V 4 - Bildungsportal Sachsen

Physik für Elektrotechniker und Informatiker
Grundlagenvorlesung 1. & 2. Semester
Inhaltsverzeichnis
0. Allgemeine Einführung in das naturwissenschaftliche Fach Physik
0.1. Stellung und Bedeutung der Physik – Was ist Physik?
0.2. Rolle des Experimentes, Messen, Maßsysteme
0.3. Physikalische Modelle, Hypothesen, Theorien, Rolle der Mathematik
A Mechanik von Massepunkten und starren Körpern
1. Kinematik
1.1. Der Orstsvektor
1.2. Die geradlinige Bewegung = Translation
1.3. Die Kreisbewegung = Rotation
1.4. Überlagerung von Bewegungen – Superpositionsprinzip am Beispiel des Wurfes
1.4. Überlagerung von Bewegungen
Im allgemeinen Fall der beliebigen Bewegung eines Körpers bzw. Massenpunktes ändert sich sein
Ortsvektor r  t  sowohl nach Betrag r(t) als auch Richtung r^(t). Rein formal muss man zur
Bestimmung der Geschwindigkeit den Ortsvektor differenzieren (nach der Zeit):
v t  
dr  t  d
dr  t 
drˆ  t 
  r  t  rˆ  t   
 rˆ  t   r  t 
dt
dt
dt
dt
(17)
Produktregel
Zur praktischen Lösung derartiger Bewegungsprobleme ist es günstig,
dreidimensionale Problem auf die enthaltenen skalaren Probleme zurückzuführen.
das
vektorielle
Wir zerlegen r  t  in seine Komponenten:
r  t   x  t  ex  y  t  ey  z  t  ez   x  t  ; y  t  ; z t  


Bahngeschwindigkeit: v  t   r  t   vx ; v y ; vz   x; y; z 
Bahnbeschleunigung:
a  t   r  t    ax ; a y ; az    x; y; z 
(1.1)
(18)
(19)
Beispiele: Die Wurfbewegung(en)
1. Der waagerechte Wurf:
Exp.: V2 / 1302 Grimsehl.-Versuch
Beobachtung: Die Vertikalkomponente ist unabhängig von der Horizontalkomponente.
Horizontal abgeworfene Kugel benötigt die gleiche Zeit zum Herabfallen wie beim freien Fall
senkrecht nach unten. Beide Kugeln erreichen gleichzeitig (nicht gleich schnell!) den Boden.
(20)
v0 y  0, y0  0 (Freier Fall mit Fallbeschleunigung g) (Experiment CASSY)
Spezialfall:

Überlagerung einer gleichförmig geradlinigen Bewegung in x-Richtung mit der
Anfangsgeschwindigkeit v0 x und einer Fallbewegung, also einer gleichmäßig
beschleunigten Bewegung in y-Richtung; die z-Komponente aller kinematischen
Größen  0.
x-Komponente(n)
Beschleunigung
Weg
y-Komponente(n)
ax  0
a y   g Geschwindigkeit
vx  v0 x
vy   g  t
x  v0x  t
1
y   gt 2
2
 x0  y0  0
1
r  t   v0 x  tex  gt 2ey
2
v  t   v0 x  ex  gt ey
a  t    g ey
Durch Elimination von t erhält man die Darstellung der Bahnkurve y(x)
t
x
v0x
y 
g x2
2 v0x 2
nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel im
Koordinatenursprung (0;0).
2. Der schiefe oder schräge Wurf
(Experiment: Affenschuss)
Wir wählen zur Beschreibung ein passendes KS. Der Wurf verlaufe in der (x; y)-Ebene. Die
Anfangsgeschwindigkeit v0 besitzt jetzt aber eine Komponente in x-und in y- Richtung.
x-Komponente(n)
Beschleunigung
y-Komponente(n)
ax  0
a y   g Geschwindigkeit
vx  v0 x
vy   gt  v0 y
1
y   gt 2  v0 y  t  y0
2
Durch Elimination von der Zeit t ergibt sich wiederum die Bahnkurve y  x  :
Weg
x  v0x  t  x0
y  x   y0 
vo y
vo x
x
1 g 2
x
2 v0 x 2
 x0  0
Das ist eine nach unten geöffnete Kurve mit dem Scheitel:
 vo x  vo y
vo y 2 

S 
; y0 
 g

2
g


Experiment:
V2 / 1303
Wurfparabel mit Stroboskop
Die Bahnkurve ergibt sich aus der Überlagerung einer gleichförmig geradlinigen Bewegung in
Richtung v0 und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Richtung ey .
Aus Tabelle und Vektordiagramm ergibt sich:
Weg: r  t   y0ey  v0  t 
1 2
gt ey
2


Geschwindigkeit: v  t   v0 x ex  v0 y  gt ey  v0  gtey  r  t 
Superpositionsprinzip:
Gleichzeitig ablaufende Bewegungen eines Massepunktes (Körpers) beeinflussen sich gegenseitig
nicht. Resultierende Größen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) ergeben sich aus der jeweiligen
Vektorsumme.
Im folgenden Diagramm sind alle möglichen Bahnkurven zusammengestellt und man begreift,
weshalb y(x) auch Parameterdarstellung der Bahnkurve heißt: Die Parameter sind die
Anfangsgeschwindigkeit v0 sowie der Abwurfwinkel.
Quelle: http://mathphys-online.de/der-schiefe-wurf-mit-einhullender
ÜA
Bahnkurve: y  x  tan  
g
1
x2
2
2 v0 cos 2 
Beweis
x  v0  cos   t
t
x
v0 cos 
1
y  y0  v0 sin   t  gt 2
2
x
1
x2
 y0  v0 sin 
 g 2
v0 cos  2 v0 cos 2 
v0 2
R
sin  2 
g
Horizontale Reichweite:
R ist maximal für:   45
v2
Rmax  0 (Schnittpunkt mit x-Achse)
g
Beweis
x  x0  R  v0 cos   t
t
R
v0 cos 
1
y  y0  0  v0  sin   t  gt 2
2
v sin 
1
R2
0 0
R g 2
v0 cos 
2 v0 cos 2 
1
gR
2
:
2
 v0  cos  
0
2 2
v0 sin  cos   R
g
R
2v0 2
sin   cos 
g
R
v0 2
sin 2
g
sin  2   2sin  cos 
Steigzeit: Zeit bis zum Erreichen der maximalen Höhe  Extremwertaufgabe
y(t )  v0 sin    gth 2  0  th 
v0  sin 
g
1 v0 2
Steighöhe: y (th )  y0 
 sin 2 
2 g
Frage: Wie gelangt man zur roten Hüllkurve?
Antwort: Die Bahnkurve kann auch geschrieben werden in der Form
g
1
g  x2
2
y  x  tan  
x  x  tan  
 (1  tan 2  ) . Man bildet folgende Funktion F:
2
2
2
2 v0 cos 
2  v0
F ( x, y, tan  )  y  x  tan  
g  x2
 (1  tan 2  )
2  v0 2
Diese Funktion wird differenziert nach tan α. Als Ergebnis erhält man: tan  
die Funktion F: F ( x, y, tan  )  y 
die Hüllkurve: yh ( x) 
v0 2
. Eingesetzt in
g  x2
v0 2 g  x 2
. Setzt man diese Funktion gleich Null, erhält man

2  g 2  v0 2
v0 2 g  x 2

.
2  g 2  v0 2
v0 2
yh (0) 
 v0 2  2 gh
2 g
v0 2 g  xw2
yh ( xw ) 

 0  xw  v0 2 / g
2
2  g 2  v0
Fazit: Zusammenfassung
Die Zeit t ist eine skalare Größe.
Weg s, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a sind vektorielle Größen, polare Vektoren.
Winkelgeschwindigkeit  und Winkelbeschleunigung  sind axiale Vektoren. Man benötigt zu ihrer
Festlegung eine Konvention, die Rechte-Hand-Regel.
Für die Beträge der Größen, mit denen sich Translations- und Rotationsbewegung beschreiben lassen,
gelten analoge Beziehungen. Makroskopische Winkel  lassen sich nicht als Vektoren darstellen.
Bahn- und Winkelgrößen sind über den Bahnradius r verknüpft.
Translation
Rotation
Weg s
Winkel 
Bahngeschwindigkeit v  s
Winkelgeschwindigkeit   
Bahnbeschleunigung a  v  s
Winkelbeschleunigung     
Gleichförmige Bewegung (Spezialfall)
v  const
s  v t
  const
   t
Bahngeschwindigkeit v   x r

Bahnbeschleunigung: ar   x v   x  x r

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Spezialfall)
a  const
v  v0  a  t
  const
  0    t
a
s  s0  v0  t  t 2
2
  0  0t    t 2
1
2
Zeitabhängige Beschleunigung (allgemeiner Fall)
a  a t 
t
v  t    a  t ' dt '
0
t
s  t    v  t ' dt '
0
   t 
t
  t      t ' dt '
0
t
  t      t ' dt '
0