Teiler, Vielfache und vieles mehr Teiler, Vielfache und vieles mehr

Teiler, Vielfache und vieles mehr Darstellungen, die weit tragen
Problemstellungen aus dem Unterricht der Klassenstufe 5
Unterschiedliche Darstellungen von TeilerTeiler- und VielfachenVielfachenbeziehungen ...
... als Argumentationsbasis für einfache und komplizie
komplizier
ziertere
zahlentheoretische Phänomene
Univerität des Saarlandes WS 2009/2010
3. Vorlesung am 26. Oktober 2009
FR 6.1 Mathematik
OStR Uwe Peters
Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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Problemstellungen aus dem Unterricht der Klassenstufe 5
Auffinden aller Teiler
(und der zugehörigen
Komplementärteiler) einer Zahl; Hinführung auf
die Darstellung als Zahlenfeld bzw. hier als
Punktefeld
Neue Wege – Saarland-Ausgabe 5
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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Viele Probleme in einer einzigen Aufgabe (Teiler, Vielfache, Primzahlen,
gemeinsame Vielfache, kgV) demonstrieren die weittragende
Darstellung durch Vielfachenbögen
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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Hasse-Diagramme sind ein Mittel
zur systematischen Darstellung von
Teilern und Teilerbeziehungen einer Zahl – hier wird ein HasseDiagramm erstellt, ohne es als solches zu bezeichnen oder es weiter
zu verwenden; die Möglichkeiten
sollte der Lehrende kennen und
ausschöpfen
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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(Kleinste) gemeinsame Vielfache müssen als zu bestimmende Größe erkannt werden – oder aber man erkennt die Parallelität zu den Flohsprüngen und den Vielfachenbögen
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In enaktiv oder ikonisch lösbare Problemstellung verpackte Hinführung
zur Wecheselwegname oder dem Euklidischen Algorithmus zur ggTBestimmung
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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Hinter dieser Aufgabe steckt bereits die Begründung für die Korrektheit
der Wechselwegname zur ggT-Bestimmung
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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Unterschiedliche Darstellungen von TeilerTeiler- und VielfachenbeVielfachenbeziehungen ...
HasseHasse-Diagramme
72=23⋅32
90=2⋅32⋅5
für jeden Primfaktor
wird eine Raumrichtung
benötigt
Anzahl der Knoten
pro Primfaktor = Exponent + 1
erfasst alle Teiler einer Zahl
ein Teiler wird genau dann von einem anderen geteilt, wenn es
einen aufwärts gerichteten Pfad gibt
Die Anzahl der Teiler einer Zahl beträgt ...
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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durch Vielfachenbögen gegliederte Reihe:
Die „Bogengirlanden“ zu den Zahlen 4 und 6 markieren auf der
Zahlengeraden die Vielfachen dieser Zahlen.
Das gemeinsame Muster aus beiden Bogengirlanden hat die
Periode 12;
kgV(4;6)=12 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und
6;
jedes weitere gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist ein Vielfaches von kgV(4;6)
23 hat bei Division durch 7 den Divisionsrest 2
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rechteckiges (Zahlen)Feld:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
1
8
15
22
2 3 4 5 6 7
9 10 11 12 13 14
16 17 18 19 20 21
23
4 ist Teiler von 24
6 ist der Komplementärteiler zum Teiler 4 von 24
Alle Zahlen in einer Spalte haben den gleichen Divisionsrest bei
Division durch 4 (man sagt, diese Zahlen sind kongruent modulo 4)
23 hat bei Division durch 7 den Divisionsrest 2
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Ausmessen mit einem Modul (lat. Maß):
4 ist ein Maß von 24 und es ist 6⋅4=24
7 ist kein Maß von 23 und es ist 23 ≡ 2 (mod 7)
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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... als Argumentationsbasis für einfache und komplizierte
kompliziertere
Phänomene
Teileranzahl
Aus der Struktur des Hasse-Diagramms und der Primfaktorzerlegung
ergibt sich die Anzahl der Teiler einer Zahl durch eine kombinatorische
Überlegung (s. Übung)
Division mit Rest
Es seien n und m natürliche Zahlen. Dann gibt es eindeutig bestimmte
natürliche Zahlen q und r mit 0≤r<m mit n=q⋅m + r.
Dies ergibt sich unmittelbar aus der Struktur der Darstellungen mit Vielfachenbögen, als Zahlenfeld oder als Ausmessen.
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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Von der Wechselwegnahme zum Euklidischen Algorithmus
Es seien a>b>0 zwei natürliche Zahlen. Dann ist ein gemeinsamer
Teiler von a und b stets auch Teiler von a−b und umgekehrt ein gemeinsamer Teiler von b und a−b stets auch Teiler von a.
Dies folgt aus der Struktur der Bogengirlanden, hier für a=21, b=15
und den gemeinsamen Teiler 3.
D.h.: Die Zahlen a und b bzw. b und a−
a−b haben dieselben gemeinsagemeinsamen Teiler und damit auch denselben größten gemeinsamen Teiler.
BeeDies ist Grundlage des Algorithmus´ der Wechselwegnahme zur B
stimmung des ggT zweier Zahlen:
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Zu bestimmen ist der
der ggT(21;15). Mit dem Verfahren der WechselwegWechselwegnahme ergibt sich Schrittweise:
21
15
6
3
6
6
3
3
ggT(21;15)=ggT(15;6)=ggT(9;6)=ggT(6;3)=ggT(3;3)=3
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Eine andere Darstellung: Parkettierung statt Wechselwegnahme:
3
3
6
15
6
21
Das größte Quadrat, mit dem sich ein Rechteck mit den Seitenlängen
21 und 15 parkettieren lässt, besitzt die Seitenlänge 3, also ist
ggT(21;15)=3.
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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Bei größeren Zahlen wird die zeichnerische Darstellung zu aufwändig.
Das Prinzip der Wechselwegnahme bleibt im Euklidischen Algorithmus
jedoch strukturell erhalten:
a= 9794
b=1298
9794 = 7 ⋅
1298 + 708
1298 = 1 ⋅
708
+ 590
708
= 1 ⋅
590
+ 118
590
= 5 ⋅
118
+
0
Also ist ggT(9794;1298) = 118
(Warum muss der euklidische Algorithmus stets enden?)
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Warum ist ggT(a;b) ⋅ kgV(a;b)=a⋅b ?
a=4, b=6, kgV(a;b)=12, ggT(a;b)=2, a⋅b=24
Da a⋅b=t ⋅kgV(a;b) = t ⋅ p ⋅ a, ist t ein Teiler von b, bzw.
da a⋅b=t ⋅kgV(a;b) = t ⋅ q ⋅ b, ist t ein Teiler von a, d.h.
a⋅b=t ⋅kgV(a;b) ≤ ggT(a;b) ⋅ kgV(a;b)
Da n ⋅ggT(a;b) ⋅ b = a ⋅b =ggT(a;b) ⋅ s, ist s ein Vielfaches von b, bzw.
da m ⋅ggT(a;b) ⋅ a = a ⋅b =ggT(a;b) ⋅ s, ist s ein Vielfaches von a, d.h.
a⋅b=ggT(a;b) ⋅ s ≥ ggT(a;b) ⋅ kgV(a;b)
Also ist a ⋅ b = ggT(a;b) ⋅ kgV(a;b)
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Didaktik II: Arithmetik und Algebra
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Aus den Zeilen im euklidischen Algorithmus folgt durch Umstellen und
Einsetzen die Darstellung ggT(a;b)=p⋅a + q⋅b mit ganzen Zahlen p,q:
9794 = 7 ⋅
1298 + 708
(I)
(II)
1298 = 1 ⋅
708
+ 590
708
= 1 ⋅
590
+ 118 (III)
590
= 5 ⋅
118
+
0
(IV )
(I) ⇔ 708 = 9794 − 7 ⋅ 1298
in (II) : 590 = 1298 − 1⋅ (9794 − 7 ⋅ 1298)
und schließlich beides in (III):
118 = (9794 − 7 ⋅ 1298) − (1298 − 1⋅ (9794 − 7 ⋅ 1298)) = 2 ⋅ 9794 - 15 ⋅ 1298
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Folie 18 von 20
Wechselseitiges
Wechselseitiges Ausmessen – Der chinesische Restsatz
Wir gehen aus von zwei teilerfremden Zahlen, z.B. a=5 und b=7 mit
kgV(5;7)=35. Die beiden Zahlenfelder, mit denen man 35 einmal mit
a und einmal mit b ausmessen kann, sehen dann folgendermaßen aus:
1
8
15
22
29
2
9
16
23
30
3
10
17
24
31
4
11
18
25
32
5
12
19
26
33
6
13
20
27
34
7
14
21
28
35
1
6
11
16
21
26
31
2
7
12
17
22
27
32
3
8
13
18
23
28
33
4
9
14
19
24
29
34
5
10
15
20
25
30
35
Im 7er-Feld haben alle Zahlen derselben Spalte auch denselben
Divisionsrest bei Division durch 7
Im 7er-Feld haben zwei Zahlen derselben Spalte stets verschiedene Divisionsrest bei Division durch 5,
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Folie 19 von 20
denn sonst wäre die Differenz zweier solcher Zahlen ein gemeinsames Vielfaches von 5 und 7 (Warum?) im Widerspruch
zu kgV(5;7)=35.
Die analoge Beobachtung lässt sich auch am 5er-Feld machen.
D.h.: Zu jedem Paar (s;t) von Divisionsresten mod a und mod b gibt es
stets eine eindeutig bestimmte Zahl 1≤x≤kgV(a;b) mit x≡s (mod a) und
x≡t (mod b)
Dies ist eine einfache Version des Chinesischen Restsatzes aus der elementaren Zahlentheorie, die aber die Gesamtaussage im Kern bereits
beinhaltet.
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3. Vorlesung am 26. Oktober 2009
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Folie 20 von 20