Einführung der ganzen Zahlen aus mathematischer Sicht

Einführung der ganzen Zahlen aus mathematischer Sicht
Unter anderem die eingeschränkte Lösbarkeit von Gleichungen der Art b  x  a respektive
Rechenoperationen a  b mit a  b motivieren zu einer Zahlbereichserweiterung der Menge
der natürlichen Zahlen zu einem Zahlbereich in dem neben der Addition auch die Subtraktion
uneingeschränkt möglich ist.
Die Leitidee bei der Konstruktion eines geeigneten Zahlenraums soll im Folgenden dargestellt
werden:
Die Differenzen a  b und ( a  n )  (b  n ) sind für a  b stets wertgleich. Zu jeder Differenz
a  b gehört damit eine ganze Klasse wertgleicher Differenzen. Eine solche Klasse kann also
identifiziert werden mit derjenigen natürlichen Zahl, die den Wert dieser Differenzen darstellt.
Man kann mit diesen Klassen dann rechnen wie mit den natürlichen Zahlen. Von einem
algebraischen Standpunkt aus betrachtet sind sie sogar identisch. Was allein für die
natürlichen Zahlen eine vollkommen überflüssige Komplizierung darstellen würde,
ermöglicht einen tragfähigen Ansatz zu unserer gesuchten Zahlbereichserweiterung.
Differenzen a  b mit a  b wie 3  5 stellen im Bereich der natürlichen Zahlen zwar einen
unsinnigen Rechenausdruck dar, aber auch wenn ein Wert dieser Differenz nicht angegeben
werden kann, erscheint es dennoch sinnvoll, davon auszugehen, dass auch 4  6, 5  7, etc.
zu dieser Differenz wertgleich sein sollten. Wir bekommen hiermit zusätzliche Klassen
„wertgleicher Paare“ von Zahlen. Um undefinierte Ausdrücke zu vermeiden schreiben wir
diese Klassen formal als Mengen von Paaren {(0, 2), (1,3), (2, 4), (3,5), (4, 6), ...} . Für zwei
Differenzen natürlicher Zahlen a  b und c  d mit a  b und c  d gilt:
ab  cd  ad  bc.
Die rechte Gleichung ist die für uns geeignete Bedingung, um die „Wertgleichheit“ von
Paaren zu definieren, da sie auch für a  b bzw. c  d wohldefiniert ist.
Durch diese Bedingung haben wir auf 0  0 eine „ist wertgleich zu“ – Relation festgelegt:
(a, b) ~ (c, d ) : a  d  b  c
Diese Relation ist wie man leicht prüfen kann reflexiv, symmetrisch und transitiv, also eine
Äquivalenzrelation. Damit können wir sicher sein, dass man durch ~ auf der Menge
0 
0 eine Zerlegung in Klassen bewirkt. Die einzelnen Klassen haben die Form
[(a, b)]: {( x, y ) | x, y  0 und a  y  b  x} ,
z.B. gilt
[(3,5)]  {(0, 2), (1,3), (2, 4), (3,5), (4,6), ...}  {( x, y) | x, y  0 und 3  y  5  x} .
Ebenso gut hätte man diese Klasse natürlich auch durch ein anderes Paar repräsentieren
können, etwa [(4,6)]. Diese Klassen sind unsere neuen Zahlen. Wir nennen sie ganze Zahlen.
Die Menge aller ganzen Zahlen bezeichnet man mit :
: {[( x, y )] | x, y  0}
Die üblichen Schreibweisen +3, –2, ... für ganze Zahlen erhält man als Kurzbezeichnung,
indem man folgende Festlegung trifft:
n
( n,0)
Für eine Klasse [( x1 , x2 )] schreibt man auch
falls die Klasse ein Tupel der Form
n
(0, n )
x  x2
beinhaltet. Dies ist genau dann der Fall, wenn 1
.
x1  x2
Für die Festlegung der Rechenoperationen im neuen Zahlbereich gibt es verschiedene
Kriterien:
1. Wenn möglich sollte weiterhin das Kommutativ– und Assoziativgesetz der Addition
und Multiplikation sowie das Distributivgesetz gelten (Permanenzprinzip).
2. Die Menge der natürlichen Zahlen sollte sich in der Menge der ganzen Zahlen
wiederfinden lassen und sich bzgl. Addition und Multiplikation in Z genauso
verhalten, wie die entsprechenden ursprünglichen natürlichen Zahlen bzgl. „+“ und
„ “ in 0 (Einbettung von 0 in ).
Zu 1: Für die Festlegung der Rechenoperationen „+“ und „ “ lässt man sich am Besten von
der Vorstellung der Paare als Differenzen leiten. Damit bietet es sich an festzulegen:
[( a, b)]  [( c, d )] : [( a  c, b  d )]
[( a, b)]  [( c, d )] : [( ac  bd , ad  bc)]
Es lässt sich nun leicht zeigen, dass die Rechengesetze für diese Festlegung weiterhin gelten.
Zu 2: In
lässt sich problemlos die Menge der natürlichen Zahlen wiederfinden. Man
braucht nur jeweils [(n,0)] mit der natürlichen Zahl n zu identifizieren. Seien n1 , n2 , n3
natürliche Zahlen mit n1  n2  n3 , so gilt auch [(n1,0)]  [(n2 ,0)]  [(n1  n2 ,0  0)]  [(n3 ,0)] .
Ebenso folgt aus n1  n2  n3
[(n1,0)]  [(n2 ,0)]  [(n1  n2  0  0, n1  0  0  n2 )]  [( n1  n2 ,0)]  [( n3,0)] .
Damit sind die natürlichen Zahlen eingebettet in die Menge der ganzen Zahlen.