Wir haben in 5 Paaren von Schwestertieren über den ganzen Tag

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Wir haben in 5 Paaren von Schwestertieren über den ganzen Tag gezählt, wie häufig die Mutter
bzw. eine Tante einen Wurf junger Mäuse säugte. Nun wollen wir wissen, ob sich Tiere beider
Kategorien im Aufwand (Häufigkeit H) unterscheiden. Wie lautet unsere statistische Hypothese?
H0 :
HA :
Hier die Daten (bitte ausstehende Werte berechnen):
Paar
1
2
3
4
5
Summe
Hm (Mutter) Quadrat
4
5
9
4
6
Ht (Tante)
2
4
4
5
3
Quadrat
Differenz
Quadrat
Berechnen wir nun die Statistiken unter Benutzung der 'Maschinenformel' für die
2
N
2 (! xi )
Fehlerquadratsumme SS = ! (x i - X)2 ; “Maschinenformel”: ! (x i ) N .
i =1
M[ean]
SS
VAR
SD
SE
Mutter:
Tante:
Differenz:
Sollten wir die Differenz als signifikant bewerten? Wir benötigen dazu die Mittelwertdifferenz und
deren Standardabweichung (also den Standardfehler), um die Student-t-Statistik zu berechnen.
SE =
SS df
s2 SD
VAR
=
=
=
.
N
N
N
N
! – wir haben jeweils beide Tiere pro Nest beobachtet - ergibt sich:
Für den gepaarten t-Test
t=
df=
p<
Schluss:
Dabei erinnern wir uns, dass t gleich der mittleren Differenz geteilt durch ihren Standardfehler ist.
Das Signifikanzniveau kann per SAS oder aus im Internet zugänglichen Tabellen eruiert werden.
Gehen wir davon aus, dass wir jeweils ein Tier pro Nest beobachtet haben, wären die Werte als
unabhängig zu betrachten. Unter der Annahme von Homoskedastizität könnten wir den t-Test für
unabhängige Stichproben oder einen varianzanalytischen Vergleich vornehmen.
Für den Zweistichproben-t-Test ergäbe sich dann:
t=
df=
p<
Schluss:
Hier ergibt sich der Standardfehler der Mittelwertdifferenz aus der gewichteten Zufallsvarianz, also
sM 1 "M 2 =
s2p s2p
SS + SS2
+ , wobei s2p = 1
n1 n 2
n1 + n 2 " 2
!
s2
n1 (M1 " M) 2 + n 2 (M 2 " M) 2
Äquivalent können wir Fndf ,ddf = group
berechnen.
=
2
serror
s2p
F=
dfgroup=
dferror=
p<
Schluss:
!
Unter der Annahme von Heteroskedastizität könnten wir den t-Test für unabhängige Stichproben
mit ungleiche Varianzen durchführen.
Für den Zweistichproben-t-Test bei ungleichen Varianzen ergäbe sich:
t=
df=
p<
Schluss:
Hier sind die Freiheitsgrade entsprechend der Varianzungleichheit zu schätzen, nach:
sM 1 "M 2 =
s12 s22
+ ,
n1 n 2
#=
(s
2
1
(s
2
1
n1 + s22 n 2 )
n1 )
n1 "1
2
(s
+
2
2
2
n2 )
2
=
n 2 "1
!
Wenn die Anzahl Freiheitsgrade nicht ganzzahlig ist, muss ein Statistikprogramm zur
Wahrscheinlichkeitsberechnung bemüht oder t für die nächst kleinere ganze Zahl benutzt werden.