mit Bemerkungen in der Vorlesung 30.10

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Grundlagen
1.1
Relationen und Abbildungen
Die Definition einer Relation ist ganz einfach:
Eine Relation R zwischen zwei Mengen X und Y
ist eine Teilmenge R ⊆ X × Y . Gilt X = Y , so
heißt R eine Relation auf X. Man schreibt x R y
falls (x, y) ∈ R.
Beispiel 1.1
• X: Menge der MathematikerInnen.
Y : Menge der WirtschaftswissenschaftlerInnen.
Eine Relation zwischen X und Y wird z.B. durch ”Mathematiker x war Tutor von Wirtschaftswissenschaftler y” erklärt.
• Sei X die Menge aller Frauen, Y die Menge aller Männer. Als
Relation zwischen X und Y wählen wir ”verheiratet”.
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• A = {1, 2}, B = {2, 3}. Dann ist
A × B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}.
Wir erhalten z.B. folgende Relationen:
R1 = {(a, b) ∈ A × B : a = b} = {(2, 2)}
R2 = {(a, b) ∈ A × B : a < b}
= {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}
R3 = {(a, b) ∈ A × B : a ≤ b}
= {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 2)} = A × B
R4 = {(a, b) ∈ A × B : a + b = 2} = ∅
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Man kann Relationen auch durch Graphen verdeutlichen. Dazu
malen wir die Menge A und die Menge B auf und verbinden zwei
Elemente mit einem Pfeil genau dann, wenn sie in Relation miteinander stehen:
Diese Beispiele zeigen, dass an jedem Punkt kein, ein oder mehrere
Pfeile beginnen können. Genauso kann an jedem Punkt kein, ein
oder mehrere Pfeile ankommen.
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Solche Pfeildiagramme sind natürlich unhandlich, wenn die Mengen
X und Y unendlich sind. Sind X und Y Zahlbereiche, können wir
versuchen, die Menge der Punkte (x, y) ∈ R in einem Koordinatensystem zu skizzieren.
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Abbildungen
In den Wirtschaftswissenschaften haben wir es meistens mit Abbildungen zu tun.
Eine Abbildung f aus X nach Y ist eine Relation zwischen X und Y , so dass es zu jedem x ∈ X
höchstens ein y ∈ Y gibt, so dass x und y in Relation zueinander stehen. Bezeichnung: f : X → Y . Das
Element y wird mit f (x) bezeichnet.
Die Menge X heißt die Menge der unabhängigen Variablen, die
Menge Y bezeichnet die abhängigen Variablen, denn wenn wir x
kennen, kennen wir auch f (x).
In unserer Pfeildarstellung bedeutet dies, dass in jedem Element
x ∈ X höchstens ein Pfeil beginnt.
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Beachte, dass nicht jedem x ∈ X ein y ∈ Y zugeordnet werden
muss. Wir benutzen hier manchmal folgende Sprechweise: Wenn jedem x ∈ X höchstens ein y zugeordnet wird, so sprechen wir von
einer Abbildung aus X nach Y . Wird jedem x ∈ X genau ein
f (x) zugeordnet, so wollen wir von einer Abbildung von X nach Y
sprechen:
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Das hat Vorteile, wenn man komplizierte Formel hat wie etwa
x
f (x) = 5
,
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x + 3x − x − 4
aufgefasst als Abbildung aus R nach R, weil man von vornherein
gar nicht weiß, für welche x der Nenner 0 wird, wo die Abbildung
also gar nicht definiert ist.
Die Menge der x ∈ X, für die f (x) erklärt ist, nennen wir den Definitionsbereich von f und bezeichnen mit D(f ).
Der Definitionsbereich D(f ) muss nicht ganz X sein, wie die obigen
Beispiele zeigen. Beachten Sie bitte, dass der Definitionsbereich alle
x ∈ X enthält, für die es ein f (x) gibt, er ist also in einem gewissen
Sinne maximal.
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Beispiel 1.2 Wir definieren f : R → R durch f (x) = x21−1 . Dieser
Ausdruck ist natürlich nur erklärt, wenn x2 − 1 6= 0. Also ist f eine
Abbildung aus R nach R. Der Definitionsbereich ist R \ {±1}.
Beispiel 1.3 Wir betrachten f : R → R definiert durch f (x) =
lg x (dekadischer Logarithmus). Weil der Logarithmus nur für positive Zahlen erklärt ist, ist der Definitionsbereich also R+:
1
0.5
5
x
10
–0.5
–1
–1.5
–2
8
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20
Machen Sie sich bitte nicht zu viele Gedanken über die Frage, ob
eine Abbildungen von oder aus einer Menge X erklärt ist. Wichtig
ist nur, dass bei der Beschreibung einer Abbildung durch eine Vorschrift, wie z.B. lg x oder x21−1 zu beachten ist, dass diese Vorschrift
für einige Werte von x möglicherweise nicht definiert ist. Oft liegt
das daran, dass man nicht durch 0 dividieren darf. Andere Möglichkeiten: Logarithmen oder Wurzeln negativer Zahlen sind nicht definiert. Manche trigonometrische Funktionen haben Stellen, wo sie
nicht definiert sind, z.B. tan(π/2) ist nicht definiert.
Abbildungen werden oft auch Funktionen genannt. Meistens spricht
man von Funktionen, wenn die Mengen X und Y Zahlbereiche sind.
Wenn wir hier von Zahlbereichen sprechen, meinen wir nicht etwa
nur R, sondern auch R × R, R × R × R usw. Denken Sie daran:
Ökonomische Daten hängen fast nie nur von einer Variablen ab.
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Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
Eine Abbildung f : X → Y heißt:
injektiv wenn aus f (x1) = f (x2) stets x1 = x2 folgt;
surjektiv, wenn es zu jedem y ∈ Y (mindestens) ein x ∈ X gibt
mit f (x) = y;
bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist und es zu jedem
x ∈ X ein y gibt mit f (x) = y (f also insbesondere eine Abbildung
von X nach Y ist).
Für die Pfeildarstellung von Abbildungen bedeutet das folgendes:
injektiv: in jedem y ∈ Y endet höchstens ein Pfeil
surjektiv: in jedem y ∈ Y endet mindestens ein Pfeil
bijektiv: in jedem y ∈ Y endet genau ein Pfeil
und in jedem x ∈ X beginnt genau ein Pfeil.
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Graphisch:
Ist f eine injektive Abbildung, so definieren wir f −1 : Y → X durch
folgende Vorschrift: f −1(y) = x, wobei x ∈ X durch die Eigenschaft
f (x) = y bestimmt ist. Beachte, dass x wegen der Injektivität eindeutig bestimmt ist. In unseren Pfeilbildern bedeutet dies einfach,
dass wir jeden Pfeil umdrehen. Die Abbildung f −1 : Y → X heißt
die zu f inverse Abbildung.
Beachte, dass auch f −1 injektiv ist. Ferner ist f bijektiv genau dann
wenn f injektiv und surjektiv ist und zusätzlich f −1 auch surjektiv ist.
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Bei einer bijektiven Abbildung geht von jedem Punkt in X genau
ein Pfeil aus und in jedem Punkt aus Y endet genau ein Pfeil. Das
heißt insbesondere, dass X und Y gleich viele Elemente haben.
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Verknüpfung von Abbildungen
Seien f : X → Y und g : Y → Z zwei Abbildungen. Wir definieren
die Abbildung g ◦f : X → Z wie folgt: (g ◦f )(x) = g f (x) . (Also:
Wir wenden erst f auf x an, dann auf den Wert f (x) die Abbildung
g.)
Wichtig ist es, sich zu merken, dass g ◦ f bedeutet, erst f und dann
g anzuwenden.
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2.1
Funktionen einer Variablen
Einführende Beispiele
Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fixkosten von 170.000 ¤. Die sind unabhängig von der produzierten Menge. Pro produziertem Stück fallen variable Kosten (vor
allem Material und Löhne) von 500 ¤ an. Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens (in ¤) betragen dann
K(x) = 170.000 + 500x,
wobei x die Anzahl der im Monat produzierten Waschmaschinen
ist. Bei 100 Waschmaschinen fallen also Gesamtkosten an in Höhe
von
K(100) = 230.000,
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bei 1000 Stück
K(1000) = 670.000.
K heißt die Kostenfunktion. Wenn man nicht an den Gesamtkosten K interessiert ist, sondern an den Kosten pro produziertem
Stück, so erhält man die Stückkostenfunktion S(x). Sie ergibt
sich aus der Kostenfunktion K(x) einfach durch
K(x)
S(x) =
.
x
In obigem Beispiel ist
170.000
170.000 + 500x
= 500 +
.
S(x) =
x
x
Bei 100 produzierten Waschmaschinen ist das also
S(100) = 2300,
bei 1000 Maschinen
S(1000) = 670.
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Weitere ökonomische Funktionen sind
Nachfrage-Funktion (Preis-Absatz-Funktion): Sei p der
Preis eines Gutes, N die nachgefragte (abgesetzte) Menge. Die Nachfragefunktion ist dann N (p). Üblicherweise wird N (p) kleiner, wenn
der Preis p steigt. So könnte z.B. (p ausgedrückt in ¤)
N (p) = 100.000 − 500p
(2.1)
sein. Das heißt, bei einem Preis von 10 ¤ beträgt die Nachfrage
95.000 Stück, bei einem Preis von 13 ¤ nur 93.500 Stück.
Oft wird auch umgekehrt die Funktion p(N ) betrachtet.
Angebotsfunktion: Sei p der Preis eines Gutes, A die vom Produzenten zu dem Preis auf den Markt gebrachte Menge. Die Angebotsfunktion ist dann A(p). Angebotsfunktionen sind typischerweise
monoton steigend.
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Erlösfunktion: Für N abgesetzte Güter zum Stückpreis p(N ) ist
der Erlös in Abhängigkeit von der Menge N
E(N ) = N · p(N ).
Hierbei ist berücksichtigt, dass der Preis p von der Nachfrage N
abhängt, typischerweise mit hoher Nachfrage steigt.
In Abhängigkeit vom Preis p ist die Erlösfunktion
E(p) = N (p) · p.
Wenn wir die Nachfragefunktion (2.1) benutzen, erhalten wir
E(p) = 100.000p − 500p2.
Eine typische Frage ist: Für welchen Preis p wird der Erlös E(p)
maximal. Solche und ähnliche Fragen werden wir mit etwas mathematischer Theorie beantworten können.
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