, dass gilt: ψ(m) | ϕ(m) (m ≥ 1). b) Sei p eine Primzahl, k ≥ 1. Bestimmen Sie ψ(pk ). c) Für m, n > 2; m, n teilerfremd zeigen Sie, dass gilt ψ(mn) < ψ(m)ψ(n) . Kommentar vom Hiwi: Mit Maximalordnung“ ist die maximale Ordnung, ” also das Maximum über die jeweils auftretenden Ordnungen gemeint. 1 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – März 2007, Zahlentheorie 1 Sei p ∈ Z eine Primzahl, Z/pZ der Körper der Reste modulo p; a, b, c ∈ Z/pZ, dabei a 6= 0. a) Wie viele Elemente hat das Bild der quadratischen Funktion ϕ : Z/pZ → Z/pZ , x 7→ ϕ(x) = ax2 + bx + c ? b) Hat die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 1 für den Fall p = 61, a = 1, b = 2, c = 38 Lösungen? März 2007, Zahlentheorie 2 Seien m, n ∈ N natürliche Zahlen, d = ggT(m, n) der größte gemeinsame Teiler. a) Zu zeigen: Jede genügend große natürliche Zahl der Form r · d, r ∈ N, kann in der Form rd = α · m + β · n mit α, β ∈ N ∪ {0} geschrieben werden. b) Finden Sie eine Lösung (α, β) wie oben im Fall m = 29, n = 31, r = 901, d = 1 . September 2006, Zahlentheorie 1 (und Kryptographie 1) a) Formulieren und begründen Sie den euklidischen Algorithmus. b) Lösen Sie 95x + 432y = 1 in ganzen Zahlen x, y. c) Finden Sie eine Lösung von 35x + 55y + 77z = 3 , x, y, z ganze Zahlen 6= 0. 2 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – September 2006, Zahlentheorie 2 a) Zu zeigen: Jede sechsstellige Zahl der Form abcabc ist durch 7, 11 und auch durch 13 teilbar. b) Zu zeigen, dass 11 . . . 1 (k Ziffern), k ≥ 2, keine Quadratzahl ist. (Hinweis: Betrachten Sie Reste mod 2l , l geeignet) März 2006, Zahlentheorie 1 a) Definieren Sie den Begriff multiplikative Funktion“. Zeigen Sie, dass ” die Eulerfunktion ϕ und die Funktion σ (für n ∈ N sei σ(n) die Summe der Teiler von n) multiplikative Funktionen sind. b) Zeigen Sie, dass für eine Primzahl p ∈ N und k ∈ N σ(pk )ϕ(pk ) = p2k (1 − 1 pk+1 ) gilt. c) Folgern Sie die Existenz einer positiven Zahl C ∈ R so, dass für alle n∈N n2 C < ϕ(n)σ(n) < n2 gilt. Kommentar vom Hiwi: In c) sei n > 1 oder ersetze in diesem Fall das zweite <-Zeichen durch ein ≤-Zeichen. März 2006, Zahlentheorie 2 Zeigen Sie: a) Ist das Produkt mn zweier teilerfremder natürlicher Zahlen n, m eine Quadratzahl, dann sind auch n und m Quadratzahlen. b) Zu drei paarweise teilerfremden natürlichen Zahlen a, b, c mit geradem b, welche die Gleichung a2 + b2 = c2 erfüllen, gibt es natürliche Zahlen u, v mit a = u2 − v 2 , b = 2uv, 3 c = u2 + v 2 . Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – September 2005, Zahlentheorie 1 a) Sei p eine ungerade Primzahl und a eine ganze, nicht durch p teilbare Zahl. Zeigen Sie, dass die Kongruenz x2 ≡ a (mod p2 ) genau dann lösbar ist, wenn a quadratischer Rest modulo p ist, und dann genau zwei Lösungen modulo p2 besitzt. b) Entscheiden Sie, ob die Kongruenzen x2 ≡ 8 (mod 289) bzw. x4 ≡ 8 (mod 289) lösbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Lösungen. September 2005, Zahlentheorie 2 Zeigen Sie: a) 13 + 23 + . . . + n3 = n2 (n+1)2 4 für n ∈ N. b) Ist p eine ungerade Primzahl und schreibt man 1 1 1 + 3 + ...+ 3 1 2 (p − 1)3 als gekürzten Bruch, so ist der Zähler durch p teilbar. März 2005, Zahlentheorie 1 (und Algebra-Zahlentheorie 2) a) Sei R = {x ∈ Q : es gibt m, n > 0 mit 2m 3n x ∈ Z} . Zeigen Sie, dass R ein Ring ist. b) Zeigen Sie, dass R ein Hauptidealring ist. Beschreiben Sie die Ideale. c) Zeigen Sie, dass die Einheitengruppe R× von R zu Z/2Z × Z × Z isomorph ist. 4 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – März 2005, Zahlentheorie 2 Zu zeigen für die Eulersche ϕ-Funktion a) Sind d, n ∈ N, d teilt n =⇒ ϕ(d) teilt ϕ(n). b) Für n ≥ 2 gilt: X d = d∈N, d≤n, (d, n)=1 n ϕ(n) . 2 c) Sei ϕ(n) ≡ 2 mod 4. Dann folgt: n = pa oder n = 2pa mit p Primzahl. September 2004, Zahlentheorie 1 Seien a, b, c ganze Zahlen, die der Gleichung a2 + b2 = c2 genügen, so ist wenigstens eine der drei Zahlen durch 3 und eine durch 5 teilbar. September 2004, Zahlentheorie 2 a) Seien m, n ≥ 1 natürliche Zahlen. Sei S = {mk + nℓ | k, ℓ ∈ Z}; sei d = Min{s ∈ S | s > 0}. Zeigen Sie, dass d der größte gemeinsame Teiler von m und n ist. b) Seien m und n wie oben. Sei S ∗ = {mk − nℓ | k, ℓ ≥ 1, mk > nℓ} . Zeigen Sie, dass Min S ∗ wieder der größte gemeinsame Teiler von m und n ist. c) Sei m = 10100 + 1, n = 1010 + 1. Zeigen Sie, dass m und n teilerfremd sind. Zeigen Sie auch, dass weder m noch n eine Primzahl ist. Zeigen Sie, dass der Rest, wenn m durch n geteilt wird, gleich 2 ist. März 2004, Zahlentheorie 1 a) Berichten Sie über die Theorie der Primitivwurzeln. b) Wie viele Primitivwurzeln (mod 27) gibt es? Wie viele (mod 26)? 5 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – c) Schreiben Sie alle Restklassen (mod 27) auf, die teilerfremd zu 27 sind. Auf diesem Weg finden Sie alle Lösungen der Kongruenz x6 + y 6 = 2 (mod 27) . (Geben Sie die möglichen Werte von X = x6 und Y = y 6 an; für die verschiedenen X, Y geben Sie die entsprechenden x, y an.) März 2004, Zahlentheorie 2 a) Für eine ungerade Primzahl p und a teilerfremd zu p zeigen Sie, dass, wenn x2 ≡ a (mod p) lösbar ist, dann ist auch x2 ≡ a (mod pk ) für alle k ≥ 1 ebenfalls lösbar. b) Ist die Aussage von a) richtig, wenn die Bedingung a teilerfremd zu ” p“ weggelassen wird? Ist die Aussage richtig für p gerade? Begründen Sie ihre Antworten. c) Zeigen Sie, dass die Kongruenz (x2 − 13)(x2 − 17)(x2 − 221) ≡ 0 (mod m) für alle m lösbar ist. Gibt es ganzzahlige Lösungen von (x2 − 13)(x2 − 17)(x2 − 221) = 0 ? September 2003, Aufgabe 1 a) Formulieren Sie den kleinen Fermatschen Satz und den Wilsonschen Satz. b) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie, dass 1 · 2 · · · (p − 1) ≡ (−1) ≡ (−1) p−1 2 p−1 2 p−1 p−1 · ···2 · 1 ·1·2··· 2 2 2 p−1 ! (mod p) . 2 ! ≡ ±1 (mod p). c) Ist p eine Primzahl mit p ≡ 3 (mod 4), so gilt p−1 2 p−1 Berechnen Sie die Werte von 2 ! (mod p) für die ersten 6 Primzahlen dieser Art. Kommentar vom Hiwi: In b) sei p 6= 2. 6 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – September 2003, Aufgabe 2 a) Definieren Sie die Eulersche ϕ-Funktion. b) Beweisen Sie die Multiplikativität dieser Funktion. c) Für welche natürlichen n gilt ϕ(2n) = ϕ(3n)? September 2003, Aufgabe 3 Seien p 6= 2 und q = p−1 2 Primzahlen. a) Welche Zahlen kommen als Ordnungen in der primen Restklassengruppe modulo p für a, p ∤ a, in Frage? b) Zeigen Sie im Fall p ≡ 3 (mod 4): ist 2 keine Primitivwurzel modulo p, so ist −2 eine Primitivwurzel modulo p. c) Beweisen Sie im Fall p ≡ 3 (mod 8), dass 2 eine Primitivwurzel modulo p ist. März 2003, Aufgabe 1 a) Welche ganzen Zahlen n lassen sich darstellen in der Form n = x2 − y 2 mit x, y ∈ Z ? b) Zeigen Sie, dass jede ganze Zahl n eine Darstellung n = x2 + y 2 − z 2 mit x, y, z ∈ Z hat. März 2003, Aufgabe 2 Für n ∈ N sei σ(n) die Summe aller positiven Teiler von n. Zeigen Sie a) σ(n) ist multiplikativ, b) σ(pk ) = pk+1 −1 p−1 für p prim, k ∈ N, c) σ(n) ist genau dann ungerade, wenn n oder 2n eine Quadratzahl ist. 7 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – März 2003, Aufgabe 3 a) Formulieren Sie das Quadratische Reziprozitätsgesetz. Für eine von 2 und 5 verschiedene Primzahl p folgern Sie, dass 5p = 1 genau dann gilt, wenn p ≡ 1 (mod 5) oder p ≡ 4 (mod 5). b) Es sei Fn , n ≥ 0 die (Fibonacci-)Folge, die durch F0 = 1, F1 = 1 und Fn+2 = Fn+1 + Fn für n ≥ 0 definiert wird. Es sei p eine Primzahl und p ≡ 1 (mod 5). Zeigen Sie, dass es a, a′ (mod p) und c (mod p) gibt mit Fn ≡ c(an+1 − a′n+1 ) (mod p). (Die Restklasse von c wird durch c(a − a′ ) ≡ 1 (mod p) bestimmt.) September 2002, Aufgabe 3 Es sei f (x) = 2015 x2 + 31x + 94. a) Hat f (x) ≡ 0 (mod 7) eine Lösung? b) Hat f (x) ≡ 0 (mod 31) eine Lösung? c) Hat f (x) = 0 eine ganzzahlige Lösung? September 2002, Aufgabe 4 Seien a, m, n natürliche Zahlen, a > 1. Man zeige: a) Ist d ein gemeinsamer Teiler von m, n, so ist ad − 1 ein gemeinsamer Teiler von am − 1 und an − 1. b) Ist m > n und r der Rest von m bei Division durch n, so ist ein gemeinsamer Teiler von am − 1 und an − 1 auch Teiler von ar − 1. c) Es gilt ggT(am − 1, an − 1) = aggT(m,n) − 1 September 2002, Aufgabe 5 a) Definieren Sie die Möbius-Funktion µ(n). b) Folgern Sie aus dieser Definition, dass ( X 1 für n = 1 µ(d) = 0 für n > 1 d|n gilt. 8 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – c) Sei Fn (x) = X µ(d)xd d|n und n = pla1 · . . . · plkk die Primfaktorzerlegung von n. Zeigen Sie, dass sich Fn (x) durch die Rekursion f1 (x) := x − xp1 fj (x) := fj−1 (x) − fj−1 (xpj ) , (1 < j ≤ k) zu Fn (x) = fk (x) berechnet. Frühjahr 2002, Aufgabe 3 a) Zeigen Sie, dass N! K!(N −K)! b) Zeigen Sie, dass (2K−2)! K!(K−1)! schließen Sie daraus, dass := N K ganz ist (0 ≤ K ≤ N). · (2K − 1) und (2K−2)! K!(K−1)! (2K−2)! K!(K−1)! · K ganz sind, und für K ≥ 1 ebenfalls ganz ist. 1 c) Zeigen Sie, dass die Taylorentwicklung von (1 − x) 2 um x = 0 lautet: 1 1 5 4 1 (2K − 2)! k 1 x − . . . − 2K−1 · x − ... 1 − x − x2 − x3 − 2 8 16 128 2 K!(K − 1)! Folgern Sie, dass die Nenner der Taylorkoeffizienten sämtlich Potenzen von 2 sind. Frühjahr 2002, Aufgabe 4 Sei p eine Primzahl. a) Erklären Sie das Legendre-Symbol pr und zeigen Sie r s rs = p p p für ganze Zahlen r, s, die 6= 0 und teilerfremd zu p sind. b) Zeigen Sie, dass −1 quadratischer Rest mod p für jede Primzahl p ≡ 1 mod 4 ist. c) Ermitteln Sie, ob 646 ein quadratischer Rest mod 419 ist. 9 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – September 2001, Aufgabe 3 a) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n, für die das Produkt ihrer Teiler n2 ergibt: Y d = n2 . d|n b) Sei p eine Primzahl. Verallgemeinern Sie Ihr Resultat in a) auf den Fall Y d = np . d|n September 2001, Aufgabe 4 Sei p > 2 eine Primzahl. Beweisen Sie: a) Die Quadrate x2 mod p ohne die Nullklasse bilden bezüglich der Multiplikation eine Untergruppe der Ordnung p−1 und vom Index 2 in der 2 multiplikativen Gruppe von Z/pZ. b) Die Quadrate x2 mod p (einschließlich der Nullklasse) bilden keine Untergruppe in der additiven Gruppe von Z/pZ. c) Jede Restklasse mod p ist Summe von zwei Quadraten, d. h. zu jedem ganzen a gibt es ganze Zahlen x und y mit a ≡ x2 + y 2 mod p . d) Stellen Sie jede Restklasse mod 7 als Summe von zwei Quadraten dar. März 2001, Aufgabe 4 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz (einschl. Ergänzungssätze) für das Jacobi-Symbol. Erklären Sie alle nötigen Begriffe. b) Seien a, b ∈ Z, a, b ungerade, b 6= ±1, |a| > |b|, ggT(a, b) = 1. Zeigen Sie, dass es ein k ∈ Z gibt, so dass folgende Aussagen gelten (i) |a − kb| < |b| (ii) a − kb ≡ 1 (mod 2). c) Sei ab definiert für a, b ∈ Z, a, b ungerade mit ggT(a, b) = 1. Wir setzen voraus, dass Folgendes gilt: (1) ab = ab 10 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – a′ falls a ≡ a′ (mod b). Zeigen Sie: ab = 11 . Kommentar vom Hiwi: In c) soll ab nicht die Gaußklammer darstellen, sondern ein Symbol, das abhängig von seinen zwei Einträgen definiert ist – wie genau, ist unbekannt und egal, bekannt sind nur die beiden Eigenschaften (1) und (2). (2) a b = b März 2001, Aufgabe 5 Wie viele Nullen treten am Ende der Dezimal- bzw. Dualdarstellung von 100! auf? Welches sind die letzten beiden Ziffern von 3523 in der Dezimaldarstellung? März 2001, Aufgabe 6 Seien a, b teilerfremde ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass jede Strecke der Länge √ a2 + b2 auf der Geraden ax + by = 1 einen Punkt (x, y) mit ganzzahligen Koordinaten enthält. September 2000, Aufgabe 7 Seien a, b, c und m ganze Zahlen. Geben Sie mit Beweis Kriterien dafür an, dass folgende Kongruenzen lösbar sind: a) ax ≡ b mod m b) ax + by ≡ c mod m c) Entscheiden Sie, ob das Kongruenzsystem ( 3x + 5y ≡ 1 mod 15 2x + 7y ≡ 3 mod 14 eine Lösung in ganzen Zahlen x, y hat und berechnen Sie gegebenenfalls eine Lösung. 11 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – September 2000, Aufgabe 8 Sei n ∈ N Produkt paarweise verschiedener, ungerader Primzahlen und sei a ∈ Z mit (a, n) = 1. a) Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (i) Die Kongruenz x2 ≡ a mod n ist lösbar. (ii) Für alle Primteiler p von n gilt ap = 1. b) Entscheiden Sie, ob x2 ≡ a mod 105 für a = 19, 52, 79 lösbar ist und konstruieren Sie gegebenenfalls eine Lösung. März 2000, Aufgabe 7 a) Bestimmen Sie die quadratischen Reste modulo 3, 5 und 8. b) Erfüllen die ganzen Zahlen a, b, c die Gleichung a2 + b2 = c2 , (1) so zeige man, dass 3, 4 und 5 das Produkt abc teilen. c) Man folgere, dass nicht alle drei Zahlen a, b, c, die (1) genügen, Primzahlen sein können. März 2000, Aufgabe 8 Beweisen Sie unter Benutzung des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie folgende Irrationalitätsaussagen für reelle Zahlen: √ a) Ist m ∈ N keine k-te Potenz, so ist k m irrational. √ √ b) Sind m und n quadratfreie natürliche Zahlen 6= 1, so ist m + n irrational. c) Die Menge {log p | p Primzahl} ist linear unabhängig über Q. September 1999, Nachschreibeklausur, Aufgabe 5 Man berechne den größten gemeinsamen Teiler von 259 und 511. Wie viele Lösungen modulo 511 hat die Kongruenz 259x ≡ 385 (mod 511) ? Man bestimme alle diese Lösungen. 12 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – September 1999, Nachschreibeklausur, Aufgabe 6 Sei p eine Primzahl. Man zeige 2 p für n = 1, 2, . . . , p2 − 1 p| n und folgere 2 2 (a + 1)p ≡ ap + 1 (mod p) für ganzzahliges a. September 1999, Aufgabe 7 Sei n eine natürliche Zahl und p eine Primzahl, die n nicht teilt. Beweisen Sie: a) Ist p = x2 + ny 2 mit x, y ∈ N lösbar, so ist −n = 1. p b) Ist p = x2 + 5y 2, x, y ∈ N, so ist p ≡ 1, 3, 7 oder 9 mod 20. c) Keine der Zahlen m ≡ 3 oder 7 mod 20 lässt sich in der Form m = x2 + 5y 2 , x, y ∈ N darstellen. Kommentar vom Hiwi: In b) sei p 6= 5. September 1999, Aufgabe 8 a) Geben Sie eine Definition der Möbius-Funktion µ an. Beweisen Sie aus Ihrer Definition, dass gilt: ( X 1 für n = 1 µ(d) = 0 für n > 1 d|n b) Sei c ∈ N und sei f eine Funktion auf {0, 1, . . . , c − 1}. Zeigen Sie, dass gilt: X X X f (x) = µ(d) f (x) 0≤x≤c ggT(x,c)=1 d|c 0≤x≤c x≡0 mod d c) Beweisen Sie, dass für die Eulersche ϕ-Funktion gilt: X n ϕ(n) = µ(d) d d|n 13 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – März 1999, Aufgabe 7 a, b, c seien ganze Zahlen. a und b seien 6= 0. a) Formulieren Sie ein Kriterium für die Lösbarkeit der Gleichung ax + by = c in ganzen Zahlen x und y. b) Beweisen Sie: Besitzt ax + by = c eine Lösung x0 , y0 ∈ Z, so besitzt die Gleichung unendlich viele Lösungen x, y ∈ Z. c) Beweisen Sie: 123x + 57y = 531 ist in ganzen Zahlen lösbar. Geben Sie (mit Begründung) alle Lösungen x, y ∈ Z an. d) Besitzt die Gleichung aus c) auch Lösungen in positiven ganzen Zahlen, also mit x, y ∈ N ? März 1999, Aufgabe 8 a) Definieren Sie das Jacobi-Symbol und formulieren Sie das Reziprozitätsgesetz nebst Ergänzungssätzen für das Jacobi-Symbol. b) Sei b eine ungerade natürliche Zahl und a eine zu b prime ganze Zahl. Beweisen Sie: Ist ab = −1, so ist a kein quadratischer Rest mod b. a für a = 111, 113, 114. c) Berechnen Sie die Jacobi-Symbole 455 d) Entscheiden Sie, welche der a aus c) quadratische Reste mod 455 sind. Ältere Aufgaben Es waren in den 4 Stunden jeweils nur 2 Aufgaben zu bearbeiten, die einzelnen Aufgaben waren umfangreicher. September 1998, Aufgabe 1 Sei p eine ungerade Primzahl. a) Beweise: Es gibt eine natürliche Zahl a mit a p = −1. Im folgenden sei q die kleinste natürliche Zahl mit pq = −1 b) Berechne q für p = 37, 47 und 71. Beweise die folgenden Eigenschaften von q: c) q ist eine Primzahl. 14 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – d) Ist k eine natürliche Zahl mit (k − 1)q < p < kq, so ist kq = 1. p √ e) Für k = 1, . . . , q − 1 gilt: kq = −1. Folgere: q < p + 1. p März 1996, Aufgabe 1 a) Warum ist eine Zahl n ≡ −1 mod 4 nicht als Summe zweier Quadrate darstellbar? b) Warum ist eine Zahl n ≡ −1 mod 8 nicht als Summe von 3 Quadraten darstellbar? c) n besitze eine Darstellung der Form n = a2 + b2 mit ggT(a, b) = 1 . Dann besitzt n keinen Primteiler p ≡ 3 mod 4. d) Stelle die Zahlen 99, 159 und 202 als Summe von möglichst wenigen Quadraten dar. Begründen Sie, warum Sie mindestens so viele Quadrate benötigen. Frühjahr 1995, Aufgabe 2 a) Man berechne die Jacobi-Symbole b) Sind die Kongruenzen 46 105 und 58 105 x2 ≡ 46 bzw. 58 (mod 105) lösbar? c) Besitzt die Primzahl p eine Darstellung p = 2x2 + 3y 2 mit x, y ∈ N, so liegt p in einer der Restklassen 5 oder 11 (mod 24). September 1993, Aufgabe 3 Zu der natürlichen Zahl m existiere eine Primitivwurzel g mod m. a) Für welche n ∈ N ist g n wieder Primitivwurzel mod m? b) Wieviel inkongruente Primitivwurzeln mod m gibt es? c) Man zeige, daß das Produkt aller Primitivwurzeln aus einem Restsystem mod m kongruent 1 mod m ist, falls m 6= 3, 4. Kommentar vom Hiwi: Ergänze in c) noch m 6= 6. 15 Klausuren für das Staatsexamen in Mathematik – Zahlentheorie – März 1992, Aufgabe 2 a) Man formuliere und beweise den Kleinen Fermatschen Satz. b) Sei p eine von 2 und 5 verschiedene Primzahl. Man zeige, daß unendlich viele Zahlen 9, 99, 999, . . . von p geteilt werden, ebenso unendlich viele der Zahlen 11, 111, 1111, . . . c) Welches sind die letzten beiden Ziffern von 27322 im Zehnersystem? März 1991, Aufgabe 2 Sei f (x) = xn +an−1 xn−1 +. . .+a0 mit ai ∈ Z und sei pk eine Primzahlpotenz, k ≥ 1. a) Man beweise: Ist w ∈ Z eine Lösung von f (x) ≡ 0 mod pk und f ′ (w) 6≡ 0 mod p, so ist v≡w− f (w) f ′ (w) mod pk+1 eine Lösung von f (x) ≡ 0 mod pk+1 . b) Man bestimme alle Lösungen von x3 + x + 1 ≡ 0 mod 36 . 16