Angaben für ‚Beispiele mit Hinweisen— Vektorrechnung

Angaben für „Beispiele mit Hinweisen“
Vektorrechnung
Beispiel 1
Zeige für das Dreieck ABC [ A(5/5), B(29/15), C(5/15) ] die Richtigkeit von folgender
Behauptung:
„Die drei Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den Berührungspunkten des Inkreises
auf den Gegenseiten schneiden einander in einem Punkt G (Gergonnescher Punkt)!“
Welche Koordinaten hat der Inkreismittelpunkt ?
Welche Koordinaten hat der Gergonnesche Punkt ?
Beispiel 2
1. Gegeben sind die Ebenen E1: 4x – 2y – z – 12 = 0 und E2: 2x + 2y – 5z + 24 = 0 .
Wie groß ist der Abstand des Punktes P( 0/ - 9/ 22) von der Schnittgeraden der
Ebenen ?
Von welchem Punkt der Geraden aus wird der Abstand gemessen ?
2. Welche Punkte auf der Normalen durch P(13/4/9) zur Ebene E: 12x + 2y + 5z = 0
haben von den Ebenen E1: x – 2y + 2z + 4 = 0 und E2: 2x + 3y – 6z = 5 gleiche
Abstände ? Interpretiere auffallende Zwischenergebnisse.
Liegen der Ursprung und der Punkt P bezüglich der Ebene E1 auf der gleichen Seite
von E1 ? Begründe deine Aussage.
Beispiel 3
Berechnungen an einer Pyramide
Eine regelmäßige 4 seitige Pyramide hat den Basiseckpunkt A(7/-5/-3) und die Spitze
S(9/6/z). Der Achsenschnitt der Pyramide, nämlich die Punkte S, B und D liegen in der
Ebene ε:2x-y-2z+2=0.
Berechne die Koordinaten der Punkte S, B, C, und D, das Volumen der Pyramide und den
Winkel, den eine Seitenfläche mit der Grundfläche einschließt.
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Beispiel 4
Zwei Flugzeuge auf Kollisionskurs ?
Zwei Flugzeuge fliegen mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf geradem Kurs.
Das erste befindet sich zur Zeit t=0 im Nullpunkt eines geeignet gewählten
Koordinatensystems. Zur Zeit t=3 ist es im Punkt P(6/-3/9). Zu den entsprechenden Zeiten
befindet sich das zweite Flugzeug in Q(2/28/-14) bzw. R(5/19/-2).
(Koordinatenangaben in 10-2 km, Zeiteinheiten in Sekunden)
Zu welcher Zeit sind die beiden Flugzeuge am nächsten (wie nahe), und in welcher
Position befinden sie sich dann gerade? Zu welcher Zeit im Intervall [0;60] ist der Abstand
der Flugzeuge am größten?
Wie groß ist der minimale Abstand der beiden Flugrouten?
Mit welchen Geschwindigkeiten fliegen die beiden Flugzeuge? Mit welcher
Geschwindigkeit müßte das zweite Flugzeug fliegen, so daß die geringste Entfernung der
Flugzeuge mit der minimalen Entfernung der Flugrouten übereinstimmt?
Zusatz :
Ändere eine Koordinate von P so ab, daß die Flugzeuge tatsächlich kollidieren.
(Teste selbst)
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Angaben für „Beispiele mit Hinweisen“
Trigonometrie
Beispiel 1
Anläßlich einer Erbschaft soll das viereckige Grundstück ABCD [d = AD = 78m,
c = CD = 74m, Winkel CAB = α = 45°, Winkel CDA = δ = 123°, Winkel ABC = β = 79° ]
durch eine Gerade g, welche durch A verläuft in zwei flächengleiche Stücke aufgeteilt
werden. In welcher Entfernung von C schneidet die Gerade g die Seite b oder die Seite c ?
Beispiel 2
Um die Geschwindigkeit eines auf dem Meer fahrenden Schiffes zu bestimmen, wird das
Schiff vom Ufer aus angepeilt. Dabei erfolgt die Peilung gleichzeitig von den Punkten A
und B aus, die 4150m voneinander entfernt sind.
Bei der ersten Peilung ist das Schiff an der Position C und man mißt die Winkel:
<CAB = 55°49‘ und <CBA = 24°8‘. Bei der zweiten Peilung 3 Minuten später ist das Boot
an der Position D und man mißt <DAB = 30°12‘ und <DBA = 46°24‘.
Wie schnell fährt das Boot?
Beispiel 3
Ein Flugzeug startet von einem Punkt A der Startbahn aus, fährt am Kontrollpunkt des
Flugplatzes vorbei und beginnt von einem Punkt B aus ohne Richtungsänderung zu
steigen. Von dem h = 20m hohen Kontrollturm sieht man den Startpunkt A unter dem
Tiefenwinkel α = 7,6° und nach Schwenken des Fernrohres um den Horizontalwinkel
γ = 113,1° den Aufstiegspunkt B unter dem Tiefenwinkel β = 1,3°.
Berechne die Länge der Strecke AB, die das Flugzeug auf der Startbahn zurücklegt!
Das Flugzeug erreicht bei einem konstanten Steigungswinkel ε = 30° nach 20 Sekunden
Steigzeit eine Flughöhe von 1000 m über dem Flugplatz und befindet sich nach dieser
Steigzeit im Punkt C seiner gradlinig aufsteigenden Flugbahn.
Berechne, wie groß die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit auf der Aufstiegsstrecke BC
ist!
Berechne, unter welchem Höhenwinkel, vom Kontrollturm aus, das Flugzeug im Punkt C
erscheint!
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Beispiel 4
Im Zuge des zweigleisigen Ausbaus der Tauernbahn-Südrampe wurde die alte Strecke
unter anderem durch die neue gigantische Pfaffenberg – Zwenberg-Brücke ersetzt, die
das Tal von A nach B überbrückt (s. Bild).
Auf Grund des dichten Bergwaldes gestalteten sich die Vermessungsarbeiten sehr
schwierig und konnten nur aus größerer Entfernung vorgenommen werden. Daher wurden
von einem Punkt C der Talsohle folgende Winkel und Entfernungen gemessen:
Höhenwinkel α nach A : 7° 03‘ 32‘‘
Höhenwinkel β nach B: 5° 37‘ 54‘‘
Entfernung CA: 935m
Entfernung CB: 1071m
Horizontaler Schwenkungswinkel ϕ des Theodoliten: 20° 19‘ 15,8‘‘
a) Wie viele Meter befinden sich die Punkte A und B über der Talsohle?
b) Wie lang ist die Brücke und wie viele Promille Steigung hat sie?
Der Punkt C entspricht etwa dem Standort des Fotografen dieses Bildes.
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Differentialrechnung
Beispiel 1
Bei der Erzeugung von Kartonschachteln entstehen variable Kosten von 20 ATS pro Stück
und Fixkosten von 12 500 ATS.
a) Gib den Funktionsterm K(x) für die Kostenfunktion an. x sei die Stückzahl.
b) Der Erlös (= Einnahmen) lässt sich mit der Funktion E(x) = - 0,05 x² + 150 x berechnen.
Bei wieviel Stück ist der Erlös gleich null ? Bei wieviel Stück ist der Erlös maximal? Wie
groß ist der maximale Erlös?
c) Gib die Gewinnfunktion G(x) an [ Gewinn = Erlös – Kosten] . Berechne die
Gewinnschwellen, dh. jene Stückzahlen, bei denen der Gewinn gleich null ist. Bei
wieviel Stück wird maximaler Gewinn gemacht? Wie groß ist der maximale Gewinn?
d) Skizziere K(x), E(x) und G(x).
Beispiel 2
Stromkabel:
Von einer Trafo-Station, die an einer geraden Straße steht, soll ein Stromkabel zu einem
Haus verlegt werden.
Die kürzeste Entfernung des Hauses von der Straße beträgt 300 m, die geradlinige
Entfernung von der Trafo-Station zum Haus 500 m.
Wie ist die Leitung zu verlegen, damit die Kosten, die längs der Straße 400,- ATS pro
Meter und querfeldein 600,- ATS pro Meter betragen, minimal werden?
Mit welchen Kosten ist in diesem Fall etwa zu rechnen?
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Beispiel 3
(1) Für welche Werte von a hat die Kurve mit der Gleichung y = x5 + a x3 + x
- mehr als eine Nullstelle
vier Extrema
nur einen Wendepunkt?
(2) Versuche auf experimentellem Weg möglichst genau herauszufinden, wie die
Funktionsgleichung der unten abgebildeten Kurve aussieht.
(3) An welchen Stellen muss die Tangente an die Kurve mit der Gleichung
f(x) = x3 - x2 + 4x gezogen werden, damit sie durch den Ursprung geht?
Gib auch die Tangentengleichungen an!
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Beispiel 4
Materialverbrauch
Produzenten haben ein Interesse daran, ein Produkt mit einem vorgegebenen Volumen
unter möglichst geringem Materialverbrauch zu verpacken.
Untersuche in Hinblick auf die unten angeführten Fragestellungen die folgenden
Verpackungsvarianten:
1. quadratischer Quader (z.B. Getränkeverpackung),
2. Drehzylinder (z.B. Getränkedose),
3. Drehkegel und
4. quadratische Pyramide .
Fragestellungen:
a) Das vorgegebene Volumen sei 1,000 Liter. Wie muss der Körper dimensioniert sein,
damit der Materialverbrauch für die Oberfläche möglichst gering ist? Wie groß ist der
Materialverbrauch? Überlappungen werden dabei nicht berücksichtigt.
b) Wie hängen die Länge der Grundkante bzw. der Radius der Grundfläche mit der
Körperhöhe jeweils zusammen, wenn ein beliebiges Volumen V betrachtet wird?
c) Um wie viel Prozent ändert sich die Oberfläche gegenüber der geschlossenen Variante,
wenn bei 1,000 Liter Rauminhalt die Grundfläche offen ist (z.B. Trichter)?
Beispiel 5
Optimale Abmessungen
Einem Drehkegel mit dem Radius R und der Körperhöhe H werden Drehzylinder mit dem
Radius r und der Körperhöhe h eingeschrieben.
Berechne jeweils die Maße, den Rauminhalt und die Oberfläche jenes Zylinders, der
a) das größte Volumen,
b) die größte Mantelfläche,
c) die größte Oberfläche hat.
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