1) Der antisymmetrische Zustand 2p eines Elektrons im

Mathematik: Klasse 8a (Prof. Mag. Helmut Stücklschwaiger)
1) Der antisymmetrische Zustand 2p eines Elektrons im Wasserstoffatom
kann durch nachfolgende Wellenfunktion näherungsweise beschrieben
werden: ψ ( r ) = 4 r ⋅ e − 8 r
Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extremwerte,
Wendepunkte, Asymptoten und zeichnen Sie den Graphen der Funktion
im Intervall [-6; 6] ! (Lä ngeneinheit 1 cm)
ψ 2 ist ein Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons.
Zeigen Sie, daß die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für beliebig große
Entfernungen r vom Kern verschwindet.
Berechnen Sie auch den Flächeninhalt der vom Graphen, der positiven
Ψ-Achse und der Tangente im Hochpunkt begrenzten Fläche!
1 2
2) In einer Baubeschreibung kann man folgendes nachlesen:
Ein Wasserturm hat die Form eines einschaligen Drehhyperboloids.
Der Durchmesser an der engsten Stelle beträgt 6 m. Die Bodenfläche
liegt 12 m tiefer und hat einen Durchmesser von 6⋅√5m. Die Deckfläche
liegt 6 m höher als die engste Stelle.
a) Erstellen Sie die Gleichung jener Hyperbel in erster Hauptlage, die
bei der Drehung den Wasserturm "erzeugt".
b) Wieviel m3 Wasser faßt ein Behälter, wenn die ihn erzeugende
Hyperbel durch folgende Gleichung gegeben ist? hyp: 4x²-y²=36.
Die Abmessungen des Behälters sind gleich wie bei Aufgabe a).
c) Berechnen Sie die Wasserhöhe, wenn der Behälter aus Aufgabe b)
bis zur Hälfte voll ist! Verwenden Sie zur Lösung der entstehenden
Gleichung das Newtonsche Näherungsverfahren! (Hinweis: Es
existiert nur eine reelle Lösung.)
d) Von der Mitte der Deckfläche wird mit einer punktförmigen
Lichtquelle in den Behälter aus Aufgabe b) geleuchtet. Wieviel
Prozent der Bodenfläche werden vom Lichtkegel erfaßt?
Interpretieren Sie Ihre Überlegungen mit Hilfe einer Skizze.
3) Ein Ballon X schwebt in 460 m Höhe über waagrechtem Gelände.
a) Man visiert vom Ballon aus zwei Ortschaften A und B unter den
Tiefenwinkeln α=25,5° und β=31,3° an, der Winkel
γ=<AXB=118,4°. Berechnen Sie den Abstand der beiden Orte!
b) Wie groß ist der Winkel ε zwischen den Vertikalebenen durch den
Ballon und die jeweiligen Orte?
c) Die Spitze eines Kirchturmes wird vom Ballon aus unter dem
Tiefenwinkel ϕ1 =27,l° gesehen, dann nähert sich der Ballon dem
Kirchturm um 100 m (ohne seine Höhe zu ändern), wobei der
Tiefenwinkel auf ϕ2 =30,6° ansteigt. Wie hoch ist der Kirchturm?
4) Bei der Produktion von Taschenrechnern kann aufgrund eines
Maschine nschadens ein Fehler entstehen. Erfahrungsgemäß besitzen 5
% aller Geräte defekte Tasten.
a) Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann den folgenden
Aufgaben zugrunde gelegt werden? Begründen Sie Ihre
Entscheidung!
b) Es wird der Produktion eine Stichprobe von 100 Stück entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich höchstens 6 defekte
Rechner in dieser Probe?
c) Wie groß müßte man den Stichprobenumfang wählen, damit die
Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 Ausschußstück zu erhalten, 85 %
übersteigt?
d) Um zu entscheiden, ob die Sendung dieses Artikels mit 5 %
Ausschußanteil angenommen werden kann, einigen sich Hersteller
und Händler auf fo lgenden Prüfplan.- Man entnimmt der Sendung
eine Stichprobe von 10 Stück (mit Zurücklegen). Ist in dieser
Stichprobe höchstens 1 Ausschußstück, so wird die Sendung
angenommen. Befinden sich in der Stichprobe mehr als 2
Ausschußstücke, wird die Sendung sofort retourniert. Findet man 2
defekte Rechner, so wird der Sendung eine zweite Stichprobe von 5
Stück mit Zurücklegen entnommen und die Sendung akzeptiert,
wenn sich in der zweiten Stichprobe kein Ausschußstück befindet.
Wie hoch ist das Produzentenrisiko?
e) Ein anderer Händler erwirbt 200 Stück. Welche Zahl an defekten
Tasche nrechnern muß er einkalkulieren? Berechnen Sie ebenfalls
die Standardabweichung! Beantworten Sie, mit welcher
Mindestanzahl bzw. Maximalanzahl an defekten Taschenrechne rn
der Händler zu rechnen hat!
Lösungen:
1) N(0/0) , T(-2/-4,85) , H(2/4,85)
, W1 (-3,5/3,1) , W2 (0/0) ,
W3 (3,5/3,1) A = 3,4 AE
2) a) 4x2 - y2 = 36
b) 324 π m3
c) 5,1 m
d) 90 %
3) a) 1680,9 m
b) 155°
c) 80,2 m
4) b) 76,6 %
c) 37
d) 2,84 %
e) µ = 10; σ = 3,08; zw. 6 und
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MATHEMATIK: Klasse 8b (Prof. Mag, Kai Roßmann)
1)
Gegeben
ist
1 3
3 2
3
die f :  y = 4 x − 4 x + 4 x für x ∈[ - 1;3] Funktion
5
1
für x ∈ R \ [ - 1;3]
y = 4 x − 2
Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, lokale Extrema und Wendepunkte und
zeichnen Sie den Graphen!
b) Untersuche n Sie f auf Unstetigkeitsstellen! Argumentieren Sie anhand des Graphen und
belegen Sie ihre Behauptungen rechnerisch!
c) Berechnen Sie das Volumen jenes Körpers, der entsteht, wenn die von erster und zweiter
Ableitungsfunktion von f im Intervall ] 0 ; 3 [ eingeschlossene Fläche um die x-Achse
rotiert!
Erzeugt eine Rotation der Fläche um die y-Achse einen volumsgleichen, - kleineren oder
- größeren Körper? Argumentieren Sie rein anschaulich!
a)
2)
Gegeben sind die drei Ebenen:
a)
b)
c)
d)
e)
∈1 : 2x + 3y - 6z = 24
∈2 : 4x + 6y = 0
∈3 : z = -4
Skizzieren Sie ∈2 und ∈3 in je einer Standardschrägrissdarstellung und beschreiben Sie
deren Lage bezüglich der Koordinatenebenen in Worten!
Geben Sie die Schnittgerade g von ∈2 und ∈3 in Parameterform an und zeigen Sie
rechnerisch, dass g in ∈1 liegt!
Ermitteln Sie die Lagebeziehung von g zur Geraden h: X = (- 5/1/3) + t(0/2/1) und
berechnen Sie den Schnittpunkt beziehungsweise den Abstand der beiden Geraden!
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Spurdreiecks der Ebene ∈1 und den Winkel, welchen
dessen Seiten im Spurpunkt, der auf der z-Achse liegt, einschließen!
Welche Lösungsmenge ergibt sich für das gegebene Gleichungssystem, wenn die
Konstante 0 in der Gleichung der Ebene ∈2 durch die Zahl 2 ersetzt wird? Interpretieren
Sie den Lösungsfall auch geometrisch! (Charakteristische Skizze!)
3)
Ein internationaler Konzern hat die Wahl, drei Vertragshändler A, B und C von zwei Werken
aus mit seiner Ware zu beliefern. Im Lager des ersten Werkes, L1, beträgt der Warenvorrat 68
Mengeneinheiten (ME), im Lager des zweiten Werkes, L2, 45 ME. A benötigt 22 ME, der
Warenlieferung von L1 an A werden 75 Geldeinheiten (GE) je ME zugeordnet, von L2 an A
33 GE/ME. B benötigt 33 ME und der Lieferung von L1 an B werden 55 GE/ME, von L2 an
B 43 GE/ME zugeordnet. Schließlich soll C mit 58 ME beliefert werden, wobei den
Lieferungen von L1 bzw. L2 an C je 42 GE/ME zugeordnet werden.
a) Interpretieren Sie die den Lieferungen zugeordneten Geldbeträge als Trans portkosten!
Formulieren Sie die Fragestellung des Optimierungsproblems und ermitteln Sie die
Lösung! (Graphisches Verfahren)
b) Interpretieren Sie die den Lieferungen zugeordneten Geldbeträge als vom Konzern jeweils
zu erzielende Gewinne. Dadurch ergibt sich ein (von a unabhängiges) anderes
Optimierungsproblem. Formulieren Sie nun die Frage stellung entsprechend und ermitteln
Sie die Lösung! (Graphisches Verfahren)
4)
a) Ein Laplace-Floh ist seinem Besitzer ausgerechnet an dessen Geburtstag entkommen und
springt nun auf der Zahlengeraden herum. Er springt in Einheitssprüngen mit gleicher
Wahrscheinlichkeit nach links und rechts. Bei 0 beginnend macht er 6 Sprünge.
Interpretieren Sie das Sprungverhalten des Flohs seinem Namen ent sprechend, um ein
geeignetes mathematisches Modell zur Lösung der folgenden Aufgabe zu entwickeln:
(1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich der Floh nach dem 6. Sprung bei -2?
(2) Definieren Sie einen zur Problemstellung passenden Ereignisraum und eine
Zufallsvariable X, und bestimmen Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion! Stellen Sie beide Funktionen graphisch dar!
(3) Berechnen Sie jene Stelle, an der man den Floh nach dem 6. Sprung erwarten darf!
b) Der Besitzer des Flohs hat n Freunde zu seiner Geburtstagsfeier eingeladen.
(1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der Freunde am selben Tag
Geburtstag hat wie der Gastgeber?
(2) Wie viele Freunde müssten mindestens anwesend sein, damit es sich lohnt, darauf eine
Wette abzuschließen?
Lösungen:
1) a) N(0/0); keine lokalen Extrema; W(1/0,25)
b) f unstetig bei 3 (Sprungstelle), sonst stetig (auch bei -1)
c) V=
12
5
π
2) a) ∈2 enthält z-Achse, ∈3 parallel zur x-y-Ebene
c) windschiefe Geraden, d(g,h)=7
d) A=56; ϕ=81,87°
e) L={}
3) a) Transportproblem: Popt (0/10); zmin =4701 GE
b) Gewinnmaximierung: Popt (22/33); zmax=5901 GE
a) Laplace-Experiment: gleichwahrscheinliche Ergebnisse
(1) P(X=-2)=
(3) E(X)=0
b) (1) 1 - (
364 n
)
365
(2) n>252
15
64